弹性地基复合曲梁抗弯力学性能研究

哈　尔　滨　工　程　大　学　学　报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨａｒｂｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｖｏｌ．３５№．５Ｍａｙ２０１４

弹性地基复合曲梁抗弯力学性能研究

郝扣安１，王振清１，周利民２，王欣３

（１．哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江哈尔滨１５０００１；２．香港理工大学机械工程系，香港；３．上海宇航系统工程研究所，上海２０１１０９）

摘　要：针对弹性地基作用下曲梁结构，讨论了内外径之比（Ｒｉ／Ｒｏ）对层间正应力和平面内正应力的影响。在此基础上，研究了由两种不同材料组成的复合曲梁，确定了平面内正应力中性轴的位置，考虑其内外表面处应力为零、层间正应力及位移在厚度方向连续的边界条件，求解纯弯曲载荷下复合曲梁的层间拉应力和平面内拉应力解答，进一步讨论了两种材料的不同体积分数、材料参数和放置位置对于复合曲梁应力的影响。此外，本文可推广适用于多层不同材料组成的复合曲梁，为解决实际工程中矩形截面复合曲梁强度，尤其是层间强度提供了有效方便的计算方法。关键词：复合材料层合曲梁；弹性地基；层间正应力；平面内正应力；力学分析ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６⁃７０４３．２０１３０３０７６

网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｏｉ／１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６－７０４３．２０１３０３０７６．ｈｔｍｌ中图分类号：Ｏ３４６　文献标志码：Ａ　文章编号：１００６⁃７０４３（２０１４）０５⁃０５１７⁃０６

Ｔｈｒｅｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｕｓｅｄｆｏｒｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇｓｈｉｐｒｅｓｉｓｔａｎｃｅａｎｄｆｌｏｗｆｉｅｌｄ

（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＡｅｒｏｓｐａｃｅａｎｄＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨａｒｂｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５０００１，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆ

ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｏｎｇＫｏｎｇＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＨｏｎｇＫｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ；３．ＳｈａｎｇｈａｉＡｅｒｏｓｐａｃｅＳｙｓｔｅｍＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０１１０９，Ｃｈｉｎａ）

ＨＡＯＫｏｕａｎ１，ＷＡＮＧＺｈｅｎｑｉｎｇ１，ＺＨＯＵＬｉｍｉｎ２，ＷＡＮＧＸｉｎ３

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｕｓｅｓｔｈｅｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｍｏｄｅｌ⁃ｓｃａｌｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ｖｉｒｔｕａｌｆｌｕｉｄｖｉｓｃｏｓｉｔｙｍｅｔｈｏｄａｎｄｆｕｌｌ⁃ｓｃａｌｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｔｏｐｒｅｄｉｃｔａｎｄａｎａｌｙｚｅｔｈｅｒｅｓｉｓｔａｎｃｅａｎｄｆｌｏｗｆｉｅｌｄｏｆａｓｈｉｐｉｎｆｕｌｌ⁃ｓｃａｌｅ．ＷｉｔｈｔｈｅＦｒｏｕｄｅｎｕｍｂｅｒｗｉｔｈｉｎｔｈｅ０．１５－０．４１ｒａｎｇｅ，ｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｒｅｓｉｓｔａｎｃｅｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｔｈｒｅｅｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｔｈｅｆｕｌｌ⁃ｓｃａｌｅｄａｔａｅｘｔｒａｐｏｌａｔｅｄｆｒｏｍｔｈｅｍｏｄｅｌ⁃ｓｃａｌｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｉｓｌｅｓｓｔｈａｎ７％，４．５％，３．５％ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅｖｉｒｔｕａｌｆｌｕｉｄｖｉｓｃｏｓｉｔｙｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄｆｕｌｌ⁃ｓｃａｌｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｈａｄｉｎｃｌｕｄｅｄｔｈｅｅｆｆｅｃｔｓｏｆｒｏｕｇｈｎｅｓｓ．Ｔｈｅｖｉｒｔｕａｌｆｌｕｉｄｖｉｓｃｏｓｉｔｙｍｅｔｈｏｄａｎｄｆｕｌｌ⁃ｓｃａｌｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｇａｖｅｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｐｒｅｄｉｃ⁃ｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｆｒｅｅｓｕｒｆａｃｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎａｎｄｗａｋｅｆｉｅｌｄ．Ｔｈｅｖｉｒｔｕａｌｆｌｕｉｄｖｉｓｃｏｓｉｔｙｍｅｔｈｏｄｃａｎｐｒｅｄｉｃｔｆｕｌｌ⁃ｓｃａｌｅｒｅｓｉｓｔａｎｃｅａｎｄｔｈｅｆｌｏｗｆｉｅｌｄｗｅｌｌｗｉｔｈｔｈｅｌｅａｓｔｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｔｉｍｅ，ａｎｄａｓａｒｅｓｕｌｔｉｓｕｓｅｆｕｌｆｏｒｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｃａｖｉｔａｔｉｏｎ；Ａｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｂｏｄｉｅｓ；Ｕｎｓｔｅａｄｙｃａｖｉｔｙ；Ｖｅｌｏｃｉｔｙ；Ｈｅａｄｆｏｒｍ　　复合材料凭借其优越的使用性能、结构和功能的可设计性，成为航空航天、汽车、船舶等众多产业的首选材料之一。实际工程结构中，对曲面结构复合材料的需求是不可避免的，如倒角、对Ｔ型连接的加固等等。截至目前，针对弯曲结构梁的研究还大多集中于实验［１］和数值分析［２］。其中，Ｐａｇａｎｏ［３⁃４］

利用现弹性理论研究了多层复合材料层合板，并给出了在承受柱形弯曲状态下的精确解。然而，他考虑的是平板复合材料层合板承受横向载荷的情况。Ｌｅｋｈｎｉｔｓｋｉｉ［５］给出了各向异性弯曲梁在力矩载荷下的通解。该方法同样也为ＡＳＴＭ６４１５［６］采纳用于计算弯曲梁四点弯曲实验中层间拉伸应力。Ｓｈｅｎｏｉ［７］和李永胜［８］建立了基于弹性体，弯曲梁弯曲行为的模型，得到了各向异性梁的弹性解。高阶剪切变形理论［９⁃１０］可对跨厚比大于４的板壳结构，精确的计算面内变形和应力，但无法计算复合材料板壳的层间应力。

收稿日期：２０１３⁃０３⁃２８．网络出版时间：２０１３⁃０４⁃０８．基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１２７２０９６）；高等学校博士学科点

基金资助项目（２０１１２３０４１１００１５）．

作者简介：郝扣安（１９８６⁃），女，博士研究生；

王振清（１９６２⁃），男，教授，博士生导师．

通信作者：王振清，Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｗａｎｇｚｈｅｎｑｉｎｇ＠ｈｒｂｅｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．

·５１８·哈　尔　滨　工　程　大　学　学　报　　　　　　　　　　　　　　　第３５卷

本文通过给定适当的边界条件和位移应力协调方程，利用弹性地基作用下的曲梁应力解，确定了平面内正应力中性轴的位置，推导出由两种不同材料组成的层合曲梁应力解。计算了不同几何外形、不同材料比例和材料参数对于曲梁层间正应力和平面内正应力大小、铺层顺序的影响。

式中，

(Ａｉｊ，Ｂｉｊ，Ｄｉｊ)＝

式中：Ａｉｊ为拉伸刚度，Ｂｉｊ为拉弯耦合刚度，Ｄｉｊ为弯曲刚度，ε０为层合板几何中心处的应变，κ为曲梁的曲率变化。对于弯曲结构来说，力矩Ｍｘ与曲率变化κｘ的表达式需要考虑拉弯耦合、弯扭耦合。

仅考虑ｘ方向的曲率变化，由式（３）可得：

Ｎｘ＝Ａ１１εｘ＋Ｂ１１ν

∫

ｔ／２－ｔ／２

Ｑｉｊ(ｋ)(１，ｙ，ｙ２)ｄｙ

１　曲梁的弹性基础模型

１．１　基本方程

{

Ｍ＝Ｂε＋Ｄν

（４）

李永胜等

［８］

考虑了弹性地基作用下的曲梁抗

弯性能，如图１所示，单位宽度的曲梁被放置于模量为Ｅ的弹性地基上。其中，曲梁的内径为Ｒｉ为Ｒ，外径ｏ且与曲梁每点处的挠度。假设弹性地基的反作用力垂直于曲梁表面ｖ成正比。

，

（ａ）几何外形

图１　基于弹性地基的曲梁模型

（ｂ）单元受力情况

Ｆｉｇ．１　Ｍｏｄｅｌｏｆｃｕｒｖｅｄｂｅａｍｏｎａｎｅｌａｓｔｉｃｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ

弹性地基对曲梁的反作用力与曲梁挠度的关系可以给出：

ｐ＝Ｅ·ｖ（１）

曲梁的平衡方程有［７］Ｅ·ｄｖｄｑ：

１ｄＭｘｄ３

Ｍ为求解上式微分方程ｄｘ－ｄｘ－Ｒ２·ｄｘ＝ｄｘ

３

（２）κ，需要建立力矩Ｍｘ

ｘ与曲率变化ｘ的关系。对于复合材料层合板，二者的关系可由经典层合板理论［１１］得出如下：

éêêＮùú＝éêＡＢùëＭúûêëＢ

Ｄúúû·éêêε０ù

úëκúû

（３）

　ｘ１１ｘ１１分量可以写作　引入极坐标系下［１２］ì：

Ａｉｒｙ应力函数Φ(ｒ，θ)，应力ïïσｒ＝１∂Φ１２

ïｒ＋∂Φïíïσ∂２∂ｒｒ２∂θ２θ＝ï∂ｒΦ

２

（５）ïïτｒθ＝－∂æ１∂Φö　τ　纯弯曲载荷下î

，应力分量与∂ｒçèｒ∂θ÷øθ角度无关，且有ｒθ＝０。

对于各向异性材料ｄ，有协调方程［１３］如下：

４ｄｒΦ４＋２ｒ·ｄ３ｄｒΦ３－λｒ２·ｄ２ｄｒΦ２＋λｒ

３·ｄΦ求得应力分量：

ｄｒ＝０（６）ìïσλ－１

＋ïｒ＝２Ｃ２＋(１＋λ)ï－Ｃλ３－·ｒí　　ïï

σθ＝(２１Ｃ－２＋λ(１)Ｃ＋４·λｒ

１)λ·Ｃ３λ－１

－（７）ï·ｒî

λ　＝　Ｅ(１－λθ／Ｅｒ为材料的周向与径向弹性模量之

)λ·Ｃ４·ｒ－λ－１式中：１．２　比；Ｃ边界条件

２、Ｃ３和Ｃ４为常数，可通过给定边界条件求得。由图１（ｂ），有边界条件如下：

ìïσｒｒ＝Ｒｏ＝ｐ

ïïσｒｒ＝Ｒｉ＝ｑïíＲｏ

ïï∫∫

Ｒｉσθ·ｄｒ＝Ｎ

（８）ïＲｏ

ïσθ·ｒｄｒ＝　中第三式可自动满足　将式（７）中的各应力分量代入边界条件î

ＲｉＭ，可求得Ｃ得应力分量表达式［７］：

２，Ｃ３和Ｃ４，，故可求式（８）

第５期　　　　　　　　　　　　　郝扣安，等：弹性地基复合曲梁抗弯力学性能研究·５１９·

ìïσｒ＝[－ＥＣ０－(１＋λ)Ω３－(１－λ)Ω４]＋ïλ－１

ｒæöï　　(１＋λ)·Ω·ç÷＋３

ïèＲｏøï－λ－１ïæｒö

÷

ï　　(１－λ)·Ω４·çＲèｏøïí

ïσθ＝[－ＥＣ０－(１＋λ)Ω３－(１－λ)Ω４]＋ï

－中心轴ｚ位于截面中心位置。此处引入中性轴ｚ概念，即复合曲梁在外力下，存在有平面内正应力为零的中性面，中性面与横截面的交线即为中性轴，

ＩＩ

其中性轴往往偏离几何中心轴。ＲＩＩｉ和Ｒｏ分别为Ｉ－

层与ＩＩ层的内径与外径。假设ＩＩ层的周向弹性模量大于Ｉ层的周向弹性模量。

弯曲梁承受正向力Ｎ与弯曲力矩Ｍ，根据假设ïï　　(１＋λ)·λ·Ω３·æçｒö

λ１

－ï

èＲ÷

ｏøïïïî

　　(１－λ)·λ·Ω４·æç

ｒö－λ－１èＲ÷ｏø２　

２．１　在对复合曲梁分析之前基本假设

基于弹性地基的复合曲梁模型

（９）

，给出几点假设：

其材料主轴方向与整体坐标系方向一致１）复合曲梁是由线弹性或各向异性材料组成，除与该点距离

；

，２）曲梁上某点平面内正应变中性轴－

εθｚ位置有关，还与该点处的半径ｒ有关：εθ＝ｚ／ｒ；

３）４）不考虑自由边界效应（Ｆｒｅｅ⁃ｅｄｇｅｅｆｆｅｃｔｓ）；

２．２　ＲＧ／ｔ，本文讨论矩形截面的复中性轴位置的确定

皆足够大以保证应变得以线性分布弯曲梁中心线处的半径与弯曲梁厚度之比

。

（合曲梁，该复合曲梁

合材料横截面的几何参数见图２），由两种材料组成，。靠近外径部分为第一种图２同时还给出了复材料，用Ｉ表示；靠近内径处的第二种材料，用ＩＩ表示。复合曲梁的厚度为ｔ，其中Ｉ层材料的厚度为ｔＩ，ＩＩ层材料的厚度为ｔＩＩ。

图２　复合曲梁横截面尺寸

Ｆｉｇ．２　Ｃｒｏｓｓｓｅｃｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｅｃｕｒｖｅｄｂｅａｍ

条件可得平面内正应变εθ′计算表达式：

εθ′＝

ｚｚｒ′＝＋δ

ｒ′

（１０）

其中，ｒ′为受到外力载荷后该点处的半径，δ为中心轴与中性轴之间的距离。

由正向力Ｎ与弯曲力矩Ｍ所产生的正应力施加于中心轴ｚ轴处，可得平衡方程如下：

ìï∫σθｄＡ＝ＥθｚïïＡ

Ａí

ｒ′ｄＡ＝Ｎï

（１１）ïî

∫

∫

θｚＡσｒ′ｚｄＡ＝∫

ＡＥθｚｄＡ＝Ｍ复合曲梁由两部分组成，Ｉ层曲梁和ＩＩ层曲梁。结

合式（１０），∫对式（１１）进行变量替换∫，得：ìï′

ïＥθ(ｚ＋δ)ＡＩＩ

Ｅθ(ｚ＋δ)ｄＡ＝Ｎｒí

ＡＩｄＡ＋ïï′

（１２）

î∫ＡＩＥθ(ｚ＋δ)ｄＡ＋ＡＩＩ

θ

ｚ＋δ)ｄＡ＝Ｍｒ

由此可得：

∫Ｅ(ìïï１ïｒ′＝

ｗ[２δ(ＥθＩｔＩ＋ＥθＩＩｔＩＩ２)Ｎ＋ｔＩｔＩＩ(ＥθＩ－ＥθＩＩ)]

ïíï１ｒ′＝ïïïî

ｗ[６δｔＩｔＩＩ(ＥθＩ－ＥθＩＩ)＋ＥθＩＩｔＩＩ１２(ｔＭ２ＩＩ＋３ｔ２Ｉ)＋ＥθＩｔＩ(ｔ２Ｉ＋３ｔ２

ＩＩ)]式中：ｗ为弯曲梁的宽度，Ｅθθ

（１３）

层材料周向的弹性模量。

Ｉ和ＥＩＩ分别为Ｉ层与ＩＩ

联立式（１３）中两个方程，求得δ：

δ

＝ηχ′(ｔ２ＩＩ＋３ｔ２＋(ｔ２＋３ｔ２＋６μｔ１２μＩ)(ηχ′＋Ｉ１)＋６ＩＩ)

ＩＩ(η－１)ＩＩ(η－１)

式中：η＝Ｅθθ

（１４）

ＩＩ／ＥＩ为ＩＩ层与Ｉ层材料的周向弹性模量之比，χ′＝ｔＩＩ／ｔＩ为纤维基体层的厚度之比，μ＝Ｍ／Ｎ

２．３　为弯曲力矩与正向外力之比对于平面各向异性材料复合曲梁应力求解

。

Ｈｏｏｋｅ’ｓ定律表达为平面应变问题而言，

［１４］：

·５２０·哈　尔　滨　工　程　大　学　学　报　　　　　　　　　　　　　　　第３５卷

ìïε＝１·σ－υθｒ·σ

ｒθ

ïｒＥｒＥθï

υｒθï１＝－ε·σｒ＋·σθíθ

ＥｒＥθï

ï

ïεｒθ＝１·τｒθï２μｒθî

考虑极坐标中的几何方程：

层间正应力为零，可得：

（１５）

　　同时，考虑边界处径向、周向位移连续，有边界条件如下：

{

σｒσｒ

ｒ＝Ｒｉｒ＝Ｒｏ

＝０＝０

（１９）

{

ｕｒｕｒ＝ＲＩｉ＝ｕｒ＝ｕｒ＝ＲＩＩｏ（２０）

ìïïεｒ＝∂ｕｒï

ïíïεｕ∂ｒｒθ

＝ｒ＋１ｒ·∂ｕθ

（１６）ïïïî

γｒθ＝１ｒ·∂ｕ∂ｒ＋∂θｕθ－ｕθ其中（１６），υ∂θ∂ｒｒ位移表达式如下ｒθ／Ｅｒ＝υθｒ／Ｅθ，λ：

＝Ｅθ／Ｅｒ，结合式（９）、（１５）、ìïïｕæｒ＝æç１－υｒθö÷·éê－ＥＣ－ç１＋ö÷ï

èＥθＥｒøêë０èλøΩ３－(１－λ)Ωù４úúû·ïïｒ＋Ｒｏéê１υｒθùïλ·êë(１＋λ)·Ｅ－θ(λ＋λ)·Ｅúｒúû·ïïïíΩ３·æçｒöλèＲ÷－Ｒｏｏøλ·éêêë(１－λ)·Ｅ１－θ(λ－λ)·υＥｒθùúｒúû

·

ïïæｒö

－λïΩ４·çèＲ÷

ø＋ｏｆ(θ)ï

ï－ＥＣïｕθ＝æçê０－（１＋λ）Ω３－ùï

è－Ｅ１＋θＥ１öé÷·êúｒøêë（１－λ）Ω４úúû·ｒθ－ï

ïî

∫

ｆ(θ)ｄθ上述表达式中的任意函数ｆ(θ)可由适当的位移边（１７）

界条件确定。

引入边界条件，其中上标(ｉ)指第ｉ层对应的变量。针对每一层有边界条件如下：

ìïσｒｒ＝Ｒ＝ｑ(ｉ)

ïｉ(ｉ)ïσ∫ｒｒ＝Ｒｏ(ｉ)＝ｐ(ｉ)ïíＲｏ

(ｉ)ïＲｉ(ｉ)σθ（１８）ï·ｄｒ＝Ｎ(ｉ)

ïＲｏ(ｉ)

ï∫

σθ·ｒ·ｄｒ＝Ｍ(ｉ)Ｒｉ(ｉ)　σ　考虑层间正应力在复合曲梁厚度方向连续î

，有ｒｒ＝ＲＩｉ＝σｒｒ＝ＲＩＩｏ，其中σｒｒ＝ＲＩｉ，ＲＩＩｏ

可表征为Ｉ层与ＩＩ层之间的层间作用力。此处将层间的径向作用力等价为弹性地基模型中的静水压力与地基的反作用力。针对纯弯曲载荷情况，复合曲梁内径和外径处，

θ

ｒ＝ＲＩｉ

θ

ｒ＝ＲＩＩｏ

　曲梁厚度方向的层间正应力与平面内正应力因此，结合边界条件式（１８）～（２０），可求得复合。

３　

３．１　针对单一材料的弯曲梁结构内外径之比对曲梁应力的影响

讨论与分析

，根据式（９）考察

内外径之比（Ｒｉ／Ｒｏ０００应力的分布的影响Ｎ·ｍ，图３分别给出了。）如果内径对于层间正应力与平面内正

ＲＲｉ／Ｒｉ＝６．４ｍｍ，Ｍ＝１ｏ曲梁应力分布情况，图中对横坐标进行无量纲处理＝０．２、０．４、０．６、０．８

，为(ｒ－Ｒｉ)／(Ｒｏ－Ｒｉ)。

（ａ）层间正应力分布

图３　不同内外径之比的应力分布

（ｂ）平面内正应力

Ｆｉｇ．３　Ｓｔｒｅｓｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｏｎｇｔｈｉｃｋｎｅｓｓｕｎｄｅｒ　　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｒａｄｉｕｓｒａｔｉｏ

观察图３（ａ）发现，４条曲线的层间正应力最大值都位于偏离几何中心轴靠近内径处，而内外径之比不仅影响弯曲梁层间最大正应力值的大小，对于层间最大正应力值的相对位置也有影响。随着Ｒｉ／Ｒｏ的升高，层间最大正应力值降低，同时其位置

第５期　　　　　　　　　　　　　郝扣安，等：弹性地基复合曲梁抗弯力学性能研究·５２１·

逐渐向几何中心轴靠近。由图３（ｂ）可知，随着Ｒｉ／Ｒｏ的升高，平面内最大正应力值也升高，而平面内正应力中性轴相对位置几乎不变。值得一提的是，周向径向弹性模量之比λ对于应力分布无明显３．２　影响［７］。

材料参数对中性轴位置的影响

梁对应的应力分布，作为比较标准。若Ｒｉ＝６．４ｍｍ，Ｒｉ＝９．４ｍｍ，Ｍ＝１０００Ｎ·ｍ，其中Ｉ层ＩＩ层材料参数由表１给出。

图５给出了ＩＩ层材料体积百分比分别为５０％、６０％和７０％的应力分布曲线。其中ＶＩＩ＝１００％时，最大层间正应力约为７．７２ＭＰａ，与文献［１５］中７．６０ＭＰａ结果相近。

由式（１４）可知，复合曲梁的中性轴与曲梁界面

的几何中心轴并不重合，偏离距离为δ。图４分别

θ

＝２、４、６、８、１０时，中性轴偏离中心轴距给出ＥθＩＩ／ＥＩ

观察图５（ａ），复合曲梁层间正应力分为两个明

显区域，分界点横坐标与材料对应的体积百分比一

离随χ（χ＝ｔＩＩ／ｔ）的变化情况。

由图４可知，复合材料曲梁在承载时，其中性轴偏离几何中心轴靠近内径一端，随着ＩＩ层相对厚度的增加，中性轴逐步靠近中心轴。此外，中性轴偏离几何中心轴的距离还与ＩＩ层与Ｉ层周向模量比相

关。ＥθＥＩＩ／Ｅθ

Ｉ越大，中性轴偏离中心轴越远，随着ＥθＩＩ／θＩ的减小，中性轴靠近中心轴的趋势更明显。

图４　不同周向模量比的中性轴位置随χ的变化情况Ｆｉｇ．４　Ｌｏｃａｔｉｏｎｏｆｎｅｕｔｒａｌａｘｉｓｖｅｒｓｕｓχｕｎｄｅｒ　　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍｏｄｕｌｕｓｒａｔｉｏ

３．３　针对材料材料参数、ＩＩ，体积比对复合曲梁应力

考虑材料ＩＩ的体积含量对于曲梁应力的影响，其中ＶＩＩ为材料ＩＩ在曲梁结构中的体积百分比。

表１　复合曲梁材料参数

Ｔａｂｌｅ１　Ｍａｔｅｒｉａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｅｃｕｒｖｅｄｂｅａｍ

材料参数Ｉ层ＩＩ层ＥθＥ／ＧＰａ４．８８２２．７ｒＧ／ＧＰａ

４．８８θｒυ／ＧＰａ１．８２４．８８υ１２０．３０２．４３图５给出了Ｖ２１０．２６

０．２６　　０．３０

ＩＩ为５０％、６０％、７０％下对应的应力分布图。同时给出了ＶＩＩ＝１００％，即单一材料曲

致。从ＶＩＩ＝１００％到ＶＩＩ＝５０％，层间正应力最大值都位于ＩＩ层内，且随着ＶＩＩ的增加而减小，且层间正应力最大值的位置越来越靠近复合曲梁内径。Ｉ层内的层间正应力最大值位于材料交界处，并沿着外径方向逐步减至零，随着Ｖ力最大值增大。

ＩＩ的增大，Ｉ层内层间正应（ａ）层间正应力分布

图５　不同体积之比下的应力分布

（ｂ）平面内正应力

Ｆｉｇ．５　Ｓｔｒｅｓｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｏｎｇｔｈｉｃｋｎｅｓｓｕｎｄｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｖｏｌｕｍｅｆｒａｃｔｉｏｎｏｆｌａｙｅｒＩＩ

观察图５（ｂ），两种材料不同周向弹性模量，复合曲梁平面内正应力存在明显的分界点，分界点与曲线对应的体积百分比一致。随着Ｖ，而Ｉ层内的平面内ＩＩ的减小，ＩＩ层内的平面内正应力绝对值增大正应力绝对值减小，其中性轴（平面内正应力为零）也向内径靠近。

本文将材料Ｉ、ＩＩ位置互换，令材料ＩＩ位于外径处，材料Ｉ位于内径处。图６中两种铺层顺序分别

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ｂｅａｍｓｓｕｂｊｅｃｔｅｄｔｏｃｏｍｂｉｎｅｄｆｌｅｘｕｒｅａｎｄｔｏｒｓｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒ⁃６３．

ｎａｌｏｆＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌＳｔｅｅｌＲｅｓｅａｒｃｈ，２００９，６５（８）：１８５５⁃［２］ＷＡＮＧＷ，ＳＨＥＮＯＩＲＡ．Ｄｅｌａｍｉｎａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｉｎｇｏｆａ

ｃｕｒｖｅｄｃｏｍｐｏｓｉｔｅｂｅａｍｓｕｂｊｅｃｔｅｄｔｏａｎｏｐｅｎｉｎｇｂｅｎｄｉｎｇｍｏｍｅｎｔ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｔｒａｉｎＡｎａｌｙｓｉｓｆｏｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＤｅ⁃［３］ＰＡＧＡＮＯＮＪ．Ｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｃｏｍｐｏｓｉｔｅｌａｍｉｎａｔｅｓｉｎｃｙ⁃

１９６９，３（３）：３９８⁃４１１．ｓｉｇｎ，２００３，３８（５）：４５３–５７．

用实心点与空心点表示，给出了铺层顺序对应力分布的影响。

观察图６（ａ），两种铺层顺序的层间正应力的最大值都位于材料ＩＩ区域内，当材料ＩＩ靠近内径时，层间正应力最大值大于材料ＩＩ靠近外径时。对于材料Ｉ来说，其区域内的层间正应力最大值也大于材料Ｉ位于外径处情况。观察图６（ｂ），其平面内正应力分布也呈现同样的趋势。

ｌｉｎｄｒｉｃａｌｂｅｎｄｉｎｇ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｏｓｉｔｅＭａｔｅｒｉａｌｓ，［４］ＰＡＧＡＮＯＮＪ．Ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｆｌｅｘｕｒｅｔｅｓｔｏｆｂｉｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ

（ａ）层间正应力分布

图６　（ｂ）Ｉ层与平面内正应力

ＩＩ层的应力分布

Ｆｉｇ．６　ＳｔｒｅｓｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｌａｙｅｒＩａｎｄＩＩａｌｏｎｇｔｈｉｃｋｎｅｓｓ

４　

结束语

（关系Ｒ本文讨论了弹性地基作用下曲梁内外径之比

ｉ／Ｒｏ。随着）与其层间拉应力和平面内拉应力分布的Ｒｉ／Ｒｏ的增大，层间拉应力最大值减小，

最大拉应力位置逐步向几何中心轴靠近，平面内拉应力值也随之增大，而平面内拉应力的中性轴相对位置几乎不变。在此基础上，分析了两层不同材料

组成的曲梁，确定了平面内拉应力中性轴位置，给出了复合曲梁的层间拉应力和平面内拉应力解答，计算了不同几何外形、材料不同的体积分数和材料参数对于曲梁层间正应力和平面内正应力大小、铺层顺序的影响。

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