历年全国卷高考数学真题汇编

全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形

（2019全国2卷文）8．若x1=4，x2=4是函数f(x)=sinx(>0)两个相邻的极值

点，则=

3B．2

A．2

C．1

1D．2

答案：A

πa∈（0，2），2sin2α=cos2α+1，则

（2019全国2卷文）11．已知sinα=

1A．5

B．55

C．33

25D．5

答案：B

（2019全国2卷文）15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.

3答案：4

（2019全国1卷文）15．函数

3π)3cosx2

f(x)sin(2x的最小值为___________．

答案：-4

（2019全国1卷文）7．tan255°=（ ）

A．－2－3 B．－2+3 C．2－3 D．2+3 答案：D

（2019全国1卷文）11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

asinAbsinB4csinC

，

cosA1b4，则c=（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

答案：A

（2019全国3卷理）

ACbsinA2．

18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

asin（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c1，求△ABC面积的取值范围．

ACsinBsinA2．

（1）由题设及正弦定理得

sinAsin因为sinA0，所以

sinACsinB2．

由ABC180，可得

sinACBBBBcoscos2sincos22，故222．

因为，故，因此B60．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积

SABC3a4．

由正弦定理得

acsinAcsin(120C)31sinCsinC2tanC2

．

由于△ABC为锐角三角形，故0A90，0C90．

133SABCa22． 由（1）知AC120，所以30C90，故2，从而8因此，△ABC面积的取值范围是

π3，

（2019全国2卷理）15．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若则△ABC的面积为_________．

b6,a2c,B答案：63

（2019全国2卷理）9．下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是

A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│

C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│

答案：A

（2019全国2卷理）10．已知α∈(0，2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=

15325A．5 B．5 C．3 D．5

答案：B

（2019全国1卷理）17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设

(sinBsinC)2sin2AsinBsinC

．

（1）求A；

（2）若2ab2c，求sinC．

【答案】（1）

A3；（2）

sinC624. 【解析】

【分析】

222bcabc，从而可整理出cosA，（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：

根据A0,可求得结果；（2）利用正弦定理可得

2sinAsinB2sinC

，利用

sinBsinAC、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三

角函数关系解方程可求得结果.

【详解】（1）

sinBsinC即：

2sin2B2sinBsinCsin2Csin2AsinBsinC

sin2Bsin2Csin2AsinBsinC

222由正弦定理可得：bcabc

b2c2a21cosA2bc2

A0,π

A3

（2）2ab2c，由正弦定理得：

2sinAsinB2sinC

又

sinBsinACsinAcosCcosAsinC

，

A3

2331cosCsinC2sinC222

整理可得：3sinC63cosC

sin2Ccos2C1

3sinC6231sin2C

解得：

sinC62624或4

因

sinB2sinC2sinA2sinC602

所以

sinC662sinC4，故4. （2）法二：2ab2c，由正弦定理得：

2sinAsinB2sinC

又

sinBsinACsinAcosCcosAsinC

，

A3

2331cosCsinC2sinC222

整理可得：3sinC63cosC，即

3sinC3cosC23sinC66

2sinC62 由

2),C(,)3662

C(0,，所以

C64,C46

sinCsin(46)624

.

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.

（2019全国1卷理）11.关于函数f(x)sin|x||sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（2,）单调递增

③f(x)在[,]有4个零点 ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③

【答案】C

【解析】

【分析】

fxsinxsinx化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．

【详解】

fxsinxsinxsinxsinxfx,fx

x,fx2sinx为偶函数，故①正确．当2时，，它在区间2单调递减，故②

fx2sinx错误．当0x时，，它有两个零点：0；当x0时，

fxsinxsinx2sinx

，它有一个零点：，故fx在,有3个零点：0，故③错误．当

x2k,2kkN

时，fx2sinx；当

x2k,2k2kN

fxsinxsinx0时，，又fx为偶函数，fx的最大值为2，故④正确．综上所

述，①④ 正确，故选C．

（2018全国3卷文）11.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ABC的面积为

a2b2c24，则C( )

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【解析】

SABC1a2b2c2absinC24

a2b2c2cosC2ab，而

故

12abcosC1absinCabcosC242

，

C4

【考点】三角形面积公式、余弦定理

（2018全国3卷文）6.函数

fxtanx1tan2x的最小正周期为( )

A．4 B．2 C． D．2

【答案】C

【解析】

tanxtanxcos2x1fxsinxcosxsin2xxk2221tanx1tan2xcos2x

，

T22(定义域并没有影响到周期)

（2018全国3卷文）4.若

sin13，则cos2( )

8778A．9 B．9 C．9 D．9

【答案】B

【解析】

cos212sin279

（2018全国2卷理）15. 已知，，则__________．

【答案】

【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.

详解：因为，，

所以，

因此

点睛：三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

（2018全国2卷理）10. 若在是减函数，则的最大值是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值

详解：因为，

所以由得

因此，从而的最大值为，选A.

点睛：函数的性质：

(1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间;

由求减区间.

（2018全国2卷理）6. 在中，，，，则

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

详解：因为

所以，选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

（2018全国I卷理）17．（12分）

在平面四边形中，，，，.

（1）求；

（2）若，求

解：（1）在中，由正弦定理得.

由题设知，，所以.

由题设知，，所以.

（2）由题设及（1）知，.

在中，由余弦定理得

.

所以.

（2018全国I卷理）16．已知函数，则的最小值是_____________．

（2018全国I卷文）16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为 ．

【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

bsinC+csinB=4asinBsinC，

利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，

由于sinBsinC≠0，

所以sinA=，

则A=

由于b2+c2﹣a2=8，

则：，

①当A=时，，

解得：bc=，

所以：．

②当A=时，，

解得：bc=﹣（不合题意），舍去．

故：．

故答案为：

（2018全国I卷文）11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（ ）

A． B． C． D．1

【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，

终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，

∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，

∴|cosα|=，∴|sinα|==，

|tanα|=||=|a﹣b|===．

故选：B．

（2018全国I卷文）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（ ）

A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3

B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4

（x）的最小正周期为2π，最大值为3

D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4

【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2， =2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x， =4cos2x+sin2x， =3cos2x+1， =，

=

， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为，

故选：B．

1（2017全国I卷9（）

2πC2:ysin2xC:ycosx3，则下面结论正确的是1题）已知曲线，

πA．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个

单位长度，得到曲线C2

πB．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2

1C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的2π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2

πD．把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2

【答案】 D

【解析】

2πC2:ysin2xC1:ycosx，3 【解析】

C1:ycosx用诱导公式处理．

首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将

【解析】

πππycosxcosxsinx222 

【解析】

．横坐标变换需将1变成2，

【解析】 即

【解析】

πC1上各点横坐标缩短它原来1ππ2ysinxysin2xsin2x224 【解析】

【解析】

2ππysin2xsin2x33 ．

【解析】 这时

xππx4平移至3，

注意的系数，在右平移需将2提到括号外面，

【解析】

ππ12，即再向左平移12

根据“左加右减”原则，“

xππx4”到“3”需加上

2 （2017全国I卷17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABCa2的面积为3sinA．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC1，a3，求△ABC的周长．

【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦

定理等基础知识的综合应用.

【解析】

a21SSbcsinA（1）∵△ABC面积3sinA.且2

a21bcsinA【解析】 ∴3sinA2

3a2bcsin2A2【解析】 ∴

【解析】

3sin2AsinBsinCsin2A2∵由正弦定理得，

由sinA0得

sinBsinC23.

（2）由（1）得

sinBsinC21cosBcosC3，6

∵ABCπ

∴

cosAcosπBCcosBCsinBsinCcosBcosC12

又∵A0，π

∴A60，

sinA31cosA2，2

由余弦定理得a2b2c2bc9 ①

由正弦定理得

baasinBcsinCsinAsinA，

a2bc2sinBsinC8sinA∴ ②

由①②得bc33 ∴abc333，即△ABC周长为333 3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）

B2．

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知

sin(AC)8sin2(1)求cosB

(2)若ac6 , ABC面积为2,求b.

【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．

【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知ACB，将

sin(AC)8sin2BBsin22，结合2转化为角B的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简

sinB8sin2BBsin2，两边约去2，求得

sin2Bcos2B1求出cosB；②利用二倍角公式，化简

tan

B

2，进而求得cosB.在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出

ac、ac，从而求出b．

（Ⅰ）

【基本解法1】

由题设及

B2

ABC,sinB8sin2，故

sinB（41-cosB）

2上式两边平方，整理得 17cosB-32cosB+15=0

解得

1517

cosB=1（舍去），cosB=【基本解法2】

由题设及

ABC,sinB8sin2B2

B215cosBBBBBB1B172sincos8sin2sin0tan1tan2222，又224，2，所以，所以

1tan2（Ⅱ）由

cosB=158得sinB1717，故

14SABCacsinBac217

172

又

SABC=2，则ac由余弦定理及ac6得

b2a2c22accosB2（a+c）2ac(1cosB)36241715(1)217

所以b=2

【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用

22ac,ac,ac三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系，这样

的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．

4 （2017全国卷3理）17．（12分）

ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA3cosA0，a27，b2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求△ABD的面积．

π2sinA03【解析】（1）由sinA3cosA0得，

即

AπkπkZ3，又A0,π，

∴

Aπ2ππA33. ，得

由余弦定理a2b2c22bccosA.又∵

a27,b2,cosA12c1252代入并整理得，故c4.

（2）∵AC2,BC27,AB4，

a2b2c227cosC2ab7由余弦定理

. ∵ACAD，即△ACD为直角三角形，

则ACCDcosC，得CD7.

由勾股定理

ADCDAC322. 又

A2π2πππDAB3，则326，

S△ABD1πADABsin326 .

ππcos()a(0，)4=__________。 2,tan α=2，则1）14 已知

5 （2017全国卷文

310【答案】10

（法一）0,2 ，

tan2sin2sin2coscos

，

22又sincos1，解得

sin255cos5，5，

2310cos(cossin)4210 

．

（法二）

2cos()(cossin)42 1cos2sincos42

．又tan2

sincostan2sin2cos2tan215

sincos9cos2410， ，

由

0,2知

44310cos0cos4410 4，，故6.（2017全国卷2 文） 3.函数的最小正周期为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意，故选C.

【考点】正弦函数周期

【名师点睛】函数的性质

(1).

(2)周期

(3)由 求对称轴

(4)由求增区间; 由求减区间;

7（2017全国卷2文）13.函数的最大值为 【答案】

8（2017全国卷2文）16.的内角的对边分别为,若,则 【答案】

9（2017全国卷3文） 4．已知，则=（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】A

10 （2017全国卷3文）6．函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为（A．

B．1

C．

D．

【答案】A

.

）

【解析】由诱导公式可得： ，

则： ,

函数的最大值为 .

本题选择A选项.

7．函数y=1+x+的部分图像大致为（ ）

A B D．

C D 【答案】D

1、（2016全国I卷12题）已知函数

ππf(x)sin(x+)(0，),x24

ππ5π(，)4为yf(x)图像的对称轴，且f(x)在1836单调，则的最大值

为f(x)的零点，为

x（A）11 （B）9 （C）7 （D）5

【答案】B

考点：三角函数的性质

2、（2016全国I卷17题）（本小题满分12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

2cosC(acosB+bcosA)c.

（I）求C；

33（II）若c7,△ABC的面积为2，求△ABC的周长．

【答案】（I）

C3（II）57

【解析】

试题解析：（I）由已知及正弦定理得，

2cosCsincossincossinC

，

2cosCsinsinC

．

故2sinCcosCsinC．

1C2，所以3．

可得

cosC考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式

3、（2015全国I卷2题）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A）

33112 （B）2 （C）2 （D）2

【答案】D

【解析】

1试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=2，故选D.

考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式

4、（2015全国I卷8题） 函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为

(A)（）,k (b)（）,k

(C)（）,k (D)（）,k

【答案】D

【解析】

1+425+3=f(x)cos(x)42=4，令 试题分析：由五点作图知，，解得，4，所以

2kx42k,kZ

，解得

2k13312k2k2k4＜x＜4，kZ，故单调减区间为（4）4，，kZ，故选D.

考点：三角函数图像与性质

5、（2015全国I卷16题）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是

【答案】（62，6+2）

【解析】

试题分析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB

BCBE最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sinEsinC，即2BEsin30osin75o，解得BE=6+2，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交BFBC于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sinFCBsinBFC，

BF2oo即sin30sin75，解得BF=62，所以AB的取值范围为（62，6+2）.

考点：正余弦定理；数形结合思想

1sincos，则

6. （2014全国I卷8题）设

2 B.

(0,)2，

(0,)2，且

tanA.

322 C.

32 D.

22

【答案】：Ｂ

【解析】：∵

sin1sincoscos

tan，∴

sincoscoscossin sincossin2

，

22,022

∴

2，即

22，选B

7、（2014全国I卷16题）已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且

(2b)(sinAsinB)(cb)sinC

，则ABC面积的最大值为 .

【答案】：3 【解析】：由a2且

(2b)(sinAsinB)(cb)sinC

，

即

(ab)(sinAsinB)(cb)sinC

，由及正弦定理得：(ab)(ab)(cb)c

b2c2a21cosA2222bc2，∴A600，∴b2c24bc ∴bcabc，故

1SbcsinA3ABC224bcbcbc，∴2，

8、（2013全国I卷15题）设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______

【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.

【解析】∵f(x)=sinx2cosx=

5(525sinxcosx)55

525sin5，则f(x)= 令cos=5，

5(sinxcossincosx)

=5sin(x)，

2当x=

2k,kz，即x=

2k2,kz时，f(x)取最大值，此时

=

2k2,kz，∴cos=

cos(2k2)25=sin=5.

9、（2013全国I卷17题）（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°

1

(1)若PB=，求PA；

2

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA

【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.

【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=60，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得PA=

o211323cos30o42

77=4，∴PA=2；

（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=sin，在△PBA中，由正弦定理得，

3sinsin150osin(30o)，化简得，3cos4sin，

33∴tan=4，∴tanPBA=4. 10、（2016全国II卷7题）若将函数y=2sin 2x移后图象的对称轴为

kππkππkZxkZ2626 （B）

π的图像向左平移12个单位长度，则平

（A）

x（C）

xkππkππkZxkZ212212 （D）

【解析】B

πy2sin2x12， 平移后图像表达式为

ππkππ2xkπ+xkZ2，得对称轴方程：26令12，

故选B．

11、（2016全国II卷9

7（A）25

1（B）5

π3cos题）若45，则sin2=

（C）

15

（D）

725

【解析】D

3cos∵45，

7ππsin2cos22cos2125 24，

故选D．

45，

12、（2016全国II卷13题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

cosC513，a1，则b ．

cosA21【解析】13

∵

cosA45cosC13， 5，

sinA312sinC5，13，

sinBsinACsinAcosCcosAsinC6365

，

ba21b由正弦定理得：sinBsinA解得13．

13、（2015全国II卷17题）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是ADC面积的2倍。

sinB(Ⅰ)求sinC;

2(Ⅱ) 若AD=1，DC=2求BD和AC的长.

14、（2014全国II卷4题）钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( A. 5 B. 5 C. 2 D. 1

【答案】B

【KS5U解析】

S12B=12•2•1•sinB=12∴sinB=2ΔABC=acsin2,∴B=π4,或3π4.当B=π4时，经计算ΔABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。∴B=3π4，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accosB,解得b=5.故选B.

15、（2014全国II卷14题）函数

fxsinx22sincosx

的最大值为_________.

)

∆

【答案】 1

【KS5U解析】

f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)•cosφ+cos(x+φ)•sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)•cosφ-cos(x+φ)•sinφ=sinx≤1.∴最大值为1.

16、（2013全国II卷15题）设θ为第二象限角，若tan412sincos=_________.

17、（2013全国II卷17题）（本小题满分12分）

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。

18、（2013全国III卷5题）若 ，则

(A) (B) (C) 1 (D)

【答案】A

则 ，

【解析】

试题分析：由，得或，所以

，故选A．

考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．

19、（2013全国III卷8题）在中，，BC边上的高等于,则 （A） （B） （C） （D）

【答案】C

【解析】

试题分析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．

考点：余弦定理．

20、（2013全国III卷14题）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．

【答案】

【解析】

试题分析：因为，＝

，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．

考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．