教案6

授课题目 教学目标与要求 重 点 难 点 第1.3节 质因数分解定理 授课总学时 11．12 1、掌握质数的定义，明晰正整数的构成情况； 2、理解并掌握质因数分解定理，并能运用质因数分解定理。 质因数分解定理为重点 理解并灵活应用质因数分解定理难点 教 学 过 程 1． 正整数的分类（按因数的多少分类） 第一类：仅含一个数1，称为单位； 第二类：质数（素数），质数大于1，且仅含有两个因数，即1与自身； 第三类：合数，合数有真因数，即有不同于1与自身的因数。 注：1）质数中有一个为偶数（2），其余的都是奇数，，奇数不都是质数。 2）若质数p是a的因数，称p为a的质因数。 例1． 证明：若质数P是ab的因数，那么p一定是a或b的因数。 证明：若P不是a的因数，则 p与a的公因数只有1，则 u,vZ，使得 1uavb 从而 buabvpb 又p|ab 则p|b 2． 质因数分解定理：每一个大于1的整数n都能分解成质因数的乘积，并且若不考虑因数的次序，则分解的方式是唯一的，既n可以唯一表示成： np11p22pkk 其中p1,p2,,pk均为不同的质数，1,2,kN。 证明：用数学归纳法证明 n为质数时，无须进行分解  假设n为合数并且小于n的数均可分解为质因数的乘积，由于n为合数，存在真因数n1,n2(n)，满足nn1n2,且n1n,n2n。 n1 根据归纳假设，n1,n2都可分解为质因数的积，因而n可分解为质因数的积。 其次，证明n的分解式是唯一的 若有 np1p2psq1q2qt(*) 这里pi及qj(1is,1jt)均为质数（允许其中有相同的），则p1|q1q2qt,由例1推知p1必整除q1,q2qt中某一个，不失一般性，可假设p1|q1，但q1是质数，从而p1q1，在（*）式两端约去p1(q1)得 p2psq2qt 仿照上面的讨论可得（需要时适当调整编号） p2q2,psqs 并且st 于是n的分解式是唯一的 推论1。1 若c|ab,(c,a)1,则c|b 推论1。2 若a|n,b|n,(a,b)1,那么ab|n 例2． 求27与15的最大公约数与最小公倍数 解：因为 27=3 15=35 因此， （27，15）=3 [27，15]=135 k推广：一般地，ap11p22pkk与bp11p22pk(i0,i0,i1,2k)的最大公3约数为 p11p22pkk imin(i,i),i1,2k 而最小公倍数为 p11p22pkk imax(i,i),i1,2k 由于 iiii,i1,2k 所以 ab(a,b)[a,b] 推论1。3 如果a,b是正整数，那么ab(a,b)[a,b] 例3． 求使1989m为平方数的最小的m。 解：由于1989=31713，所以m应取 m=1713221 例4． 如果n的分解式中，所有i1(1ik)，那么n称为幂数，例如，8=2,93都是幂数，并且是一对连续的幂数，是否有无穷对连续的幂数存在？ 分析：设n与n1是一对连续的幂数，则4n(n1)是幂数，而3224n(n1)+1=4n24n1(2n1)2是幂数。 因此，我们可以从8，9出发，得到无穷对连续的幂数。 例5 n是正整数，证明：nn1不是平方数 证明：由于nnn1(n1) 故nn1夹在两个连续整数的平方之间，所以它不是平方数。 例6． 证明：四个连续自然数的积加上1一定是平方数 22222分析：设这四个数为n,n1,n2,n3,则 n(n1)(n2)(n3) [n(n3)][(n1)(n2)]1(n23n)(n23n2)1(n3n)2(n3n)1(n23n1)2 例7． 三个连续正整数的积不是平方数。 分析：令这三个数为n1,n,n1，假设这三个连续正整数的积是m（m是正整数），则 (n1)n(n1)n(n21)m2 （*） 由(n21,n2)1 得 (n21,n)1，由（*）可设 n21a2,nb2,且abm 而 1n2a2(na)(na)na2a 矛盾 所以（*）不成立 说明：一般地，任意多个连续正整数的积 x(x1)(xn)y 3． 学生作业 （1） 对于任意的整数n1，证明：总可以找到n个连续的合数 （2） 求72与480的最大公约数与最小公倍数。

22222