怀宁县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

一、选择题

1． 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）ex

D．y=

2． 已知四个函数f（x）=sin（sinx），g（x）=sin（cosx），h（x）=cos（sinx），φ（x）=cos（cosx）在x∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（ ）

A．f（x）﹣①，g（x）﹣②，h（x）﹣③，φ（x）﹣④ h（x）﹣④

B．f（x）﹣①，φ（x）﹣②，g（x）﹣③，

C．g（x）﹣①，h（x）﹣②，f（x）﹣③，φ（x）﹣④ D．f（x）﹣①，h（x）﹣②，g（x）﹣③，φ（x）﹣④

3． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）

A． B． C． D．

4． 若复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ） A．±1

B．﹣1 C．0

D．1

5． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6 102，b＝2 016时，输出的a为（ ）

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A．6 B．9 C．12 D．18

6． 实数x，y满足不等式组

，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（ ）

A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）

7． 如图F1、F2是椭圆C1：

+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共

点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）

A． B． C． D．

8． 自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果： ①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟 ②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟 ④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（ ） A．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟

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D．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟

9． 矩形ABCD中，AD=mAB，E为BC的中点，若A．

B．

C．2

D．3

10．已知一组函数fn（x）=sinnx+cosnx，x∈[0，①∀n∈N*，fn（x）≤

恒成立

，则m=（ ）

]，n∈N*，则下列说法正确的个数是（ ）

②若fn（x）为常数函数，则n=2 ③f4（x）在[0，

]上单调递减，在[

，

]上单调递增．

A．0 B．1 C．2 D．3

11．设D为△ABC所在平面内一点，A．C．

B．D．

，则（ ）

12．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（ ） A．60°

B．90°

C．45°

D．以上都不正确

二、填空题

13．若函数f（x）=logax（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x﹣1）＜f（2﹣x）的解集是 ．

14．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为 海里．

15．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意nN，均有an、Sn、an成等差数列，则an ．

16．设xR，记不超过x的最大整数为[x]，令xx[x].现有下列四个命题: ①对任意的x，都有x1[x]x恒成立； ②若x(1,3)，则方程sin2*2xcos2[x]1的实数解为6；

31③若an（nN），则数列an的前3n项之和为n2n；

223④当0x100时，函数f(x)sin[x]sin22nx1的零点个数为m，函数g(x)[x]x1的

零点个数为n，则mn100.

其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）

x3【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

17．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为 ． 18．在极坐标系中，点（2，

）到直线ρ（cosθ+

sinθ）=6的距离为 ．

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三、解答题

19．设不等式

的解集为.

与

的大小。

（1）求集合； （2）若，∈，试比较

20．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点． （1）求椭圆C的方程；

求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=（Ⅰ）求cos2C和角B的值； （Ⅱ）若a﹣c=

22．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为

，直线y=k（x﹣1）与

﹣1，求△ABC的面积．

222

，5（a+b﹣c）=3

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，

ab．

椭圆C交于不同的两点M，N， （Ⅰ）求椭圆C的方程；

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（Ⅱ）当△AMN的面积为

时，求k的值．

23．（本题10分）解关于的不等式ax(a1)x10.

24．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛， （1）男、女同学各2名，有多少种不同选法？

（2）男、女同学分别至少有1名，且男同学甲与女同学乙不能同时选出，有多少种不同选法？

25．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P（1，0）， 斜率为

，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．

（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

26．（本题满分15分）

如图，已知长方形ABCD中，将ADM沿AM折起，使得平面ADMM为DC的中点，AB2，AD1，

2第 5 页，共 18 页

平面ABCM．

（1）求证：ADBM；

（2）若DEDB(01)，当二面角EAMD大小为

时，求的值． 3

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

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怀宁县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C

x2x2

【解析】解：A中，∵y=2﹣x﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2的值趋向于0，y=x+1的值趋向+∞，

x2

∴函数y=2﹣x﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；

B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=∴B中的函数不满足条件；

的图象是以x轴为中心的波浪线，

C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；

x

且y=e＞0恒成立，

2x

∴y=（x﹣2x）e的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；

∴C中的函数满足条件； D中，y=∴y=

的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，

＜0，∴D中函数不满足条件．

故选：C．

【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．

2． 【答案】 D

【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；

图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x）， 又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x）， 那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）． 故选：D．

【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．

3． 【答案】A

【解析】解：由已知中几何体的直观图，

我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确； 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确； 而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确 故A选项正确． 故选：A． 题的关键．

【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问

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4． 【答案】B

2

【解析】解：因为复数a﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，

2

所以a﹣1=0且a﹣1≠0，解得a=﹣1．

故选B．

【点评】本题考查复数的基本概念的应用，实部为0并且虚部不为0，是解题的关键．

5． 【答案】

【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a＝18，选D.

法二：a＝6 102，b＝2 016，r＝54， a＝2 016，b＝54，r＝18， a＝54，b＝18，r＝0. ∴输出a＝18，故选D. 6． 【答案】 D

【解析】解：由题意作出其平面区域，

将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距， 故由图象可知，

使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内， 故（1，1），（0，3），（而点（故选D．

，2）成立，

，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，

故不成立；

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【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．

7． 【答案】 D 【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：∴2a=4，b=1，c=

；

222

，即x+y=（2c）=

+y2=1上的点，

∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴

+

=

=12，②

由①②得：，解得x=2﹣

，2n=2c=2

，y=2+，

，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，

则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2

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∴双曲线C2的离心率e==故选D．

=．

【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

8． 【答案】D

【解析】集合A表示报考“北约”联盟的学生，集合B表示报考“华约”联盟的学生， 集合C表示报考“京派”联盟的学生，集合D表示报考“卓越”联盟的学生，

ABADBCA 由题意得，∴BC， DCðDBDUðUDB选项A．BD，正确；

选项B．BC，正确； 选项C．AD，正确．

9． 【答案】A

【解析】解：∵AD=mAB，E为BC的中点， ∴=∵∴∴

•=

+﹣

=， ， =（

+

）（

﹣

）=|

|2﹣|

|2+

+

=

+

，

B=C=（﹣1）|

|2=0，

﹣1=0，

或m=﹣

（舍去），

解得m=故选：A

【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，以及向量垂直的条件，属于中档题．

10．【答案】 D

【解析】解：①∵x∈[0，

]，∴fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=

≤

，因此正确；

②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，

2

当n≠2时，令sinx=t∈[0，1]，则fn（x）=

+，当t∈

=g（t），g′（t）=﹣

=

当t∈

时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；

时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数fn（x）不是常数函数，因此②正确．

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22222

=sin4x+cos4x=③f4（x）（sinx+cosx）﹣2sinxcosx=1﹣

=，

=+，当x∈[0，

，

]

]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，上单调递增，因此正确． 综上可得：①②③都正确． 故选：D．

]上单调递减，当x∈[]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．【答案】A 【解析】解：由已知得到如图 由故选：A．

=

=

=

；

【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量

12．【答案】B

【解析】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1， ∴∠AEA1=90°， ∴A1D1⊥AE， 故选B

又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1， ∴AE⊥平面A1ED1，

表示为

．

【点评】本题考查线面角的求法，根据直线与平面所成角必须是该直线与其在这个平面内的射影所成的锐角，还有两个特殊角，而立体几何中求角的方法有两种，几何法和向量法，几何法的思路是：作、证、指、求，向量法则是建立适当的坐标系，选取合适的向量，求两个向量的夹角．

二、填空题

13．【答案】 （1，2） ．

【解析】解：∵f（x）=logax（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3）， ∴0＜a＜1，x＞0，

若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），

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则

解得：1＜x＜2，

，

故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．

14．【答案】 24

【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°， 在△ABC中，根据正弦定理得：BC=则这时船与灯塔的距离为24故答案为：24

．

海里．

=24

海里，

15．【答案】n

22【解析】∵an，Sn，an成等差数列，∴2Snanan 2当n1时，2a12S1a1a1 又a10 ∴a11

当n2时，2an2(SnSn1)ananan1an1，

2222∴(anan1)(anan1)0，

∴(anan1)(anan1)(anan1)0， 又anan10，∴anan11， ∴{an}是等差数列，其公差为1，

*∵a11，∴ann(nN)．

16．【答案】①③

【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然x1[x]x，①是真命题；对于②，由sin2xcos2[x]1得，

sin2x1cos2[x]，即sin2xsin2[x].当1x2 时，0x11，0sin(x1)sin1，此时

方程无解；当2x3 时，0x21，0sin(x2)sin1，sin2xsin2[x]化为sin2(x1)sin21，此时sin2xsin2[x]化为sin(x2)sin2，所以x22或x22，即x4或x，所以原方

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程无解.故②是假命题；对于③，∵an（nN），∴a10，a20，a31，

3333n123143n13n[n]n1a41，…，a3n1a[n]n，所以数列an的前3n项之和，3n3333321为3[12(n1)]nnn，故③是真命题；对于④，由

22

17．【答案】 3x﹣y﹣11=0 ．

【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点 为A（x1，y1），B（x2，y2），

22

即有y1=6x1，y2=6x2，

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相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2）， 即有kAB=

=

==3，

则直线方程为y﹣1=3（x﹣4）， 即为3x﹣y﹣11=0．

将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得 9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0， 故所求直线为3x﹣y﹣11=0． 故答案为：3x﹣y﹣11=0．

18．【答案】 1 ．

【解析】解：点P（2，直线ρ（cosθ+

）化为P

． ．

=1．

sinθ）=6化为

∴点P到直线的距离d=故答案为：1． 题．

【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档

三、解答题

19．【答案】（1）（2）

【解析】（1）由所以

（2）由（1）和所以故

20．【答案】

（a＞0，b＞0），且可知左焦点为

，

【解析】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为F（﹣2，0），从而有

，解得c=2，a=4，

．

2222

又a=b+c，所以b=12，故椭圆C的方程为

（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，

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由22

得3x+3tx+t﹣12=0，

≤t≤4

，

因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）﹣4×3（t﹣12）≥0，解得﹣4

2

2

另一方面，由直线OA与l的距离4=由于±2

∉[﹣4

，4

，从而t=±2，

]，所以符合题意的直线l不存在．

【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．

21．【答案】

【解析】解：（I）由∵cosA=∴sinA=

222

∵5（a+b﹣c）=3

，0＜A＜π，

=， ab，

∴cosC=∵0＜C＜π， ∴sinC=

=，

=，

2

∴cos2C=2cosC﹣1=，

∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣∵0＜B＜π， ∴B=（II）∵∴a=∵a﹣c=∴a=

=．

=c，

，

×+×=﹣

﹣1，

，c=1，

×1×

=．

∴S=acsinB=×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．

22．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，

∴

∴b=

；

∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立2222

，消元可得（1+2k）x﹣4kx+2k﹣4=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=∴|MN|=

∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为∴∴k=±1．

，

=

，

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．

23．【答案】当a1时，x(,)(1,)，当a1时，x(,1)(1,)，当0a1时，

1a11x(,1)(,)，当a0时，x(,1)，当a0时，x(,1).

aa第 16 页，共 18 页

考

点：二次不等式的解法，分类讨论思想.

24．【答案】

22

【解析】解：（1）男、女同学各2名的选法有C4×C5=6×10=60种；

（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，

132231

故选人种数为C4×C5+C4×C5+C4×C5=40+60+20=120．

男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，

2112

故总的选法有C3+C4×C3+C4=21，

故有120﹣21=99．

25．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为∴直线l的一个参数方程为

（t为参数）；

，

2

∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）=4ρcosθ， 22

∴y=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y=4x．

（Ⅱ） 把22

代入y=4x整理得：3t﹣8t﹣16=0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则∴

．

，

【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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26．【答案】（1）详见解析；（2）233. 【解析】（1）由于AB2，AMBM∴BM平面ADM，…………3分

又∵AD平面ADM，∴有ADBM；……………6分

2，则BMAM，

又∵平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM＝AM，BM平面ABCM，

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