直线与圆的位置关系教学设计

4.2.1 直线与圆的位置关系

一、教学目标

1.知识与技能：（1）理解直线与圆的位置关系；

（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会判断直线与圆的位置关系。

2.过程与方法：（1）通过复习初中数学知识得出几何法判断直线与圆的位置关系；

（2）类比直线交点的求解方法来求直线与圆的交点坐标，从而总结得 出代数法来判断直线与圆的位置关系。

3、情感态度与价值观：使学生通过通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关

系，培养学生数形结合的思想。

二、教学重难点

1.教学重点：根据给定直线及圆的方程，判断直线与圆的位 置关系。

2.教学难点：判断直线与圆的位置关系及其判断方法的选取。 三、课时安排：1课时 四、授课类型：新授课 五、 教学过程：

（一）复习引入

以生活中的场景（日出）展现出直线与圆的位置关系，并提出新的问题 。

师生互动：教师通过多媒体展示日出的几个瞬间，导想出直线与圆的位置关系，引出本节的学习。

设计意图：由生活中的实例出发，有利于激发学生的学习兴趣。

（二）探究新知

1、 判断直线与圆的位置关系的判断方法

师：在初中偶们已经学习过直线与圆的位置关系的相关知识，我们一起来回忆下直线与圆有哪几种位置关系？

生：相交，相切，相离。

师：我们是如何判断他们的位置关系呢？

生：根据圆心到直线的距离与半径的相对大小。

师：恩，非常好！现在我们已经学习过直线，圆的方程了，那大家能否根据之前学过的

方法来判断下直线与圆的位置关呢？

例1.如图所示，已知直线L :3x+y-6=0和圆心为C的圆 x+y-2y-4=0,判断直线L与圆的位置关系，若相交，求出交点坐标。 分析：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系（几何法）； 解：圆 x+y-2y-4=0可化为x+(y-1)=5,其圆心C（0,1） 半径r=5 点C到直线L的距离： d=

222222301691=

5<5 10所以直线L与圆C相交。

设计意图：由学生熟悉的知识入手，引出学生对直线与圆位置关系的一种判断方法：几何法。再由此提出如何才能求出交点坐标，设置探究，引发学生的思考讨论。

思考：如何求直线L与圆C的交点坐标？ 分析提示：回想前面我们学习的直线的交点坐标的求解方法，试想能都也用这种方法来求直线与圆的交点坐标呢？具体如何来求？

（学生分组讨论，并动手求解，最终由教师结合学生小组结论，给出总结）

联立直线L与圆C的方程可得 3xy60(1)xy2y40(2)222

消去y，得

x-3x+2=0 (*) 解得

x1=2, x2=1

将x1=2代入（1）可得 y1=0 将x2=1代入（1）可得 y2=3

所以直线L与圆C的交点坐标分别为 A(2，0) B(1，3)

思考：方程（*）有两个不同的实数根，那么直线与圆就有两不同的交点，反映在位置上就是直线与圆是相交的位置关系，那么我们能不能通过判断方程的实数根的个数来确定直线与圆的位置关系呢？

（学生思考后回答）

由此引出了直线与圆的位置关系的第二种判断方法：代数法 解法二：联立直线L与圆C的方程可得

3xy60(1) 22xy2y40(2)消去y，得

x-3x+2=0 因为=（-3）-4121>0

所以直线L与圆C有两个不同的交点，故直线L与圆C相交。

师：现在大家一起来总结下这两种方法的一般解题步骤。 板书：方法一 几何法

把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 ↓

利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 ↓

作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d把直线方程与圆的方程联立成方程组 ↓

利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 ↓

求出其Δ的值 ↓

比较Δ与0的大小:当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。

2、巩固提高

判断直线４x－３y=50与圆x+y=100的位置关系．如果相交，求出交点坐标。 （由两位同学用两种不同的方法在黑板演算，最后师生一起校对运算过程次，并由此得出下列结论）

小结：在判断直线与圆的位置关系时，若需要求交点坐标，一般情况下用代数法运算较好，若只是判断直线与圆的位置关系，几何法可能更便于运算。

2222（三）拓展应用

师：现在我们一起运用已学到的知识来解决下本节的引言部分的问题。 生：认真阅读课本第126页的引言部分问题

分析：在第三章我们有学习遇到这类文字型题目的一般解决步骤：

（1）建立适当的直角坐标系；

（2）用坐标表示出相关的量，然后进行代数运算； （3）将运算结果翻译成文字语言。

解:以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10km为单位长度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为 x+y=9, 轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0

点Ｏ到直线L的距离

d=

22002865=

28≈3.5 65 圆Ｏ的半径长r=3，因为３.５＞３，

所以，这艘轮船不必改变航线，不会受到台风的影响．

（四）归纳小结

本节课我们一起学习了直线与圆的位置关系的两种判断方法：

①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即⊿＜０，则相离．

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离．

（五）布置作业：课本132页 第1题

六、板书设计 七、教学反思

1、新的课标把直线和圆的位置关系作为独立的章节， 说明新课标对这节内容要求有所提高。

2、判断直线与圆的位置关系为了防止计算量过大，一般采取几何的方法，但用方程思想解决几何问题是解析几何的精髓，是以后处理圆锥曲线问题的常用方法，掌握好方程的方法有

利于培养数形结合的思想。

3、直线与圆位置关系的相关问题如：弦长的求法、如何求圆的切线方程以后还要补充。 4、用代数法判断直线与圆的位置关系， 不必求出方程组的解，利用根的判别式即可。