九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程课时教案

2.5二次函数与一元二次方程

一、教学目标

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标. 二、课时安排 1课时 三、教学重点

理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.

四、教学难点

理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标. 五、教学过程 （一）导入新课

1.一元二次方程ax+bx+c=0 的求根公式是什么？

2.解下列一元二次方程：

（1）x+2x=0 （2）x－2x+1=0 （3）x-2x+2=0.

（二）讲授新课 活动1：小组合作

探究1：我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以用公式h=－5t+v0t +h0 表示，其中h0 (m)是抛出点距地面的高度，v0 (m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h (m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么

（1）h与t 的关系式是什么？

（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流.

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解析：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0）代入关系式h=－5t+v0t+h0得h0=0, 由已知可知v0=40，得h=－5t+40t.

（2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0，得t=0s（舍去）或t=8s. 探究2：二次函数①y=x+2x，②y=x-2x+1，③y=x-2x+2的图象如图所示.

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y y y -3 -2 O -1 1-1 x x 3 -1O-1O 1 2 x 1 2

（1）每个图象与x轴有几个交点？

（2）一元二次方程x+2x=0，x-2x+1=0有几个根？ 解方程验证一下，一元二次方程x-2x+2=0有根吗？

（3）二次函数y=ax+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax+bx+c=0的根有什么关系？

解:（1）每个图象与x轴的交点个数分别是2个，1个，0个. （2）①x1=0, x2=-2,两个不相等实数根. ②x1=x2=1,两个相等实数根. ③没有实数根.

（3）二次函数y=ax+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax+bx+c=0的根.

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活动2：探究归纳

二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况： 有两个交点、有一个交点、没有交点.

当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax+bx+c=0的根.

（三）重难点精讲

例：利用二次函数的图象求方程x-x-3=0的实数根（精确到0.1）.

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方法: (1)先作出y=x²-x-3的图象; (2)写出交点的坐标：（-1.3，0），（2.3，0） (3)得出方程的解：x1=-1.3，x2=2.3.

用你学过的一元二次方程的解法来解，准确答案是什么？ （四）归纳小结

1.二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax+bx+c=0的根.

2.根据一元二次方程ax+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有. （五）随堂检测

1.（崇左·中考）二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（ ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

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2.（河北·中考）如图，已知抛物线y=x+bx+c的对称轴为x=2，点A， B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）

A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）

y A 2

x = 2 B O x 2

3.（汕头·中考）已知二次函数y=-x+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．

（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式.

（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．

4．（株洲·中考）二次函数y=x-mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是_______．

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yO2

1x

5.（咸宁·中考）已知二次函数y=x+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m≠0).

（1）证明:4c=3b.

（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值． 【答案】 1. 答案:D 2. 答案:D

3. 【解析】（1）由题意得1bc2

c3,0,

解得：bc3,2,

2故所求解析式为yx2x3 （2）令y=0，得x2x30， 解得x1=-1，x2=3

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),

∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3． 4. 答案:4

5.【解析】依题意可得：m,-3m是一元二次方程x2bxc0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m(3m)b ，m(3m)c，

b=2m，c=3m ∴4c12m23b2 （2）依题意，2

2b1；b2 2

由（1）得cb2343(2)23 4yx22x3(x1)24

∴二次函数的最小值为-4. 六．板书设计

2.5二次函数与一元二次方程

探究1: 探究2： 例题：

1.二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax+bx+c=0的根.

2.根据一元二次方程ax+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.

七、作业布置 课本P52练习 练习册相关练习 八、教学反思

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