一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） 1.
已知𝑏=𝑑，则下列等式中不成立的是( )
𝑎
𝑐
A. 𝑐=𝑑 C.
2.
𝑏−𝑎𝑎
𝑎𝑏
B.
𝑑−𝑐𝑐
𝑎−2𝑏𝑏𝑎+𝑏
=
𝑐−2𝑑𝑑
=
D. 𝑏+𝑐=𝑑
𝑐
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐶=𝑅𝑡∠，则( )
A. 𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐 B. 𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐 C. 𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑐 D. 𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎
3.
下列函数中，𝑦关于𝑥的二次函数的是( )
𝑏𝑏𝑏
𝑎
A. 𝑦=𝑥3+2𝑥2+3 C. 𝑦=𝑥2+𝑥
4.
下列等式一定正确的是( ) ⃗⃗⃗ A. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴+⃗⃗𝐶𝐵
B. 𝑦=−𝑥2 D. 𝑦=𝑚𝑥2+𝑥+1
1
⃗⃗⃗ B. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵−⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶=⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =⃗ D. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶+⃗𝐶𝐴0
C. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐴
5.
𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐷在⊙𝑂上，如图，点𝐶，且点𝐶是弧𝐵𝐷的中点．过点𝐶作𝐴𝐷的垂线𝐸𝐹交直线𝐴𝐷于点𝐸.若⊙𝑂的半径为2.5，𝐴𝐶的长度为4，则𝐶𝐸的长度为( )
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5
161220
6. 𝑂𝐴𝐵𝐶是边长为1的正方形，𝑂𝐶与𝑥轴正半轴的夹角为15°，如图，点𝐵在抛物线
(𝑎<0)的图象上，则𝑎的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 7.
如果地图上𝐴，𝐵两处的图距是4𝑐𝑚，表示这两地实际的距离是20𝑘𝑚，那么实际距离500𝑘𝑚的两地在地图上的图距是______ 𝑐𝑚． 8.
设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2𝑚，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高𝑥 𝑚，列方程，并化成一般形式是______． 9.
计算：√12+√−𝑠𝑖𝑛60°= ______ ．
3
1
10. 如图1是两扇推拉门，𝐴𝐵是门槛，𝐴𝐷，𝐵𝐶是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置(平面示
意图)，其中tan∠𝐷𝐴𝐵=12，tan∠𝐶𝐵𝐴=4，测得𝐶，𝐷间的距离为4√130𝑑𝑚，则门槛𝐴𝐵的长为______𝑑𝑚．
5
3
11. 已知点𝐴、𝐵都在反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0)的图象上，其横坐标分别是𝑚、𝑛(𝑚<𝑛).过点𝐴分别
向𝑥轴、𝑦轴作垂线，垂足分别是𝐶、𝐷；过点𝐵分别向𝑥轴、𝑦轴作垂线，垂足分别是𝐸、𝐹，𝐴𝐶与𝐵𝐹交于点𝑃.当点𝑃在线段𝐷𝐸上，且𝑚(𝑛−2)=3时，𝑚的值等于______．
6
𝐴𝐵=6𝑐𝑚，𝐵𝐶=12𝑐𝑚，12. 平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对边𝐴𝐷和𝐵𝐶之间的距离是4𝑐𝑚，则对边𝐴𝐵和𝐶𝐷
间的距离是______𝑐𝑚．
13. 若二次函数𝑦=−(𝑥+1)2+ℎ的图象与线段𝑦=𝑥+2(−3≤𝑥≤1)没有交点，则ℎ的取值范围是
______ ．
14. 𝑦=𝑥2+𝑘𝑥+1与𝑦=𝑥2−𝑥−𝑘的图象相交，若有一个交点在𝑥轴上，则𝑘为______． 15. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸在𝐷𝐶上，将矩形沿𝐴𝐸折叠，使点𝐷落在𝐵𝐶边上的点𝐹处．若𝐴𝐵=3，
𝐵𝐶=5，则tan∠𝐷𝐴𝐸的值为______．
16. 如图，已知梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=12，𝐶𝐷=9，过对
角线的交点𝑂作底边平行线与两腰交于点𝐸，𝐹，则𝑂𝐸的长为______．
17. 如果𝐴(−1,𝑦1)，𝐵(−2,𝑦2)是二次函数𝑦=𝑥2+𝑚图象上的两个点，那么𝑦1 ______ 𝑦2(填“<”
或者“>”)
18. 如图，一组等距的平行线，点𝐴、𝐵、𝐶分别在直线𝑙1、𝑙6、𝑙4上，𝐴𝐵交𝑙3于点𝐷，𝐴𝐶交𝑙3于点𝐸，
𝐵𝐶交于𝑙5点𝐹，若△𝐷𝐸𝐹的面积为1，则△𝐴𝐵𝐶的面积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） ⃗ 、⃗ 19. 如图，已知两个不平行的向量𝑎𝑏． (1)化简：2(3𝑎⃗ −⃗ 𝑏)−(𝑎⃗ +⃗ 𝑏)；
1
⃗ =⃗ 𝑏−2𝑎⃗ .(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)． (2)求作𝑐⃗ ，使得𝑐
20. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，二次函数𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+1图象与𝑦轴的交点为𝐴，将点𝐴向右平移4个
单位长度，向上平移1个单位长度得到点𝐵．
(1)直接写出点𝐴的坐标为______ ，点𝐵的坐标为______ ；
(2)若函数𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+1的图象与线段𝐴𝐵恰有一个公共点，求𝑚的取值范围．
21. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是𝐴𝐵和𝐴𝐶上的点，且𝐷𝐸//𝐵𝐶． (1)若𝐴𝐷=3，𝐵𝐷=6，𝐴𝐸=2.8，求𝐸𝐶的长； (2)若𝐴𝐵=12，𝐵𝐷=8，𝐶𝐸=7，求𝐴𝐸的长．
22. 如图，广场上空有一个气球𝐴，地面上点𝐵，𝐶，𝐷在一条直线上，𝐵𝐶=20𝑚，在点𝐵，𝐶处分别
测得气球𝐴的仰角∠𝐴𝐵𝐷为30°，∠𝐴𝐶𝐷为45°.求气球𝐴离地面的高度𝐴𝐷(结果保留根号)．
23. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸，𝐹分别在𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐴𝐶边上，𝐷𝐸//𝐴𝐶，𝐸𝐹//𝐴𝐵． (1)求证：△𝐵𝐷𝐸∽△𝐸𝐹𝐶；
(2)若𝐵𝐶=12，𝐹𝐶=2，求线段𝐵𝐸的长．
𝐴𝐹
1
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，与𝑦
轴交于点𝐶(0,3)，且抛物线的顶点坐标为(1,4)． (1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点𝐷是第一象限抛物线上的一点，𝐴𝐷交𝑦轴于点𝐸，设点𝐷的横坐标为𝑚，设△𝐶𝐷𝐸的面
积为𝑆，求𝑆与𝑚的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，连接𝐴𝐶，是否存在这样的点𝐷，使得∠𝐷𝐴𝐵=2∠𝐴𝐶𝑂，若存在，求点𝐷的坐标及
相应的𝑆的值，若不存在，请说明理由．
∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2.动点𝑃以每秒2个25. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，
单位长度的速度从点𝐴出发，沿𝐴→𝐶→𝐵的方向向终点𝐵运动(点𝑃不与△𝐴𝐵𝐶的顶点重合).点𝑃关于点𝐶的对称点为点𝐷，过点𝑃作𝑃𝑄⊥𝐴𝐵于点𝑄，以𝑃𝐷、𝑃𝑄为边作▱𝑃𝐷𝐸𝑄.设▱𝑃𝐷𝐸𝑄与△𝐴𝐵𝐶.重叠部分的面积为𝑆，点𝑃的运动时间为𝑡(𝑠)
(1)当点𝑃在𝐴𝐶上运动时，用含𝑡的代数式表示𝑃𝐷的长； (2)当点𝐸落在△𝐴𝐵𝐶的直角边上时，求𝑡的值；
(3)当▱𝑃𝐷𝐸𝑄与△𝐴𝐵𝐶重叠部分的图形是四边形时，求𝑆与𝑡之间的函数关系式．
参考答案及解析
1.答案：𝐷
解析：解：𝐴、∵𝑏=𝑑， ∴
𝑎𝑐
𝑎
𝑐
=，成立； 𝑑
𝑎−2𝑏𝑏
𝑏
B、∵=
𝑐−2𝑑𝑑
，
∴𝑎𝑑−2𝑏𝑑=𝑐𝑏−2𝑏𝑑， ∴𝑎𝑏=𝑏𝑐， ∴等式成立； C、∵
𝑏−𝑎𝑎
=
𝑑−𝑐𝑐
，
𝑐𝑏−𝑐𝑎=𝑎𝑑−𝑎𝑐， ∴𝑏𝑐=𝑎𝑑， ∴等式成立； D、∵
𝑎+𝑏𝑏+𝑐
=， 𝑑
𝑐
∴𝑎𝑑+𝑏𝑑=𝑏𝑐+𝑐2， ∴等式不成立； 故选：𝐷．
直接利用比例的性质以及等式的性质将各选项化简进而得出答案． 此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
2.答案：𝐴
解析：解：在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐶=𝑅𝑡∠，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐，𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑐， 故选：𝐴．
根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
𝑎
𝑎
3.答案：𝐶
解析：
本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键． 根据二次函数的定义求解即可．
解：𝐴.是三次函数，故A不符合题意；
B.此函数关系的右边不是整式，故B不符合题意； C.是二次函数，故C符合题意；
D.𝑚=0时是一次函数，故D不符合题意． 故选C．
4.答案：𝐷
⃗⃗⃗ ，故不符合题意． 解析：解：𝐴、⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶=−⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴−⃗⃗𝐶𝐵⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． B、⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵−⃗⃗𝐶𝐵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =−𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． C、𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗ =⃗ ，故符合题意． D、⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶+⃗𝐶𝐴0故选：𝐷．
根据相等向量、平行向量以及三角形法则解答．
本题主要考查了平面向量的知识，解题时需要注意：平面向量既有大小，又有方向．
5.答案：𝐶
解析：解：连接𝐵𝐶，
∵点𝐶是弧𝐵𝐷的中点， ∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐵， 又∵𝐴𝐵为直径，𝐴𝐸⊥𝐸𝐹， ∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴△𝐸𝐴𝐶∽△𝐶𝐴𝐵， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴𝐸𝐶=
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶𝐴𝐵
𝐴𝐶
𝐸𝐶
=
4×√52−425
=
125
．
故选：𝐶．
根据直径所对的角是90°和等弧对等角判定相似，然后根据相似三角形的性质结合勾股定理求出𝐶𝐸的长度．
本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质和圆心角、弧、弦的关系，关键是在圆中寻找相等的角判定相似．
6.答案：𝐶
解析：解析：
试题分析：连接0𝐵，如图，𝑂𝐴𝐵𝐶是边长为1的正方形，由勾股定理得𝑂𝐵=
，𝑂𝐶与𝑥轴正半轴的夹角为15°，点𝐵在𝑦轴上的投影为=
；𝑂𝐶与𝑥轴正半轴的夹角为15°，点𝐵在𝑥轴上的投影为=
，由图知，点𝐵在第四象限，所以点𝐵坐标为(，−)；点𝐵在
抛物线(𝑎<0)的图象上，所以，解得𝑎=，所以选C
考点：正方形，抛物线，三角函数
点评：本题考查正方形，抛物线，三角函数，解答本题需要考生熟悉正方形的性质，掌握抛物线的概念和性质，掌握三角函数的概念
7.答案：100
解析：
先设实际距离500𝑘𝑚的两地在地图上的图距是𝑥𝑐𝑚，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于𝑥的方程，解即可．
本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺不变得出等式． 解：设实际距离500𝑘𝑚的两地在地图上的图距是𝑥𝑐𝑚，则 4：2000000=𝑥：50000000， 解得𝑥=100． 故答案是100．
8.答案：𝑥2−6𝑥+4=0
解析：解：设雕像的上部高𝑥 𝑚，则题意得： =2−𝑥
𝑥
2−𝑥2
，
整理得：𝑥2−6𝑥+4=0， 故答案为：𝑥2−6𝑥+4=0
设雕像的上部高𝑥 𝑚，则下部长为(2−𝑥)𝑚，然后根据题意列出方程即可． 本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．
9.答案：6√3
解析：解：原式=2√3+√−√
32=6√3． 故答案为：6√3．
直接利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
7
7
3
3
7
10.答案：260
解析：解：过𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，过𝐶点作𝐶𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐶𝐺于𝐸，则四边形𝐷𝐹𝐺𝐸为矩形，
∴𝐷𝐸=𝐹𝐺，𝐸𝐺=𝐷𝐹，∠𝐷𝐸𝐶=90°， 设𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝑥，则𝐴𝐵=2𝑥， ∵tan∠𝐷𝐴𝐵=
5
，tan∠𝐶𝐵𝐴=4， 12
3
53
∴sin∠𝐴=13，sin∠𝐵=5，
∴𝐷𝐹=13𝑥，𝐴𝐹=13𝑥，𝐶𝐺=5𝑥，𝐵𝐺=5𝑥， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐺−𝐸𝐺=𝐶𝐺−𝐷𝐹=𝑥−
53
513
5
12
3
4
𝑥=
45
1465
𝑥，
1865
𝐷𝐸=𝐹𝐺=𝐴𝐵−𝐴𝐹−𝐵𝐺=2𝑎−
1213
𝑥−𝑥=𝑥，
在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐷𝐶=4√130𝑑𝑚， 𝐷𝐸2+𝐶𝐸2=𝐷𝐶2，
即(65𝑥)2+(65𝑥)2=(4√130)2， 解得𝑥=130，
18
14
∴𝐴𝐵=2𝑥=260𝑑𝑚．
过𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，过𝐶点作𝐶𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐶𝐺于𝐸，则四边形𝐷𝐹𝐺𝐸为矩形，进而可𝐷𝐸=𝑥，𝐸𝐺=𝐷𝐹，得𝐷𝐸=𝐹𝐺，设𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝑥，则𝐴𝐵=2𝑥，通过解直角三角形可求得𝐶𝐸=65𝑥，65利用勾股定理列式计算可求解𝑥值，进而求解𝐴𝐵的值．
本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角△𝐶𝐷𝐸是解题的关键．
√7
11.答案：1+ 2
14
18
解析：
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)的图象是双曲线；当𝑘>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑘<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内𝑦随𝑥的增大而增大． 解：如图，
𝑘
𝐴(𝑚,)，𝐵(𝑛,)，则𝑃(𝑚,)，
𝑚𝑛𝑛∵点𝑃在线段𝐷𝐸上，𝐴𝐷//𝐶𝐸， ∴△𝐴𝐷𝑃∽△𝐶𝐸𝑃， ∴
𝐴𝐷𝐶𝐸
666
=𝑃𝐶，即𝐴𝑃𝑚
𝑛−𝑚
=
66
−𝑚𝑛6𝑛
，
∴𝑚2=(𝑛−𝑚)2， 而𝑛>𝑚>0，
∴𝑚=𝑛−𝑚，即𝑛=2𝑚，
把𝑛=2𝑚代入𝑚(𝑛−2)=2得𝑚(2𝑚−2)=3， 整理得2𝑚2−2𝑚−3=0，解得𝑚1=即𝑚的值为
1+√72
1+√72
，𝑚2=
1−√72
(舍去)，
．
故答案为
1+√72
．
6
6
𝐴𝐷
𝐴𝑃
𝑚
66−𝑚𝑛6𝑛
如图，𝐴(𝑚,𝑚)，𝐵(𝑛,𝑛)，则𝑃(𝑚,𝑛)，通过证明△𝐴𝐷𝑃∽△𝐶𝐸𝑃得到𝐶𝐸=𝑃𝐶，即𝑛−𝑚=到𝑛=2𝑚，所以𝑚(2𝑚−2)=3，然后解关于𝑚的方程即可．
6
，从而得
12.答案：8
6𝑥=12×4，解析：解：设对边𝐴𝐵和𝐶𝐷间的距离是𝑥𝑐𝑚，根据平行四边形的面积公式可得：可得𝑥=8． 故答案为8．
根据平行四边形的面积公式求解即可．
“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系．
13.答案：ℎ>7或ℎ<4
解析：解：𝑥=1时，𝑦=𝑥+2=3，
将(1,3)代入𝑦=−(𝑥+1)2+ℎ并解得：ℎ=7，
联立𝑦=−(𝑥+1)2+ℎ和𝑦=𝑥+2并整理得：𝑥2+3𝑥+(3−ℎ)=0， ∵△=3−4(3−ℎ)<0， ∴ℎ<，
4
故答案为ℎ>7或ℎ<4．
将(1,3)代入𝑦=−(𝑥+1)2+ℎ并解得：ℎ=7，再根据△=3−4(3−ℎ)<0，即可求解．
二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与𝑦轴的交点抛物线与𝑥轴交点的个数确定．
3
3
3
14.答案：2
解析：解：根据题意可知， 𝑥2+𝑘𝑥+1=0，𝑥2−𝑥−𝑘=0， 即𝑥2+𝑘𝑥+1=𝑥2−𝑥−𝑘， (𝑘+1)𝑥=−(𝑘+1)， 解得𝑥=−1，
把𝑥=−1代入𝑥2+𝑘𝑥+1=0中， 解得𝑘=2． 故答案为：2．
根据题意可知交点在𝑥轴上，即𝑥2+𝑘𝑥+1=𝑥2−𝑥−𝑘=0，解方程得𝑥=−1，再把𝑥=−1代入𝑥2+𝑘𝑥+1=𝑥2−𝑥−𝑘=0中即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，合理利用二次函数的性质进行计算是解决本题的关键．
15.答案：3
解析：解：由翻折变换可知，𝐴𝐷=𝐴𝐹=5， 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐹中，由勾股定理得， 𝐵𝐹=√𝐴𝐹2−𝐴𝐵2=√52−32=4， ∴𝐹𝐶=𝐵𝐶−𝐵𝐹=5=4=1， 设𝐷𝐸=𝑥，则𝐸𝐹=𝑥，𝐸𝐶=3−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐶中，由勾股定理得， 12+(3−𝑥)2=𝑥2， 解得𝑥=3， 即𝐷𝐸=3， 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中， tan∠𝐷𝐴𝐸=
𝐷𝐸𝐴𝐷55
1
=
53
5
1
=， 3
故答案为：3．
根据翻折变换和勾股定理可求出𝐹𝐶=1，再在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐶中，由勾股定理求出𝐷𝐸，最后根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查翻折变换，直角三角形的边角关系，理解翻折变换的性质和勾股定理是解决问题的关键．
1
16.答案：7
解析：解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=12，𝐶𝐷=9， ∴𝑂𝐵=𝐴𝐵=4， ∴𝐷𝐵=𝐶𝐴=7， ∵𝐸𝐹//𝐴𝐵，
∴𝐴𝐵=𝐷𝐵=7，𝐴𝐵=𝐶𝐴=7，
𝐸𝑂
𝐷𝑂
3
𝐹𝑂
𝐶𝑂
3
𝐷𝑂
𝐶𝑂
3
𝐷𝑂
𝐷𝐶
3
36
∴𝐸𝑂=𝐹𝑂=7𝐴𝐵=7×12=
33367
．
由𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=12，𝐶𝐷=9，𝐸𝐹//𝐴𝐵，根据平行线分线段成比例即可求解；
本题考查了梯形及平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.答案：<
解析：解：∵二次函数𝑦=𝑥2+𝑚中𝑎=1>0， ∴抛物线开口向上． ∵𝑥=−
𝑏2𝑎
=0，−1<−2，
∴𝐴(−1,𝑦1)，𝐵(−2,𝑦2)在对称轴的左侧，且𝑦随𝑥的增大而减小， ∴𝑦1<𝑦2.故答案为：<．
根据函数解析式的特点，其对称轴为𝑥=0，图象开口向上；利用对称轴左侧𝑦随𝑥的增大而减小，可判断𝑦1<𝑦2．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18.答案：4
解析：解：连接𝐷𝐶，设平行线间的距离为ℎ， 𝐴𝐷=2𝑎，如图所示：
15
∵𝑆△𝐷𝐸𝐹=𝐷𝐸⋅2ℎ=𝐷𝐸⋅ℎ，
2
1
𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝐷𝐸⋅2ℎ=𝐷𝐸⋅ℎ，
2
1
∴𝑆△𝐷𝐸𝐹=𝑆△𝐷𝐸𝐴， 又∵𝑆△𝐷𝐸𝐹=1， ∴𝑆△𝐷𝐸𝐴=1， 同理可得：𝑆△𝐷𝐸𝐶=2，
1
又∵𝑆△𝐴𝐷𝐶=𝑆△𝐴𝐷𝐸+𝑆△𝐷𝐸𝐶， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=，
2
又∵平行线是一组等距的，𝐴𝐷=2𝑎， ∴𝐵𝐷=3𝑎，
又∵𝑆△𝐴𝐷𝐶=2𝐴𝐷⋅𝑘=𝑎𝑘， 𝑆△𝐵𝐷𝐶=2𝐵𝐷⋅𝑘=2𝑎𝑘， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐶=×=，
224
又∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐷𝐶+𝑆△𝐵𝐷𝐶， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=4+2=故答案为4．
在三角形中由同底等高，同底倍高求出𝑆△𝐴𝐷𝐶=2，根据三角形相似的判定与性质的运用，等距平行线间的对应线段相等求出𝑆△𝐵𝐷𝐶=4，最后由三角形的面积的和差法求得𝑆△𝐴𝐵𝐶=
9
154
3
159
3
154
3
3
9
1
3
13
，
．
本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握三角形相似的判定与性质的运用，等距平行线间的对应线段相等，难点是作辅助线求三角形的面积．
19.答案：解：(1)2(3𝑎⃗ −⃗ 𝑏)−(𝑎⃗ +⃗ 𝑏)=6𝑎⃗ −2⃗ 𝑏−𝑎⃗ −⃗ 𝑏=5𝑎⃗ −3⃗ 𝑏；
⃗⃗⃗ =⃗ 𝐴𝐵=2𝑎⃗ ，⃗⃗(2)如图，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵𝑏，
1
⃗⃗⃗⃗ =𝑐𝐶𝐴⃗ =⃗ 𝑏−2𝑎⃗ ． 则⃗
1
⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． ∴𝐶𝐴
解析：(1)直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时的符号变化； (2)利用三角形法则求解即可求得答案．
此题考查了平面向量的运算与作法．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
20.答案：(0,1) (4,2)
解析：解：(1)当𝑥=0时，𝑦=1，因此点𝐴的坐标为(0,1)，
将点𝐴向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点𝐵，因此点𝐵坐标为(4,2)， 故答案为：(0,1)，(4,2)；
(2)抛物线𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+1的对称轴为𝑥=−2𝑎=−
𝑏
−2𝑚2
=𝑚，抛物线恒过点𝐴(0,1)，
当函数𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+1的图象与线段𝐴𝐵恰有一
个公共点，就是抛物线与线段𝐴𝐵除点𝐴以外没有其它的公共点， 设线段𝐴𝐵的关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，把𝐴(0,1) 𝐵(4,2)代入得， 𝑏=1{， 4𝑘+𝑏=1解得{
𝑘=4
1
， 𝑏=1
1
∴线段𝐴𝐵的关系式为𝑦=4𝑥+1(0≤𝑥≤4)，
当函数𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+1的图象与线段𝐴𝐵有两个公共点时，即方程 𝑥2−2𝑚𝑥+1=𝑥+1有两个不相等的实数根，
41
解得𝑥1=0，𝑥2=2𝑚+4，
∵函数𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+1的图象与线段𝐴𝐵的交点在0到4之间， ∴0<2𝑚+4≤4， 解得−8<𝑚≤即当−8<𝑚≤
111
1581581
1
，
，函数𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+1的图象与线段𝐴𝐵有两个公共点，
158
∴当𝑚≤−8或𝑚>
时，函数𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+1的图象与线段𝐴𝐵恰有一个公共点时，
1
15
2
时，函数𝑦=𝑥−2𝑚𝑥+1的图象与线段𝐴𝐵恰有一个公共点． 8
综上所述，当𝑚≤−80或𝑚>
(1)根据关系式可求出抛物线与𝑦轴的交点坐标，即点𝐴的坐标，再根据平移可得点𝐵坐标；
(2)求出线段𝐴𝐵的关系式，而抛物线过点𝐴，因此当函数𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+1的图象与线段𝐴𝐵有两个公共点时，就是抛物线与线段𝐴𝐵的关系式组成的方程组有两个不相等的实数根，进而求得𝑚的取值范围，再得出函数𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+1的图象与线段𝐴𝐵恰有一个公共点时𝑚的取值范围即可． 本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数𝑎、𝑏、𝑐的关系是正确判断的前提．
21.答案：解：(1)∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷=𝐸𝐶，
∵𝐴𝐷=3，𝐵𝐷=6，𝐴𝐸=2.8， ∴6=𝐸𝐶， 解得：𝐸𝐶=5.6； (2)∵𝐷𝐸//𝐵𝐶， ∴
𝐴𝐵𝐵𝐷3
2.8𝐴𝐷
𝐴𝐸
=
𝐴𝐶𝐸𝐶
，
∵𝐴𝐵=12，𝐵𝐷=8，𝐶𝐸=7， ∴
128
=
𝐴𝐶7
，
212
解得：𝐴𝐶=，
212
∴𝐴𝐸=𝐴𝐶−𝐸𝐶=
−7=．
2
𝐴𝐷
𝐴𝐸
7
解析：(1)根据平行线分线段成比例定理得到𝐵𝐷=𝐸𝐶，代入计算即可； (2)根据平行线分线段成比例定理求出𝐴𝐶，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
22.答案：解：设𝐴𝐷=𝑥，
∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷=45°， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝑥，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝐷=30°， ∴𝐵𝐷=√3𝐴𝐷=√3𝑥， ∵𝐵𝐶=𝐵𝐷−𝐶𝐷=20， ∴√3𝑥−𝑥=20， 解得：𝑥=10√3+10；
答：气球𝐴离地面的高度𝐴𝐷为(10√3+10)𝑚．
解析：本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，属于基础题．
设𝐴𝐷=𝑥，由题意得出𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝑥，由𝐵𝐶=𝐵𝐷−𝐶𝐷=20，得出方程√3𝑥−𝐵𝐷=√3𝐴𝐷=√3𝑥，𝑥=20，解方程即可．
23.答案：证明：(1)∵𝐷𝐸//𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐹𝐶𝐸， ∵𝐸𝐹//𝐴𝐵， ∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐹𝐸𝐶， ∴△𝐵𝐷𝐸∽△𝐸𝐹𝐶； (2)∵𝐸𝐹//𝐴𝐵， ∴
𝐵𝐸𝐸𝐶
=
𝐴𝐹𝐹𝐶
=，
2
1
∵𝐸𝐶=𝐵𝐶−𝐵𝐸=12−𝐵𝐸， ∴12−𝐵𝐸=2， 解得：𝐵𝐸=4．
解析：(1)由平行线的性质可得∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐹𝐶𝐸，∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐹𝐸𝐶，可得结论； (2)由平行线分线段成比例可得𝐸𝐶=𝐹𝐶=2，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定是本题的关键．
𝐵𝐸
𝐴𝐹
1
𝐵𝐸
1
24.答案：解：(1)设抛物线的表达式为：𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘=𝑎(𝑥−1)2+4，
将点𝐶的坐标代入上式并解得：𝑎=−1，
故抛物线的表达式为：𝑦=−(𝑥−1)2+4=−𝑥2+2𝑥+3①； (2)点𝐷的横坐标为𝑚，则点𝐷的坐标为(𝑚,−𝑚2+2𝑚+3)，
2
−𝑚+2𝑚+3=𝑘𝑚+𝑡，解得{𝑘=3−𝑚， 设直线𝐴𝐷的表达式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑡，则{
𝑡=3−𝑚0=−𝑘+𝑡
故直线𝐴𝐷的表达式为：𝑦=−(𝑚−3)𝑥+3−𝑚， 故点𝐸(0,3−𝑚)，则𝐶𝐸=3−(3−𝑚)=𝑚，
则𝑆=𝑆△𝐶𝐸𝐷+𝑆△𝐶𝐸𝐴=2𝐶𝐸×(𝑥𝐷−𝑥𝐴)=2𝑚(𝑚+1)=2𝑚2+2𝑚； (3)存在，理由：
在𝑂𝐵上截取𝑂𝑀=𝑂𝐴=1，故点𝑀(1,0)，
1
1
1
1
则∠𝑀𝐶𝑂=∠𝐴𝐶𝑂， ∵∠𝐷𝐴𝐵=2∠𝐴𝐶𝑂， ∴∠𝐴𝐶𝑀=∠𝐷𝐴𝐵，
在△𝐴𝐶𝑀中，设𝐶𝑀边上的高为ℎ，𝐴𝐶=𝑀𝐶=√32+12=√10， 则𝑆△𝐴𝑀𝐶=2𝐴𝑀×𝐶𝑂=2×𝐶𝑀×ℎ，即2×3=√10ℎ，解得：ℎ=√10， 在△𝐴𝐶𝑀中，sin∠𝐴𝐶𝑀=
ℎ𝐴𝐶
1
1
6=
6√10√10==sin∠𝐷𝐴𝐵，则tan∠𝐷𝐴𝐵=4，
53
3
3
在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐸中，𝑂𝐴=1，tan∠𝐷𝐴𝐵=4， 则𝑂𝐸=4，故点𝐸(0,4)，
由点𝐴、𝐸的坐标得，直线𝐴𝐸的表达式为：𝑦=4𝑥+4②， 联立①②并解得：𝑥=4或−1(舍去−1)， 故𝑥=4=𝑚，故点𝐷(4,16) 由(2)知，𝑆=2𝑚2+2𝑚=
9391
1
11732
9
9399
3
3
3
3
，
117
∴点𝐷的坐标为(4,16)，相应的𝑆的值为32．
解析：(1)设抛物线的表达式为：𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘=𝑎(𝑥−1)2+4，将𝐶的坐标代入上式，即可求解；
(2)𝑆=𝑆△𝐶𝐸𝐷+𝑆△𝐶𝐸𝐴=2𝐶𝐸×(𝑥𝐷−𝑥𝐴)=2𝑚(𝑚+1)=2𝑚2+2𝑚；
(3)求出sin∠𝐴𝐶𝑀=𝐴𝐶=sin∠𝐷𝐴𝐵，则tan∠𝐷𝐴𝐵=4，得到直线𝐴𝐸的表达式，即可求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，综合性强，难度适中．
ℎ
3
1
1
1
1
25.答案：解：(1)由题意，得𝐴𝑃=2𝑡，𝐶𝑃=2−2𝑡，
∴𝑃𝐷=2𝐶𝑃=4−4𝑡；
(2)①如图2−1，当点𝐸落在𝐵𝐶边上时，过点𝑄作𝑄𝐻⊥𝐴𝐷于𝐻，由题意知，△𝐴𝑄𝑃和△𝐶𝐸𝐷为等腰直角三角形， ∴𝐶𝐸=𝐻𝑄=1
2
𝐴𝑃，𝐶𝐸=𝐶𝐷，
∵𝐻𝑄=1
2𝐴𝑃=𝑡，𝐶𝐷=𝑃𝐶=2−2𝑡， ∴𝑡=2−2𝑡， ∴𝑡=23
；
②如图2−2，当点𝐸落在𝐴𝐶边上时，过点𝑄作𝑄𝐺⊥𝐵𝐶于𝐺， 由题意知，△𝐵𝑄𝑃和△𝐶𝐸𝐷为等腰直角三角形， ∴𝐶𝐸=𝐺𝑄=1
2𝐵𝑃，𝐶𝐸=𝐶𝐷，
∵𝐺𝑄=11
2𝐵𝑃=2(4−2𝑡)=2−𝑡，𝐶𝐷=𝑃𝐶=2𝑡−2， ∴2−𝑡=2𝑡−2， ∴𝑡=4
3
，
综上所述，点𝐸落在△𝐴𝐵𝐶的直角边上时，𝑡的值为2
4
3或3； (3)如图3−1，当0<𝑡≤2
3时，
𝑆=𝑆梯形𝑃𝑄𝑀𝐶 =1
2
𝑡(2−2𝑡+2−𝑡) =−3
22𝑡+2𝑡；
如图3−2，当4
3≤𝑡≤2时，
𝑆=𝑆梯形𝑃𝑄𝑁𝐶
=2(2−𝑡)(2𝑡−2+𝑡) =−𝑡2+4𝑡−2，
23
1
−𝑡2+2𝑡(0<𝑡≤)
3
综上所述，𝑆={2． 324
−2𝑡+4𝑡−2(3≤𝑡<2)
解析：(1)由题意，可先写出𝐴𝑃的长，再写出𝐶𝑃的长，由对称的性质即可写出𝑃𝐷的长；
(2)①如图2−1，当点𝐸落在𝐵𝐶边上时，过点𝑄作𝑄𝐻⊥𝐴𝐷于𝐻，证明𝐶𝐸=𝐻𝑄=2𝐴𝑃=𝐶𝐷，即可列出关于𝑡方程，求出𝑡的值；②如图2−2，当点𝐸落在𝐴𝐶边上时，过点𝑄作𝑄𝐺⊥𝐵𝐶于𝐺，证明𝐶𝐸=𝐺𝑄=𝐵𝑃=𝐶𝐷，即可列出关于𝑡的方程，求出𝑡的值即可；
21
1
32
(3)如图3−1，当0<𝑡≤3时，求出梯形𝑃𝑄𝑀𝐶的面积即可；如图3−2，当3≤𝑡≤2时，求出梯形𝑃𝑄𝐶𝑁的面积即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，四边形的面积等，解题关键是能够根据题意画出图形，并注意分类讨论思想的运用．
24
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