第3章自适应波束形成及算法

波束形成技术在最近几年有着日新月异的发展，它的研究方向在于寻找最快最准确的算法，在减少由阵列数据规模的增加而带来的计算量的同时，保持波束形成的优良性能。普通的波束形成系统，是一种预多波束形成系统，当它处在各向同性、均匀分布的噪声场时，可能具有相当好的检测能力。但是，一旦出现近场干扰或者背景噪声有着某种不平稳性，则通信系统的检测能力就会迅速下降，因而出现了自适应波束形成技术。所谓自适应波束形成（ABF）就是控制处理器能够根据环境噪声场的变化，不断的自动调节本身的参数以适应周围环境，抑制干扰并检出有用信号。

衡量一个波束形成算法的优劣主要看算法的收敛速度、复杂程度、精度、稳定性以及对误差的正确判断性等。前四项指标是最常见的衡量算法性能的指标，而最后一项在智能天线应用领域有特别的意义。在实际的通信系统中，由于天线规模等实际条件的限制以及移动无线信道复杂情况的影响，对波达方向的测量估计误差较大，因此对于采用基于波达方向估计的波束形成算法，能否降低其对误差的敏感就显得十分重要了，尤其是在下行链路中，一旦发生较大的指向偏差，不仅会使得目标用户无法获得一定质量的信号，还可能会带来对其它用户的干扰，从而导致系统性能的急剧下降。 3.1 常见准则分析

自适应波束形成技术经过了几十年的发展，己经逐渐走向成熟，鉴于己有许多文献专著专门来介绍波束形成的基本原理和概念，这里，我们着重介绍一些最基本的波束形成准则和算法。其中，自适应处理器可以根据许多不同的准则选择最佳权矢量[8]。一般来说，这些准则包括：最大信噪比（MaxSNR）、线性约束最小方差（LCMV）、最大似然（ML）、最小二乘（LS）。

3.1.1 最小二乘（LS）准则

LS准则是在有限数目的时间采样上使阵列输出和期望响应间的差值最小。在该方案中，收集数据向量ui一组p个快拍。

设要求根据一组输入信号矢量：

x(n)[x1(n),,xM(n)]T n1,2,,n

（3-1）

采用图3-1的滤波器对需要的信号d(k)(k1,2,ˆ(k) 出y(n)为d(k)的估计值d

,n)进行估计，并取滤波器的输

ˆ(k)y(n)wHx(k)xT(k)w* k1,2,d,n

（3-2）

x1(n)

x2(n)

. . . . . . . xM(n)

w1* *w2 *wM y(n)

图3-1 采用线性组合器的波束形成器

式中w[w1,w2,,wM]T为加权矢量。相应的估计误差为：

ˆ(k)d(k)xT(k)w* k1,2, e(k)d(k)d,n

（3-3）

LS准则在于选择加权矢量w使如下的加权平方误差累计和性能函数：

(n)nk|e(k)|2

k1n（3-4）

为最小。

J(wk)2uuwk2umdk,n

Hmnm0n0m0n0p1p1p1p1（3-5）

数据矩阵可定义为

A[u0u1up1]

（3-6） 期望信号向量为

dk[dk,0dk,1（3-7）

则使LS梯度函数迫零的解为：

dk,p1]T

wk(AHA)1AHdk

（3-8）

3.1.2 最大信噪比（MaxSNR）准则

MaxSNR准则是在阵列输出端使期望信号分量功率与噪声分量功率之比最大。代价函数为定义为：

wHRnw J(w)H

wRsw（3-9）

其中Rn是u(t)中噪声分量的协方差矩阵，Rs是信号分量的协方差矩阵。设

u(t)=s(t)+n(t),则Rs＝E{s(t)sH(t)},Rn=E{n(t)nH(t)}。

由于Rn为正定的埃尔米特矩阵，所以存在分解式：

Rn(R)RRR （3-10）

式中 R（3-11）

并有 （3-12）

式中 （3-13）

由式（3-10）、（3-11）和（3-13）得：

zRw

12nH2n12nH12nH2n12n＝(R)

12HnwRnwwRRwzHz

HHH2n12n(Rz)Rs(Rz)z(RRsR)zHRzwH J(w)HHzzzzzz（3-14）

12H12HH212式中 （3-15）

RRH2RsR

12仍为埃尔米特矩阵。J(w)得最大值为R的最大特征值max[J(w)]max，且该最大值是在zzopt为对应于max的特征向量时取到的，即：

Rzoptmaxzopt （3-16）

3.1.3 线性约束最小方差（LCMV）准则

LCMV准则是在线性约束条件下，使阵列输出的方差最小。对于单一约束，相当于令波束方向图在某一方向为常数。该准则的实质等效于输出信噪比最大。

对于图3-1的滤波器，取最佳准则为使滤波器输出功率最小，即：

MinPoutE{|y(n)|2}w

（3-17）

但是，若不加约束，则极小值将在w0时取得，因而没有意义，因此必须加上约束。一种约束方法是保证滤波器对有用信号的响应为常数，即：

wHs常数

（3-18）

式中s是有用信号矢量，设为固定矢量。

输出功率可以表示为：

poutE{(wHx(n))(wHx(n))*}E{wHRxxw}

RxxE{x(n)xH(n)}

（3-19）

式中 （3-20）

为输入矢量x(n)的相关矩阵。

构成拉格朗日函数：

L(w)wHRxxw(whs1)

（3-21）

令 wL(w)0 （3-22）

可得wwopt时的最小输出功率为：

11E{|y(n)|2}minsTRxxs

（3-23）

3.1.4 常见准则比较

虽然这几种准则在原理上是完全不同的，但事实上，它们的联系非常紧密，可以证明，这些准则下的最佳权向量都是维纳解的特例。因此，选择不同的准则并不会影响阵列输出的性能。但是，在实际应用中，环境是不断变化的，要求实时地更新权向量，因此我们需要利用自适应算法来递归地获得实时的权向量，而自适应波束形成算法则不仅决定了算法的收敛速度，而且决定了算法硬件实现的复杂度，由此可见，选择合适的自适应波束形成算法是极为重要的。

最小均方误差准则和最小二乘法准则的优点是不需要知道波达方向（DOA），但是必须有参考信号。最大信噪比准则实现了信噪比（SNR）的真正最大化，但是需知道噪声和期望信号波达方向的统计值。线性约束最小方差或最小方差无畸变响应准则则需知道期望信号的波达方向。