2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国新课标卷1)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

文科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．写在本试卷上无效． 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的．

1．已知集合M＝｛x|－3＜X＜1｝，N＝｛－3，－2，－1，0，1｝，则M∩N＝ A．｛－2，－1，0,1｝ B．｛－3，－2，－1，0｝ C．{－2，－1，0} D．{－3，－2，－1} 2．|2| 1iB．2

C．2

D．1

A．22

xy10,3．设x，y满足约束条件xy10,，则z＝2x－3y的最小值是

x3,A．7

B．－6

C．5

D．－9

4．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝2，B＝面积为 A．23＋2

B．3

C．23

ππ，C＝，则△ABC的64D．－1

x2y25．设椭圆C：221(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2

ab⊥F1F2，∠PF1F2＝30．，则C的离心率为

A．

3 6B．

1 3C．

1 2D．

3 36．已知sin2α＝A．

1 62π，则cos2(α＋)＝ 341B．

3C．

1 2D．

2 37．执行右面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝

111 234111B．1

2324321111C．1

23451111D．1

2324325432A．18．设a＝log32,b＝log52,c＝log23,则 A．a＞c＞b B．b＞c＞a

C．c＞b＞a D．c＞a＞b

9．一个四面体的顶点在点间直角坐系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为

A． B． C． D．

10．设抛物线C:y2＝4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A,B两点．若|AF|＝3|BF|，

则L的方程为

A．y＝x－1或y＝－x＋1

B．y＝

33(x－1)或y＝－(x－1) 2233(x－1)或y＝－(x－1) 22C．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)

D．y＝

11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是

A．x0R,f(x0)0

B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f’(x0)＝0

12．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是

A．(－∞，＋∞) B．(－2,＋∞) C．(0,＋∞) D．(－1，＋∞)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题－第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________． 14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD＝________． 15．已知正四棱锥O－ABCD的体积为

径的球的表面积为________．

16．函数ycos(2x)(ππ)的图像向右平移

23，底面边长为3，则以O为球心，OA为半2π个单位后，与函数y＝sin(2x＋2π)的图像重合，则＝___________． 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)

已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列． (Ⅰ)求｛an｝的通项公式；

(Ⅱ)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2．

18．(本小题满分12分)

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点．

(1)证明：BC1//平面A1CD;

(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝3，求三棱锥C一A1DE的体积．

19．(本小题满分12分)

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出It该产品获利润500元，未售出的产品，每It亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如右图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (Ⅰ)将T表示为X的函数；

(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．

20．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为22，在Y轴上截得线段长为23．

(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程; (Ⅱ)若P点到直线y＝x的距离为

2，求圆P的方程． 2

21．(本小题满分12分)

己知函数f(X)＝x2e－x

(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值；

(Ⅱ)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答．并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分．

22．(本小题满分10分)选修4－1:几何证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B,E,F,C四点共圆．

(Ⅰ)证明：CA是△ABC外接圆的直径; (Ⅱ)若DB＝BE＝EA．求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

23．(本小题满分10分)选修4－4:坐标系与参数方程

已知动点P、Q都在曲线C:x2cost(t为参数)上，对应参数分别为t＝a与t＝

y2sint2a(0＜a＜2π)，M为PQ的中点．

(Ⅰ)求M的轨迹的今数方程:

(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为a的26数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

24．(本小题满分10分)选修4－5:不等式选讲

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1．证明:

(Ⅰ)ab＋bc＋ca≤

1； 3a2b2c2≥1． (Ⅱ)bca

2013年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学答案及评分参考

一、选择题 1．C 5．D 9．A

二、填空题 13．0.2 14．2 15．24π 16．

2．C 6．A 10．C

3．B 7．B 11．C

4．B 8．D 12．D

5π 6三、解答题 17．解：

2(Ⅰ)设{an}的公差为d，由题意a13＝a1a13

即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)于是d(2a1＋25d)＝0

又a1＝25,所以d＝0(舍去)，d＝－2故an＝2n＋27 (Ⅱ)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3m－2由(Ⅰ)知a3m－2＝an＋31

故{a3m－2}是首项为25，公差为－6的等差数列，

从而Snnn(a1a3n2)(6n56)3n228n 2218．解：

(Ⅰ)连结AC1交A1C与点F，则F为AC1中点，

又D是AB中点，连结DF，则BC1//DF

因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1//平面

A1CD

(Ⅱ)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以AA1⊥CD,由已知AC＝CB，D为AB的中点， 所以CD⊥AB,又AA1∩AB＝A,于是CD⊥平面ABB1A1

由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得 ∠ACB＝90°，CD＝2,A1D故A1D＋DE2＝A1E2,则DE⊥A1D 所以VCA1DE

6,DE3,A1E3,

11632． 32

19．解：

(Ⅰ)当X∈[100，130]时，T500X500800X25000.

当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000

所以T,100X130800X39000

,130X15065000(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150，由直方图知需求量x

∈(120,150)的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．

20．解：

(Ⅰ)设P(x,y)圆P的半径为r,

由题设y2＋2＝r2,x2＋3＝r2从而y2＋2＝x2＋3，故P点的轨迹方程为y2－x2＝1 因为CD为△ABC外接圆的切线，

所以∠DCB＝∠A，由题设知

BCDC, FAEA故△CDB～△AEF,所以∠DBC＝∠EFA, 以为内B,E,F,C四点共圆，

所以∠CFE＝∠DBC,故∠EFA＝∠CFE＝90° 所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径． (Ⅱ)连结CE，因为∠CBE＝90°，

所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,

由DB＝BE,有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2, 所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2, 而DC2＝DB·BA＝3DB2

故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为

23．解：

(Ⅰ)依题意有P(2cosa,2sina),Q(2cos2a,2sin2a)

因此M(cosa＋cos2a,sina＋sin2a)．

M的轨迹参数方程为

1． 2xcoscos2a,(a为参数，0＜a＜2π)

ysinasin2a,x2y222cosa(0a2π)

(Ⅱ)M点到坐标原点的距离d当a＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点

24．解：

(Ⅰ)由a2＋b2≥2ab,b2＋c2≥2bc,c2＋a2≥2ca

得，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

由题设得(a＋b＋c)2＝1,即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1

所以3(ab＋bc＋ca)≤1,即ab＋bc＋ca≤(Ⅱ)因为

1． 3a2b2c2a2b2c2b2a,c2b,a2c故(abc)2(abc)， bcabcaa2b2c2a2b2c2（abc)所以1 即bcabca