宜春市2011届高三年级模拟考试 (4)

宜春市2011届高三年级模拟考试数学（理科）试卷

一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

a1bi（a,bR,i表示虚数单位），那么ab（ ） 1i A．1 B．3 C．0 D．3

2．设集合P3,log2a，Qa,b，若PQ=0，则PQ=（ ）

1．如果

A．3,0 B．3,0,1 C．3,0,2 D． 3,0,1,2

3．给定空间中的直线l及平面，则“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ ）

A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 4、已知f(x)sin(2x2),g(x)cos(2x2),则下列结论中不正确的是（ ） ．．．

个单位后得到函数g(x)的图象 41B．函数yf(x)g(x)的最大值为

2C．函数yf(x)g(x)的图象关于(,0)对称

8D．函数yf(x)g(x)的最小正周期为

2A．将函数f(x)的图象向右平移5、一个四棱锥的三视图如图所示，其中 主视图是腰长为1的等腰直角三角形， 则这个几何体的体积是 ( )

主视图

1 左视图 1 1A． B．1

23C． D．2

2

俯视图

6.某市原来居民用电价为0.52元/kw·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/kw·h ，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h．对于一个平均每月用电量为200kw·h 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 ( ) A.110kwh

B.114kwh Ｃ.118kwh

D.120kwh

2x2y27．已知A、B、P是双曲线221上不同的三点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率乘积kPAkPB，

3ab则该双曲线的离心率为（ ）

5615 Ｂ. C．2 D． 223228. 直线xm，yx将圆面xy4分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m的取值范围是（ ） A. (2,2) Ｂ.(2,2)

A. C．(2,2)(2,2) D．(,2)(2,)

9．定义：若平面点集A中的任一个点(x0,y0)，总存在正实数r，使得集合{(x,y)|(xx0)(yy0)r}A，则称A为一个开集.给出下列集合：

①{(x,y)|xy1}；②{(x,y)|xy20}；③{(x,y)|xy6}； ④{(x,y)|0x2(y3)21}. 其中是开集的是（ ）

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

2222

10．下图展示了一个由区间(0,4)到实数集R的映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M（如图1），将线段AB围成一个正方形，使两端点A、B恰好重合（如标系中，使其中两个顶点在y轴上，直线AM与x轴交于点N(n,0)，则以下命题：

①f(2)0； ②

图2），再将这个正方形放在平面直角坐

点A的坐标为(0,4)（如图3），若图3中记作f(m)n．现给出m的象就是n，

③f(x)为偶函数； ④

其中正确命题的个数为（ ）

A．4 B.3 C．2 D．1 二．填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）

f(x)的图象关于点(2,0)对称； f(x)在(3,4)上为常数函数.

11.OC(2,2),CA(2cos,2sin),(R)，则OA范围为 ．（ O为坐标原点）.

12．执行右边的程序框图，则输出的结果是 . 13．已知D是不等式组开始 x2y0所确定的平面区域，

x3y0i1,p1,s0 ppi ii1 则圆x2y24在区域D内的弧长为 . 14．给出下列命题： ①y1是幂函数 ②函数f(x)2xx2的零点有2个

i3? 否 输出s 是 ssp 15③(x2)展开式的项数是6项

x④函数ysinx(x,)图象与x轴围成的

图形的面积是S2sinxdx

结束 ⑤若N(1,)，且P(01)0.3，则P(2)0.2 其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的编号）. 15.（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分） A.化极坐标方程2cos0为直角坐标方程为 . B.不等式|2x||x1|a对任意x[0,5]恒成立的实数a的取值范围为 _____________.

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 16．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC1cb。 2（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围。 17．（本小题满分12分）桌面上有两颗均匀的骰子（6个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6）.将桌面上骰子全部抛掷在桌面上，然后拿掉那些朝上点数为奇数的骰子，如果桌面上没有了骰子，停止抛掷，如果桌面上还有骰子，继续抛掷桌面上的剩余骰子. 记抛掷两次之内（含两次）去掉的骰子的颗数为X.

（Ⅰ）求P(X1)； （Ⅱ）求X的分布列及期望 EX.

18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=2，底面ABCD为直角梯形，

A1 D1

其中BC//AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2， O为AD中点.

（Ⅰ）求证：A1O//平面AB1C；

B1 C1

（Ⅱ）求锐二面角A—C1D1—C的余弦值.

19.（本小题满分12分）设函数fxxae （Ⅰ）求函数fx单调区间；

（Ⅱ）若fx0对xR恒成立，求a的取值范围；

20．（本小题满分 13分）已知直线l与抛物线x4y相切于点P(2,1)，且与x轴交于点A，定点B的坐标为(2,0).

2x1.

 （Ⅰ）若动点M满足ABBM2AM0，求点M的轨迹C；

（Ⅱ）若过点B的直线l（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求OBE与OBF面积之比的取值范围.

21．（本小题14分）设Sn是数列an的前n项和，点P(an,Sn)(nN+,n1)在直线y2x2上. （Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）记bn2(11)，数列bn的前n项和为Tn，求使Tn2011的n的最小值； an(Ⅲ)设正数数列cn满足log2an1(cn)n1，求数列cn中的最大项.

宜春市2011届高三年级模拟考试数学理科试卷

参考答案

一、选择题：本大题共１0题，每小题５分，共5０分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C C A C D A D B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11.[2,32]；12. 10；13.

；14.⑤；15 .A:x2y20或x1，B:[9,)． 2三、解答题：本大题共６小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由acosC11cbsinAcosCsinCsinB. 221sinAcosCsinCsin(AC)sinAcosCcosAsinC.

211sinCcosAsinC.∵C(0,)∴sinC0，cosA. 22A. „„„„ 5分

3（Ⅱ）由正弦定理得：basinB22sinB,csinC.

sinA3323[sinBsin(AB)]

labc123(sinBsinC)112(∵A31sinBcosB)12sin(B). „„„„ 8分 226,∴B(0,25),B(,). 366631sinB(,1],l(2,3].

2∴△ABC的周长l的取值范围为(2,3]. „„„„ 12分

17. （本小题满分12分）

11（Ⅰ） P(X1)C2()2()()2C2()2121212123 „„„„ 5分 8

（Ⅱ） 1 2 3 9 P 816161693 EX0121616162„„„„„„„ 12分

18（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图（１），

A1 连结CO、A1O、AC、AB1，„„1分

则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1， 所以，四边形A1B1CO为平行四边形，„„„3分

B1 C1 所以A1O//B1C，

又A1O平面AB1C，B1C平面AB1C

所以A1O//平面AB1C„„„„„„6分

（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD 又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，

所以D1O⊥底面ABCD，„„„„„7分 0，1），A（0，-1，0）.„„„„„„8分

A

X 0 1 D1

· O D B

C 图（1）

以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，

所以DC(1,1,0),DD1(0,1,1),D1A(0,1,1),DC,1,0)，„„9分 11DC(1

设m(x,y,z)为平面C1CDD1的一个法向量，

A1 z D1 xy0由mDC,mDD1，得，

yz0令z1，则y1,x1,m(1,1,1).„„10分

B1 C1 A · O D 又设n(x1,y1,z1)为平面AC1D1的一个法向量，

y B x y1z10由nD1A,nDC， 11，得x1y10令z11，则y11,x11,n(1,1,1)，„„„„„„„„11分

11111则cosm,n，故所求锐二面角A-C1D1-C的余弦值为„„12分

3333 19．（本小题满分12分）解：（I）f(x)1aex1 当a0时，f(x)0，f(x)在R上是增函数；

当a0时，令f(x)0得x1lna， „„„„„„„„3分 若x1lna，则f(x)0，从而f(x)在区间(,1lna)上是增函数； 若x1lna，则f(x)0，从而f(x)在区间(1lna,)上是减函数．

综上可知：当a0时，f(x)在区间(,)上是增函数.当a0时，在区间(,1lna)上是增函数，f(x)在区间

C 图（2）(1lna,)上是减函数 „„„„6分

（II）由（I）可知：当a0时，f(x)0不恒成立 „„„„8分 又当a0时，f(x)在点x1lna处取最大值，

且f(1lna)1lnaaelnalna „„„„„„10分 令lna0得a1

故若f(x)0对xR恒成立，则a的取值范围是 1,20．（本小题满分13分） 解：（I）由x4y得y

2

„„12分

121x,yx. 42故l的方程为yx1,点A的坐标为（1，0） „„„„ 2分

设M(x,y),则AB(1,0),BM(x2,y),AM(x1,y)

22由ABBM2AM0得(x2)y02(x1)y0

x2y21 „„„„„„ 4分 整理得：2 动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，

长轴长为22，短轴长为2的椭圆. „„„5分

（II）如图，由题意知l的斜率存在且不为零，

设l方程为yk(x2)(k0)①

x2y21，整理，得 将①代入21(2k21)x28k2x(8k22)0,由0得0k2. „„„„„„7分

2设E(x1,y1)．F(x2,y2)，

8k2xx122k21则, ② 2xx8k2122k21令

BESOBE,则, SOBFBF

x2由此可得BEBF,1,且01.

x22由②知(x12)(x22)

4, 212k2, 212k(x12)(x22)x1x22(x1x2)4412k212k. „„„„ 10分  即 (1)22(1)28

14110k2, 0,

2(1)222解得322322. 又01,3221,

OBE与OBF面积之比的取值范围是(322,1) „„„„„„ 13分

21. （1）依题意得Sn2an2，则n1时，Sn12an12

n2,时SnSn-12an2an1,即an2an1， --------2分

又n1时，a12

n数列an是以a12为首项，以2为公比的等比数列a2n .-------4分

1n11n，Tn2n22() 221n2013由Tn2011，得n() ------------------6分

221201312013n1006时，n()n,当n1007时，n()n2222

（2）依题意bn2()因此n的最小值为1007. ------------------9分 （3）由已知得(cn)n1n1即lncn∴lncn(n1)ln(n1)

ln(n1),x(3,) -------------11分 n1

令f(x)lnx1lnx，则f'(x)，当x3时，lnx1，即f(x)0 2xx∴当 x3,时，f(x)为递减函数

cn是递减数列,c3c4.....cn ----12分 n2时,lncn是递减数列，即cn0,c12,c233,c344,c1c2c3

∴c2为数列cn中最大项. --------------14分