专题10 三视图
【2021年】
1．（2021年全国高考甲卷数学试题）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
所以其侧视图为
故选：D
二、填空题
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）以图①为正视图，在图①①①①中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即
高考
gm
可）．
【答案】①①（答案不唯一）
【分析】选择侧视图为①，俯视图为①，
如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2,BB11，
E,F分别为棱B1C1,BC的中点，
则正视图①，侧视图①，俯视图①对应的几何体为三棱锥EADF. 故答案为：①①.
高考
gm
【2012年——2020年】
1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A．6+42 【答案】C
B．4+42 C．6+23 D．4+23 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：S△ABCS△ADCS△CDB根据勾股定理可得：ABADDB22 1222 2△ADB是边长为22的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
S△ADB113ABADsin60(22)223 222该几何体的表面积是：3223623.
故选：C.
高考
gm
2．（2019年全国统一高考数学试卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．217 【答案】B
B．25 C．3 D．2
【分析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 将圆柱的侧面展开图平铺,
可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
所以所求的最短路径的长度为422225，故选B.
3．（2018年全国卷①文数高考试题）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A． B． C．
D．
【答案】A
【详解】：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，
高考
gm
且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
4．（2018年全国卷高考试题）-2021年新高考数学一轮复习讲练测）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面 MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于A选项，如下图所示，连接CD，
在正方体中，AD//BC且ADBC，所以，四边形ABCD为平行四边形，则AB//CD，
N、Q分别为DE、CE的中点，则NQ//CD，AB//NQ， AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB//平面MNQ；
对于B选项，连接CD，如下图所示：
高考
gm
在正方体中，AD//BC且ADBC，所以，四边形ABCD为平行四边形，则AB//CD，
M、Q分别为DE、CE的中点，则MQ//CD，AB//MQ，
AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB//平面MNQ；
对于C选项，连接CD，如下图所示：
在正方体中，AD//BC且ADBC，所以，四边形ABCD为平行四边形，则AB//CD，
M、Q分别为DE、CE的中点，则MQ//CD，AB//MQ，
AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB//平面MNQ；
对于D选项，如下图所示，连接BE交MN于点F，连接QF，连接CD交BE于点O，
若AB//平面MNQ，AB平面ABE，平面ABE平面MNQFQ，则FQ//AB，
高考
gm
则
EFEQ， BEAE由于四边形BCED为正方形，对角线交于点O，则O为BE的中点，
M、N分别为DE、CE的中点，则MN//CD，且MN则
BEF，
EFEN111，EFOEBE， EOCE224EF1EQ1EFEQ，又，则则，所以，AB与平面MNQ不平行； BE4AE2BEAE故选：D.
5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10 C．14 【答案】B 【解析】
B．12 D．16
由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为2(24)2112，故选B. 2高考
gm
点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.
6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．90π 【答案】B 【详解】
B．63π C．42π D．36π
由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为
1V32632463，故选B.
27．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是
28，则它的表面积是 3高考
gm
A．17π 【答案】A
B．18π C．20π D．28π
【详解】：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
1774283,即该几何体是个球，设球的半径为R，则VR，解得R2，
8833877322所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即42217，故选A．
884是一个球被切掉左上角的
8．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国2卷））如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A．20 【答案】C
B．24 C．28
D．32
【详解】析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之
高考
gm
和．
考点：三视图与表面积．
，，所以几何体的表面积为．
9．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国3卷））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
A．18365 【答案】B
B．54185 C．90 D．81
【详解】：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱， 其底面面积为：3×6=18， 前后侧面的面积为：3×6×2=36，
左右侧面的面积为：332622185 ， 故棱柱的表面积为：183618554185 ． 故选B．
10．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标①））圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20
，则r=
高考
gm
A．1 【答案】B
B．2 C．4 D．8
【分析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
1111①其表面积为：4r2r22r2r2r2rr25r24r2 ，
2222又①该几何体的表面积为16+20π， ①5r24r21620 ，解得r=2， 本题选择B选项.
11．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标①））一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
高考
gm
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，
①正方体切掉部分的体积为积的比值为故选D．
11115①剩余部分体积为1，①截去部分体积与剩余部分体111，326661． 512．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标①）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是
A．三棱锥 【答案】B
B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【详解】试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综合可判断为三棱柱．
13．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国①卷））如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
高考
gm
A．
17 27B．
5 9C．
10 27D．
1 3【答案】C
【详解】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积V154，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积V2161834，所以削掉部分的体积与原体积之比为
14．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为
543410，故选C.
5427
A．16+8 C．16+16
B．8+8 D．8+16
高考
gm
【答案】A
【详解】：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体， 半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积S122=2，半圆柱的高h4． 2 故半圆柱的体积为8，长方体的长宽高分别为4，故长方体的体积为42216，2，2，故该几何体的体积为168，选A
15．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为
A． B．
C． D．
【答案】A
高考
gm
【详解】：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，
是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：
故选A．
16．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 【答案】B 【详解】
B．9
C．12
D．18
高考
gm
111VSh，633，9．选B.
332
二、填空题
17．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）以图①为正视图，在图①①①①中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
【答案】①①（答案不唯一）
【分析】选择侧视图为①，俯视图为①，
如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2,BB11，
高考
gm
E,F分别为棱B1C1,BC的中点，
则正视图①，侧视图①，俯视图①对应的几何体为三棱锥EADF. 故答案为：①①.
高考
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