河北省承德市一中2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题

高二数学试题

本次考试范围：必修2圆与方程 选修2-1全部内容

第I卷 选择题（共60分）

一、单选题：(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么 ( )

A．点P在直线l上，但不在圆M上 B．点P在圆M上，但不在直线l上 C．点P既在圆M上，也在直线l上 D．点P既不在圆M上，也不在直线l上 2．“x>0”是“x2+x>0”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 ( )

A．1 B．2 C．2 D．22 4．命题“x0，都有x2x0”的否定是（ ）

22x00 B．x00，使得x0x00 A．x00，使得x0C．x0，都有x2x0 D．x0，都有x2x0

x2y2

5.已知椭圆＋2＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝ ( )

25m

A．2 B．3 C．4 D．9

x2

6.经过点P(2，－2)且与双曲线C：－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是 ( )

2

x2y2y2x2x2y2y2x2

A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 42422424

7．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4A．“¬p”是假命题 B．q是真命题 C．“p或q”为假命题 D．“p且q”为真命题 8．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角为 ( )

A．120° B．150° C．30° D．60°

二、多选题：(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.已知曲线C:mx2+ny2=1（ ）

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上 B.若m=0，n>0，则C是两条直线

C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为yD. 若m=n>0，则C是圆，其半径为n 10．如图，正方体ABCDABCD的棱长为1，则下列四个命题正确的是( ) A．若点M，N分别是线段AA,AD的中点，则MN //BC’ B．点C到平面ABCD的距离为2 πC．直线BC与平面ABCD所成的角等于 4D．三棱柱AADBBC的外接球的表面积为3π 11.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）

A．当ab时，e1e2 B．当ab时，e1e2

C．当ab时，e1e2 D．当ab时，e1e2

12.已知圆C1：(x﹣2cosθ)2+(y﹣2sinθ)2＝1与圆C2：x2+y2＝1，下列说法中正确的是（ ）

A.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；

B.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线； C.当

时，圆C1被直线

截得的弦长为

；

m xnD.P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知

，如果

是假命题，

是真命题，则实数的取值范围

是________．

14．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为______. 15．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为______.

x22

16．如图，F1、F2是椭圆C1：4＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是______.

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

四、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

x2y217．(本小题满分10分)已知命题p：“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”；

a－17－a命题q：“∃x∈R，使得x2－(a－1)x＋1<0”.

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．

18．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A、B两点.

(1)写出圆的方程标准形式，并指出圆心和半径；

(2)是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由；

x2y219. (本小题满分12分)已知双曲线C： 221（a0,b0）的离心率为5，ab虚轴长为4．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点0,1，倾斜角为45的直线l与双曲线C相交于A,B两点， O为坐标原点，求OAB的面积．

20．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是正方形BDEF是矩形，AB＝2BF，DE⊥平面ABCD. (1)求证：CF∥平面ADE； (2)求二面角C－EF－B的余弦值．

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

形，四边

21．(本小题满分12分)已知离心率为(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P0,2的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求PEPF的取值范围.

22. (本小题满分12分)已知抛物线C：y2

＝4x，点M(m,0)

在O

6的椭圆C的一个焦点坐标为2,0. 3x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，为坐标原点.

(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程； (2)是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，

11

＋恒为定值？ |AM|2|BM|2

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

河北承德第一中学2020-2021学年上学期第二次月考

高二数学试题参考★答案★

一、单选题：

1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.C 8.D 二、多选题：

9.BC 10.ACD 11.CD 12. ACD 三、填空题：

x2y26

13.[3，8) 14. 4－5＝1 15. 213 16. 2

四、解答题：

17. [解析] (1)若命题p为真命题，则有

a－1>07－a>07－a>a－1

，∴1故实数a的取值范围是(1,4)．

(2)若命题p∧q为真命题，则p真、q真，由(1)知p真，10， ∴a2－2a－3>0，∴a>3或a<－1. 又∵118. [解析] (1)(x－1)2＋(y＋2)2＝9.圆心C(1，－2)，r＝3.

(2)假设存在直线l，设方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵以AB为直径的圆过圆心O， ∴OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0. y＝x＋m22， x＋y－2x＋4y－4＝0

消去y得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0. Δ＞0得－32－3＜m＜32－3. 由根与系数关系得：

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

m2＋4m－4

x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝，

2y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2 ∴x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0. 解得m＝1或－4.

直线l方程为y＝x＋1或y＝x－4. 19. 【解析】(1)依题意可得

{c5a2b4c2a2b2 ，

解得a1,b2,c5，

y21． ∴双曲线的标准方程为x42

∴SOAB

20. [解析] (1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.

又∵四边形BDEF是矩形，∴BF∥DE.

又∵BC∩BF＝B，BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，AD⊂平面ADE，DE⊂平面

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

118224ABd。 22323ADE，

∴平面BCF∥平面ADE，

又∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE.

a

(2)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设AB＝a，则BF＝2，则B(a，－a,0)、aa

C(a,0,0)、E(0,0，2)、F(a，－a，2)．

→＝(－a,0，a)、CF→＝(0，－a，a)、BE→＝(－a，a，a)、BF→＝(0,0，a)． ∴CE

2222设平面CEF的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BEF的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．

→＝0→＝0n1·CEn2·BE

则，.

→→CF＝0BF＝0n1·n2·a－ax＋12z1＝0即a

－ay＋12z1＝0

，a

2z2＝0

a－ax＋ay＋222z2＝0

，

x1＝1

解得y1＝1

z1＝2

x2＝1，y2＝1z2＝0

.

∴n1＝(1,1,2)，n2＝(1,1,0)． n1·n223

cos〈n1，n2〉＝|n|·＝＝

3. 1|n2|233

∴二面角C－EF－B的余弦值是3. 21.

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

x1x212k9， ,xx1213k213k22

由12k3613k20k21

PEPFx1,y12x2,y221k9由k21知PEPF3,；

29综上所述： PEPF3,.

2299k22x1x231 213k213k22. [解析]

(1)当m＝1时，M(1,0)，此时，点M为抛物线C的焦点，直线l的方程为y＝x－1， 设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， y2＝4x，

联立消去y得，x2－6x＋1＝0，

y＝x－1，

∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4，∴圆心坐标为(3,2)． 又|AB|＝x1＋x2＋2＝8.

∴圆的半径为4，∴圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.

11

(2)若存在这样的点M，使得|AM|2＋|BM|2为定值，由题意可设直线l的方程为x＝ky＋m，

则直线l的方程与抛物线C：y2＝4x联立，

消去x得，y2－4ky－4m＝0，则y1y2＝－4m，y1＋y2＝4k，

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

1111∴|AM|2＋|BM|2＝＋22 x1－m2＋y21x2－m＋y211＝2＋22 k＋1y21k＋1y2

2

y21＋y2＝22 k＋1y21y2

y1＋y22－2y1y2＝ 2

k2＋1y21y2

16k2＋8m2k2＋m＝2＝， k＋1·16m22m2k2＋1

m

因此要与k无关，只需令2＝1，即m＝2， 111此时|AM|2＋|BM|2＝4. 11

∴存在定点M(2,0)，不论直线l绕点M如何转动，|AM|2＋|BM|2恒为定值．

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

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