【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编(文科) 不等式(精解精析)

不等式（精解精析）

一、选择题

xy4,1．(2021年全国高考乙卷文科)若x,y满足约束条件xy2,则z3xy的最小值为 ( )

y3,A．18 B．10

C．6

D．4

【答案】C

解析：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由xy4y3可得点A1,3, 转换目标函数z3xy为y3xz，

上下平移直线y3xz，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值， 此时zmin3136． 故选：C．

2．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则() ( )

A．abc B．acb C．cab

D．bca

【答案】B

【解析】由对数函数的图像可知：alog20.20；再有指数函数的图像可知：0c0.20.31，于是可得到：acb.

b20.21，

3x2y603．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)设x，y满足约束条件,则zxy的取值范围是x0y0

( )

A.[3,0]B.[3,2]C.0,2D.0,3

【答案】 B

3x2y60x0【解析】先作出约束条件表示的可行域，如下图，目标函数zxy中z相当于直线y0yxz中的纵截距，z的范围就是直线yxz在可行域内平行移动时纵截距的取值范围，当直线yxz经过点A0,3时，直线yxz取得纵截距的最大值，z取得最小值z033 ，当

直线yxz经过点B2,0 时，直线yxz的纵截距最小，z取得最大值z202，故

z3,2．

【考点】线性规划

【点评】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，

避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．

2x3y304．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)设x、y满足约束条件2x3y30．则z = 2x +y的最小值是

y30

( )

A．15B．9C．1D9 【答案】 A

【解析】在平面直角坐标系内画出约束条件满足的平面区域为如图所示的阴影部分的三角形ABC(包含边界),其中A(6,3),B(6,3),C(0,1),由图可知z2xy过点A(6,3)时,取得最大值

zmin12315．故选A．

yq(x) = 2∙xC(0,1)xOy = h(x)A(-6,-3)y = 3B(6,-3)

【考点】线性规划

【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想．需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．

拓展线性规划的目标函数主要有三种形式:一、截距式,即zaxby,主要根据目标函数在坐标轴上的

截距判断最值;二、斜率式,即zxa,主要根据可行域内的点与定点a,b的连线的斜率判断最值;yb2三、距离式,即zxayb,主要根据可行域内的点与定点a,b的距离判断最值．

2x3y3,5．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)设x,y满足约束条件xy1,则zxy的最大值为 ( )

y0,A．0 B．1 【答案】 D 【解析】如图,目标函数

C．2

D．3

zxy经过

A(3,0)时最大,故

zmax303,故选D．

方法二:线性目标函数一定在边界上取到最值,可行域为一个三角形,三个顶点坐标分别为

A(3,0),B(1,0),

31C(,)22,所以zA3,zB1,zC2,zmaxzA3

【考点】简单线性规划

【点评】本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,作图时,可将不等式

AxByC0转化为ykxb(或ykxb),“”取下方,“”取上方,并明确可行域对应的

是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．

xy1≥06．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设x，y满足约束条件xy1≤0，则zx2y的最大值为

x3y3≥0

A．8

B．7

C．2

( )

D．1

【答案】B

解析：画出可行域，

知道可行域为三角形，两两求解，得三点坐标(1,0)，

(3,2)，(0,1)，分别代入zx2y，算出的最大值为7。∴选Ｂ。

考点：（１）平面区域的画法；（２）求目标函数的最值 难度：B 备注：常考题．

7．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)设x，y满足约束条件 A．-5 C．-5或3 【答案】B

解析：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示． 在平面区域内，平移直线xay0，可知在点 A解之得a 5或a 3．但a B．3 D．5或-3

( )

xya,且zxay的最小值为7，则axy1,a1a1a1a1a7,处，z 取得最值，故,22223． 选B．

5时，z取得最大值，故舍去，答案为a 考点：1．考查线性规划；2．几何作图．3．平面几何图形分析处理能力．

难度：B

备注：高考频点．

xy10,8．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)设x,y满足约束条件xy10,，则z2x3y的最小值是

x3,

A．7 B．6 【答案】B

C．5

( )

D．3

解析：由z2x3y得3y2xz，即y知当直线y2z2zx．作出可行域如图，平移直线yx，由图象可3333xy102z2z得x经过点B时，直线yx的截距最大，此时z取得最小值，由x33333x3，即B3,4，代入直线z2x3y得z32346，选B． y4考点：（1）7．4．1二元一次不等式（组）表示平面区域；（2）7．4．2求线性目标函数的最值问题 难度：A

备注：高频考点、易错题 9．(2012年高考数学课标卷文科)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x,y)在ABC内部，则zxy的取值范围是 ( )

A．(13,2) B．(0,2)

C．(31,2)

D．(0,13)

【答案】A

解析:做出三角形的区域如图，由图象可知当直线yxz经过点B时，截距最大，

4321–1–1A(1,1)yB(1,3)CO1234x

此时z132，当直线经过点C时，直线截距最小．因为ABx轴，所以yC形的边长为2，设C(x,2)，则AC132,三角2(x1)2(21)22，解得(x1)23，x13，因为

顶点C在第一象限，所以x13，即(13,2)代入直线zxy得z(13)213，所以z的取值范围是13z2，选A．

考点：（1）7．4．2求线性目标函数的最值问题；(2) 8．2．3距离公式的应用 难度：B 备注：高频考点 二、填空题

2xy20,10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x，y满足约束条件xy10,则z=x+7y的最大值为

y10,______________． 【答案】1

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数zx7y即：y11xz， 77其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

2xy20联立直线方程：，可得点A的坐标为：A1,0，

xy10据此可知目标函数的最大值为：zmax1701． 故答案

：1．

【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，z值最小，直线过可行域且在y轴上截距最大时，在y轴上截距最小时，z值最大．

xy1，11．y满足约束条件xy1，(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)若x，则zx2y的最大值是__________．

2xy1,【答案】8

【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：

平移直线y111x，当直线经过点A时，直线yxz在纵轴上的截距最大，

222xy1x2此时点A的坐标是方程组的解，解得：，

2xy1y3因此zx2y的最大值为：2238． 故答案为：8．

【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力．

xy0,12．y满足约束条件2xy0， ，(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)若x，则z=3x+2y的最大值为_________．

x1,【答案】7

【解析】不等式组所表示的可行域如图

z3xz，易知截距越大，则z越大， 2223x3xz经过A点时截距最大，此时z最大， 平移直线y，当y222因为z3x2y，所以y由y2xx1，得，A(1,2)，

x1y2所以zmax31227． 故答案为：7．

【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题．

2x3y60，xy30，y20，x,y13．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)若变量满足约束条件则z3xy的最大值是

___________.

【答案】9

【解析】画出不等式组表示的可行域，如图所示，

阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线3xyz0中的z表示纵截距的相反数，当直线z3xy过点（3,0）时，z取最大值为9． 【点评】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．

2xy3≥0，114．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)若变量x，y满足约束条件x2y4≥0，则zxy的最大值是

3x2≤0.

________． 【答案】3

2xy3≥0，（2，3）解析：画出变量x,y满足约束条件x2y4≥0，表示的平面区域如图：解得A．

x2≤0.1作出目标函数对应的直线，当直线过A时，直线的纵截距最小，（2，3）zxy变形为y3x3z，

31z最大，最大值为23=3．

3

x2y5≥0,15．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)若x,y满足约束条件x2y3≥0, 则zxy的最大值为

x5≤0,__________． 【答案】9

x2y5≥0,解析：由x,y满足约束条件x2y3≥0,作出可行域如图，化目标函数zxy为yxz，由图可

x5≤0,知，当直线yxz过A时，Z取得最大值，由Z9．故答案为：9．

x5，解得A(5,4)，目标函数有最大值，为

x2y30

x2y2≤016．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x，y满足约束条件xy1≥0，则z3x2y的最大值为

y≤0________． 【答案】6

解法1：（直接法）约束条件可行域如下图：

可行域如上图阴影部分：目标函数z3x2y可化为y将y3zx， 223x进行平移，可得在B(2,0)处距最大，即z最大，将x2,y0，代入得zmax6 2解法2：（交点法）将方程x2y20x2y20xy1≥0,,xy10y0y0

两两求解得交点坐标为(4,3),(2,0),(1,0)，代入一一检验即可，zmax6．

2xy1≥0,17．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)设x，y满足约束条件x2y1≤0, 则z2x3y5的最小值为

x≤1,______．

【答案】 10【解析】如图所示，可行域为一个三角形及其内部，其中三角形三个顶点分别为

1,0,1,1,1,3，当直线k2过点A1,1时取最小值10．

y OAx

xy1018．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)若x,y满足约束条件xy30 ，则zx2y的最小值为

x30__________．

【答案】5【解析1】可行域如图所示，则直线y11xz，所以当直线的纵截距最大时，z取得22最小值，故当直线经过C3,4时，z有最小值5．

yCAxOB

【解析2】由xy10x1xy10x3得，点1,2，由得，点C3,4，由

xy30y2x30y4x30x3得，点B3,0，分别将，，C代入zx2y得：z1223，xy30y0zC3245，zB3203，所以zx2y的最小值为5．

19．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，

用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料

150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．

【答案】 216000

1.5x0.5y150x0.3y90

【解析】设生产产品A、产品B分别为x,y件，利润之和为z元，那么5x3y600

x0y03xy30010x3y900目标函数为z2100x900y，二元一次不等式组等价于5x3y600

x0y0作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图），即可行域，

y MO x

将z2100x900y变形，得yx经过点M时，z 取得最大值． 解方程组73z77z，平行直线yx，当直线yx90033900

10x3y900，得M的坐标(60,100)．

5x3y600所以当x60，y100时，zmax210060900100216000． 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．

xy5020．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)若x,y满足约束条件2xy10 ,则z2xy的最大值

x2y10为 ． 【答案】8

xy501,1,2,3,3,2为顶点的三角形区域,z2xy分析：不等式组2xy10表示的可行域是以

x2y10的最大值必在顶点处取得,经验算,x3,y2时zmax8． 考点：本题主要考查线性规划知识及计算能力．

xy20,21．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x，y满足约束条件x2y10,则z3xy的最大值为

2xy20,_________________． 【答案】4

分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3xy0，平移直线l0，当直线:z=3x+y过点A时，z取最大值，由xy2=0解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4．

x2y1=0

考点：简单线性规划解法

22．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)设x,y满足约束条件 ______． 【答案】3

解析: 由约束条件画可行域．

1x3,，则z2xy的最大值为

1xy0

z2xy即y2xz，过B点时z最大．

即Zmax2333． 考点：线性规划 难度：A 备注：高频考点