河北省承德市重点高中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题及参考答案

）C.2iD.2

2.下列说法中不正确的是（A.零向量与任一向量平行C.单位向量是模为1的向量B.方向相反的两个非零向量不一定共线D.方向相反的两个非零向量必不相等）3.在ABC中，若AB3，BC4，AC5，则BCAC（A.16

2



B.16C.9

）D.0

4.若0，，sin

1

，则cos的值为（332616C.2236A.2616B.D.22365.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a30，b25，A42，则此三角形解得情况为（）A.无解B.有两解C.有一解D.有无数解6.已知ABC的三边长分别为a,a3,a6，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（）A.23B.34C.45D.38ABAC7.已知点O是ABC所在平面内一点，若非零向量AO与向量ABcosBACcosC共线，则（）A.OABOACC.OBOCB.OAOBOC0D.AOBC0

1

8.将函数ysin2x3cos2x的图象向右平移0





个单位长度后得到fx的2

）图象，若fx在，上单调递增，则的取值范围为（

43

3A.，88

B.，42

5C.，

412

D.，

42

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若复数z为纯虚数，则（）A.zz为实数B.zz为实数C.z2为实数D.zi为实数）10.已知函数fxtanx，则下列关于函数fx的图象与性质的叙述中，正确的是（A.函数fx的最小正周期为

B.函数fx在k,kkZ上单调递增2

C.函数fx的图象关于直线x

对称24D.ff

55



11.已知非零向量a，b满足a4b2，则下列结论正确的是（

A.若a，b共线，则a4b222B.若ab，则a16b422

C.若a16b6，则a4b41D.ab

412.在锐角ABC中，内角）A,B,C所对的边分别为a,b,c，3，则下列结论正确的是（3D.C

）sinAsinB22sinBsinCsinC，且sinA

A.caacosC

B.ac2C.ca3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：3i

1i.2

14.已知a3，向量b在a上的投影向量为a，则ab.3315.已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长23为.16.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若O为ABC的重心，OBOC，3b4c，则cosA

.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知虚数z满足z（1）求证：z

5.5i

在复平面内对应的点在直线yx上；z2（2）若z是方程2x4xk0kR的一个根，求k与z.18.（12分）已知函数fxAsinxA0,0,0的图象的一部分如图所示.（1）求函数fx的解析式；（2）当x

4

,3时，求函数yfxfx2的最值.3

19.（12分）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量mb2c,a，

ncosA,cosB，且mn.（1）求角A；（2）若ABC的周长为33，且ABC外接圆的半径为1，判断ABC的形状，并求ABC的面积.3

20.（12分）已知向量a，b满足a2，a2ba2b12，ab23.

（1）求向量a与b的夹角；

（2）求a3b.21.（12分）2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，索道AB长为1040m，经测量，cosA

123,cosC.135（1）求山路AC的长；（2）乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？22.（12分）已知圆O的半径为2，圆O与正ABC的各边相切，动点Q在圆O上，点P满足AOAQ2AP.（1）求PAPBPC的值；（2）若存在x,y0,，使得CPxPAyPB，求xy的最大值.2224参考答案一、选择题1.A2.B解析：z

3i

12i，z的虚部为2.1i解析：零向量与任一向量平行，故A正确；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；模为1的向量为单位向量，故C正确；对于D，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，∴方向相反的两个非零向量必不相等，故D正确.3.B解析：由题意可知，ABBC，∴BCACBCABBCBCABBC22BC16.4.D解析：∵0，，∴



2，，336

∴cos



222，1sin333



∴coscos5.C22113223.

3332326abbsinA5

得sinB，∴sinBsinA，

sinAsinBa6125552sinA，sinA，2212612解析：由正弦定理sin30sinAsin45，552sinB1，1212∴∵ab，∴AB，B只能为锐角一个值，ABC只有一个解.6.B解析：设ABC的最小内角为，由正弦定理得整理得cos

a6

，2a22aa6

，

sinsin23a6a3a6a2a15

由余弦定理得，解得a12,cos.

42a2a3a62a6

ABACABBCACBCBCBCBC07.D解析：ABcosBACcosCABcosBACcosC5ABAC∴BC与垂直，ABcosBACcosC

ABAC∵向量AO与向量共线，∴AOBC，AOBC0.ABcosBACcosC8.C解析：ysin2x3cos2x2sin2x







，由题意可得，3



fx2sin2x2sin2x2，33

由

2k2x22k,kZ得2325kxk,kZ，1212

4

k4123

kZ，若fx在，上单调递增，则

53k12

17

k12kZ，即5k17k，kZ，解得

4125k4

当k1时，二、选择题9.ACD解析：∵z为纯虚数，∴可设zmimR,m0，则zmi，55

，即的取值范围为，.

412412

zz0，A正确；zz2mi，B错误；z2m2为实数，C正确；zim为实数，D正确.10.ABC解析：函数fxtanx的大致图象如图所示，由图易知A,B,C正确，又

ftan，55

64f5∴f

44

tantantantan，5555

4

f，故D错误.55



11.BD解析：对于A，只有a，b反向时才有a4b2，故A错误；22

对于B，若ab，则ab0，a4b2两边平方得a16b4，故B正确；22222

对于C，由a4ba4b2a16b12，∴a4b8，∴

a4b22，C错误；22

对于D，a4b2两边平方得a16b48ab，221

由a16b8ab8ab，得48ab8ab，ab，故D正确.412.ACD解析：∵sinAsinB2sinBsinCsinC，由正弦定理得2ab22bcc，∴a2b2c2∴caacosC，故A正确；∵caacosC，∴2bc2ab，∴2abcosC2bca，cc

1cosC,又C0，，∴1cosC0，aa2

∴c

1，即ca，故B错误，C正确；a∵caacosC，∴ca1cosC，由正弦定理得sinCsinA1cosC

31cosC，3∴3sinCcosC1,即2sinC



1

1，∴sinC，662

又C0，，C三、填空题13.5解析：

2，，∴C，即C，故D正确.6636633i1i24i12i5.3i

1i1i1i27

2bcos2

14.6解析：设a,b的夹角为，又由b在a上的投影向量为a得，3a3

故ababcos326.15.2解析：设扇形所在圆半径为r，∴123，∴r3.r

232如图，设割出的圆半径为a，圆心为C，∴CO

a

sin

62a，r3CODC3a，故a1，∴最大的圆周长为2.16.56解析：连接AO，延长AO交BC于D，由题意得D为BC的中点，OBOC，∴ODBDCD∵ADBADC，13

a，ADa.2292129212aac2aab24440，∴cosADBcosADC431312aa2aa2222得bc5a.222121222bcbc

b2c2a22bc234555故cosA.2bc2bc5cb5436四、解答题17.解：（1）证明：设zabia,bR,b0，∵z∴z

5，∴zz5，5i

zziabiabiiababi，z5i

∴z在复平面内对应的点为ab,ab，在直线yx上.z（2）∵z是方程2x4xk0kR的一个根，∴2abi4abik0，22即2a2b4ak4ab4bi0，22∴2a2b4ak0，且4ab4b0，由4ab4b0及b0，得a1，∵ab5，∴b2，把a1，b2代入2a2b4ak0得k10，8222222∴k10，z12i.18.解：（1）由图象知A2，2，T8∵f12，∴T

42，∴

，得fx2sinx.44

312k，kZ，得2k，kZ.42433，∴fx2sinx

444.

又0，∴（2）由题意3333y2sinx2sinx2cosx2sinx244444444



22sinx22sinx.44

∵x∴当43

,3，∴x,，4334

x，即x2时，y取最小值22；424

当x，即x时，y取最大值6.433

19.解：（1）∵mn，∴b2ccosAacosB0，即2ccosAacosBbcosA,由正弦定理得2sinCcosAsinAcosBsinBcosA，∵sinAcosBsinBcosAsinABsinC，∴2sinCcosAsinC，∵C0,，∴sinC0，∴cosA

1.∵A0,，∴A.233，（2）设ABC外接圆的半径为R，则R1，由正弦定理得a2RsinA∵ABC的周长为33，∴bc23.由余弦定理得abc2bccos

2222bc3bc，即3123bc，∴bc3，3bc23b3由得，∴ABC为等边三角形.bc3c3∴ABC的面积S

11333bcsinA3.222492220.解：（1）∵a2ba2b12，∴a4b12.2

∵a2，∴44b12，解得b2.ab233而ab23，∴cos，又0，，∴.

62ab22

（2）∵a2，b2，ab23，222

∴a3ba23ab3b42323344，

∴a3b2.21.解：（1）在ABC中，∵cosA

12354

,cosC，∴sinA,sinC.1351355312463

从而sinBsinACsinAcosCcosAsinC.

13513565由正弦定理ABACAB104063

，得ACsinB1260m.4sinCsinBsinC655∴山路AC的长为1260m.（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了10050tm，乙距离A处130tm，∴由余弦定理得d210050t130t2130t10050t

221040

，即0t8，13035

min时，甲、乙两游客距离最短.故当t37∵0t

12

20037t270t50，13

22.解：（1）由题意知AOBBOCAOC120，OAOBOC0,且OAOBOC4，∴OAOBOAOCOBOC44cos1208，∵AOAQ2AP，∴AOAPAPAQ，∴POQP，P为OQ的中点.∵OQ2，∴OP1，∴PAPBPCPOOA222POOBPOOC222103PO2POOAPOOBPOOCOAOBOC2

2

2

2

2222

3POOAOBOC2POOAOBOC31616162PO051

（2）∵CPxPAyPB，∴PCxPAyPB，∴POOCxPOOAyPOOB，∵OCOAOB，∴xy1PO1xOA1yOB，两边平方整理得15xy18xy48xy150，2∴15xy2xy218xy1548xy4812xy，2

2（当且仅当xy时取“=”号），∴xy6xy50，解得1xy5.2∴xy的最大值为5.11