定积分的变上限求导法

定积分是微积分中的一个重要概念，在数学、物理、化学等学科中有广泛应用。在实际中，我们经常会遇到定积分的变上限求导问题，本文将介绍定积分的变上限求导法。

一、定义

首先，我们需要了解定积分的定义。

对于一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$x$的任意分割可以写成

$a=x_0区间$[x_{i-1},x_i]$的长度为$\\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$x_i$点处的函数值为$f(x_i)$，则$[x_{i-1},x_i]$的面积为$f(x_i)\\times \\Delta x_i$。所以区间$[a,b]$的面积可以近似表示为

$S_n=\\sum_{i=1}^n f(x_i)\\Delta x_i$

当$x$的分割无限细时，即$\\Delta x_i\\to 0$，$n\\to \\infty$时，所求面积就是定积分，可以表示为：

$\\int_a^bf(x)dx=\\lim_{n\\to \\infty} \\sum_{i=1}^n f(x_i)\\Delta x_i$

其中，$a$和$b$分别是积分的下限和上限，$dx$是区间长度的微元，可以理解为$\\Delta x$在$n\\to \\infty$时的极限。

二、变上限的求导法

现在考虑定积分的变上限求导问题。

假设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，$c$是$[a,b]$内的一个定值，定义函数$F(x)=\\int_c^xf(t)dt$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续可导，并且有$F'(x)=f(x)$。

证明：

可知

$\\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=\\dfrac{1}{h}\\int_c^{x+h}f(t)dt-\\dfrac{1}{h}\\int_c^xf(t)dt=\\dfrac{1}{h}\\int_x^{x+h}f(t)dt$

在$h\\to 0$时，上式变为

$F'(x)=\\lim_{h\\to 0}\\dfrac{1}{h}\\int_x^{x+h}f(t)dt=f(x)$

因此$F(x)$在$[a,b]$上连续可导，并且有$F'(x)=f(x)$。

三、举例说明

现在，我们用一个简单的例子来说明定积分的变上限求导法。

设$f(x)=x^2$，则$\\int_1^x t^2 dt=\\dfrac{1}{3}x^3-\\dfrac{1}{3}$，所以$F(x)=\\int_1^x t^2 dt=\\dfrac{1}{3}x^3-\\dfrac{1}{3}$。

因为$F'(x)=f(x)=x^2$，所以$\\dfrac{d}{dx}\\int_1^x t^2 dt=x^2$。

四、总结

变上限求导法是一个重要的微积分技巧，在求解一些题目时可以起到很好的作用。本文介绍了定积分的变上限求导法，以及一个简单的例子来说明这个技巧的运用。希望对大家的学习有所帮助。