变限积分的求导公式及其应用

一、变限积分的求导公式

设函数$f(x,y)$在以$a$和$b$为界的闭区间上连续，且$f(x,y)$在该区间内的偏导数存在，则变限积分

$$F(x)=\\int_a^b f(x,y)dy $$

在该区间内可导，并且$F'(x)$就是令$y$从$a$到$b$求导并将偏导数替换为$y$的函数值的积分结果，即

$$F'(x)=\\int_a^b \\frac{\\partial f(x,y)}{\\partial x}dy $$ 二、变限积分的求导应用

1.应用于求导的计算

例如，考虑求积分$I(x)=\\int_0^x e^{x+t}sin(xt)dt$的导数。 由变限积分的求导公式可得

$$I'(x)=\\int_0^x \\frac{\\partial}{\\partial x} (e^{x+t}sin(xt))dt $$

对积分内的函数进行求导：

$$I'(x)=\\int_0^x (e^{x+t}sin(xt))'dt = \\int_0^x (e^{x+t}sin(xt)+e^{x+t}xsin(xt))dt $$ 计算积分：

$$I'(x)=e^{2x}sin(x)-sin(x) $$ 因此，积分$I(x)$的导数为：

$$I'(x)=e^{2x}sin(x)-sin(x) $$ 2.应用于定积分问题的求解

例如，考虑定积分$J=\\int_0^1 \\frac{1}{1+t^2}dt$的计算。 将定积分表示为变限积分的形式： $$J(x)=\\int_0^x \\frac{1}{1+t^2}dt $$ 应用变限积分的求导公式，求导得到：

$$J'(x)=\\int_0^x \\frac{\\partial}{\\partial x} \\left(\\frac{1}{1+t^2}\\right) dt = \\int_0^x 0 dt = 0$$

由于导数为常数0，因此可得定积分的表达式为： $$J(x)=0+C$$

根据积分的边界条件$J(0)=\\int_0^0 \\frac{1}{1+t^2}dt = 0$，则可以确定常数C的值为0。

因此，定积分$\\int_0^1 \\frac{1}{1+t^2}dt$的计算结果为0。 三、总结

变限积分的求导公式为$F'(x)=\\int_a^b \\frac{\\partial

f(x,y)}{\\partial x}dy$，该公式可以应用于对积分的求导计算和定积分问题的求解。通过求导可以将积分问题转化为更简单的问题来解决，或者求得定积分的表达式。变限积分的求导公式在微积分的计算中具有重要的应用价值。