变限定积分求导公式

限定积分求导公式是微积分中的重要内容，它在求解函数的导数和原函数方面发挥着重要作用。本文将详细介绍限定积分的定义、基本性质以及求导公式，并给出多个实例进行说明。 一、限定积分的定义

1.限定积分的定义

设函数f(x)在[a,b]上连续，则函数F(x)在[a,b]上可导，且有： F'(x)=f(x),a≤x≤b

这里，F(x)是函数f(x)的原函数。限定积分就是通过求出F(b)和F(a)的差值来表示，在数学上可以表示为：

∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a) 2.求导公式的推导

根据限定积分的定义，我们可以推导出求导公式。 设函数F(x)在[a,b]上可导，则有： ∫[a,x]F'(t)dt = F(x) - F(a) 对上式两边求导，得到：

(d/dx)∫[a,x]F'(t)dt = d/dx(F(x) - F(a)) 根据求导的链式法则，可以得到： F'(x) = d/dx(F(x) - F(a))

化简上式，可得到求导公式： F'(x)=F'(x)-0=f(x),a≤x≤b 二、基本性质

限定积分求导公式具有以下基本性质： 1.线性性质

设f(x)和g(x)是定义在[a,b]上的连续函数，k是常数，则有： (d/dx)∫[a,b](kf(x) + g(x))dx = k(f(x))，_a^b + (g(x))，_a^b 2.区间可加性

设f(x)是定义在[a,c]上的连续函数，则有： ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx 3.导数的乘法法则

设f(x)和g(x)是定义在[a,b]上的连续函数，则有： (d/dx)∫[a,b]f(x)g(x)dx = g(x)F(x)，_a^b - ∫[a,b]g(x)f'(x)dx 三、求导公式的实例

下面给出一些具体的求导公式的实例。 1. 求导 ∫[0,x]sin(t^2)dt

首先，设f(t) = sin(t^2)，则f'(t) = 2tsin(t^2)。 根据求导公式，有：

(d/dx)∫[0,x]sin(t^2)dt = f(x) - 0 + ∫[0,x]2tsin(t^2)dt = sin(x^2) + 2∫[0,x]tsin(t^2)dt 2. 求导 ∫[0,π/2]xsin(x)dx

设f(x) = xsin(x)，则f'(x) = sin(x) + xcos(x)。 根据求导公式，有：

(d/dx)∫[0,π/2]xsin(x)dx = f(x) - 0 + ∫[0,π/2](sin(x) + xcos(x))dx

= xsin(x) + [cos(x) - xsin(x)]，_0^(π/2)

以上是限定积分求导公式的基本内容和相关实例，希望能对你的学习有所帮助。