沈阳铁路实验中学高二数学(理)期中考试

沈阳铁路实验中学2012-2013学年度下学期期中考试

高二数学（理）

一、选择题

1． 复数4 - 3a - ai与复数a + 4ai相等，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 1或-4 C. -4 D.0 或-4

332．若yxxcosx，则y’等于（ ）

2

2

1xx3sinx23A. 3xxsinx B.

233213xx3sinx2123C. D. 3xx3sinx 3223．一个盒子装有七张卡片，上面分别写着七个定义域为R的函数：f1(x)=x，f2(x)=x，

2

f3(x)=x，f4(x)=cosx，f5(x)=sinx，f6(x)=2-x，f7(x)= ∣x∣+ 2。从盒子里任取两张卡片至少有一张卡片上写着偶函数的取法有（ ）种。 A.12 B.15 C.18 D.24

32

4. 设a，b，c小于0，则3个数：

a111bcb，c，a的值（ ）

A．至多有一个不小于-2 B．至多有一个不大于2

C．至少有一个不大于-2 D．至少有一个不小于2

5．设P2,Q73,R62，则P，Q，R的大小顺序是（ ） A． P >Q >R B．P > R > Q C． Q > P >R D．Q > R > P

6．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f’(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)33的极值点，因为函数f(x)=x在x=0处的导数值f’(0)=0，所以，x=0是函数f(x)=x的极值点，以上推理中（ ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确

7．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）

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A.36 B.32 C.28 D.24

８．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f’(x)存在，且导函数f’(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f’’(x)=( f’(x))’，若f’’(x)<0在D上恒成立，则称f(x)

0,在D上为凸函数，以下四个函数在2上不是凸函数的是（ ）

A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=-xe C.f(x)=-x+2x-1 D.f(x)=lnx-2x

９．右图是函数y=f(x)的导函数y=f’(x)的图像，给出下列命题： ①-3是函数y=f(x)的极值点； ②-1是函数y=f(x)的最小值点； ③ y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零； ④ y=f(x)在区间（-3,1）上单调递增. 则正确命题的序号是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④

10.点P是曲线x-y-lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ） 35A. 1 B. 2 C. 2 D. 2

2

3

-x

11.设函数f(x)=kx+3(k-1)x+1-k在区间（0,4）上是减函数，则实数k的取值范围是

322

A.

k110k3 3 B.

11k3 D. 3

2

C.

0k12.抛物线y=x与直线y=x-2所围成图形的面积（ ）

919A. 2 B. 6

4C. 3 D.4

二、填空题

z3i(13i)2，则∣Z∣= _____。

13.已知复数

14.观察下图中小正方形的个数，按规律则第n个图中有__________个小正方形。

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15. 111x2dx __________

16.观察以下不等式

113222 ， 11522233，

1111172232424

1111...f(n)2232n2 ，则不等式

„„可归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式

右端f(n)的表达式应为__________ 。 三、解答题

17. 已知复数满足Z1，满足(1+i)Z1=-1+5i，Z2=a-2-i，其中i为虚数单位，a ∈R若

|z1z2||z1|，求a的取值范围。

13115111711222222222332344 ，„ .请归纳出关于n的18. 观察下列式子： ，，

一个不等式并加以证明。

119.已知函数f(x)=-x+ax+bx+c图像上的点P(1,f(1))处的切线方程为y=-3x+1. ⑴若函数f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式；

⑵函数f(x)在区间[-2,0]上单调递增，求实数b 的取值范围。 20. 已知a，b，c是不完全相等的正实数，选择合适的方法证明：

3

2

bcaacbabc3abc

f(x)2axblnxx.

21．已知函数

（I）若函数f(x)在x=1，

x12处取得极值，求a，b的值；

（II）若f’(1)=2，函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围。

22. 已知函数

f(x)lnxax1a1(aR)x.

（I）当

a12时，讨论f(x)的单调性；

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（II）设g(x)=x-2bx+4,当实数b取值范围。

2

a14时，若对任意x1∈（0,2），存在x2∈[1,2],使f(x1) ≥g(x2)，求

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沈阳铁路实验中学2012-2013学年度下学期期中考试

高二数学（理）答案

一、选择题：CDCCB AABDD DA 二、填空题： 13、

1(n1)(n2)2n1(n2) 14、 15、 16、f(n)22n2三、解答题： 17、解：由题意得z115i23i 1iz1z24a2i(4a)24，z113 (4a)2413a28a70

1a7

a的取值范围是（1,7）

18、解：归纳猜想关于n的不等式为11112n1*(nN) 22223(n1)n1证明：（1）当n=1时，依题意不等式显然成立。 （2）假设当n=K时，不等式成立，即11112k1， 22223(k1)k1那么1111112k11， 22222223k(k1)(k2)k1(k2)2k112k3 2k1(k2)k2(2k1)(k2)2k1(2k3)(k1)(k2)= 2(k1)(k2)=

10， 2(k1)(k2)2k112k3， k1(k2)2k2111112(k1)1。 2232k2(k1)2(k2)2(k1)11 www.baishiedu.com

即当nk1时，不等式也成立。 根据（1）和（2）知，归纳猜想的不等式对任何nN*都成立。 19．解:

函数在

处的切线斜率为-3，所以

,即

=0,

又

得

=1.

(1) 函数f(x)在x2时有极值，所以f'(2)124ab0

解得a=-2,b=4,c=-3,所以. f(x)x32x24x3

(2) 因为函数f(x)在区间[2,0]上单调递增，所以导函数f'(x)3x2bxb在区间[的值恒大于或等于零，

则f'(2)122bb0f'(0)b0 得,所以实数b的取值范围为[4,).

20.证明：

bcaaacbbabccbacaabcbacbc322233因为a,b,c不全相等 所以

bcaaacbbabcc3 21. 解：（1）

由

可得

（2）函数f(x)的定义域是(0,) 因为f'(1)2,所以b2a1

所以, f'(x)2ax2x(2a1)(x1)2axx2(2a1)x2 2,0]上

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要使f(x)在(0,)上是单调函数，只要f'(x)0或f'(x)0在（0，上恒成立 +）当a=0时，f(x)'x10恒成立，所以f(x)在(0,)上是单调函数 x2，得x11,x2当时，令此时当

在时，要使

2a1111， 2a2a上不是单调函数， 在

上是单调函数，只要

,即

,

综上所述，a的取值范围是. a0, 2111aax2xa122.解：原函数的定义域为(0,),因为f(x)a2 2xxx'所以当a0时，f(x)'x1x1'f(x)0得x1，所以此时函数f(x)在(1,)上是，令

x2x2增函数；在(0,1)上是减函数；

121xx11x22x1(x1)2'22当a时，f(x)0，所以此时函数f(x)在

2x22x22x2ax2xa1'(0,)是减函数；当a0时，令f(x)0得ax2xa1>0,解得2x1x1或x<1(舍去)，此时函数f(x)在(1,)上是增函数；在(0,1)上是减函数；

a11ax2xa12'10，解得

2ax211数f(x)在(1,1)上是增函数；在(0,1)和(-1,+)上是减函数；

aa11ax2xa12'当a1时，令f(x)1x1，此时axxa10得>0，解得22ax11函数f(x)在(-1,1)上是增函数；在(0,-1)和(1,+)上是减函数；

aa1ax2xa12'axxa1>0可解得0当a1时，由于-10，令f(x)得2ax0x1，此时函数f(x)在(0,1)上是增函数；在(1,)上是减函数。

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11(0,)，由（1）知，x11,x23(0,2),当x(0,1)时，f'(x)0,函数f(x)42117单调递减；g(x)ming(2)84b0，b(2,)b,

28（2）因为a当x(1,2)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)于“对任意x1(0,2),存在x21,2,f(x1)g(x2)”等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值-又g(x)=（x-b）+4-b,x11,2，所以

221。由21”（※） 2（1）当b1时，因为g(x)ming(1)52b0,此时与（※）矛盾 （2）当b1,2时，因为g(x)min4-b0,同样与（※）矛盾

2（3）

117当b（2，+）时，因为g(x)ming(2)84b,解不等式84b,可得b

28综上，b的取值范围是17, 8百时教育名校题库 2016年10月