非齐次线性微分方程的几种解法

我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。

关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，

目 录

摘要 ............................................................................................................................ 1

引言 ............................................................................................................................ 3 1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: ................................................................... 3 2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: ............................................................... 6

2.1常数变易法 ........................................................................................................................... 6 2.2待定系数法: ......................................................................................................................... 9 2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 ............................................................ 9 2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 ...................................................... 11 2.3拉普拉斯变换法 ................................................................................................................. 13

总结 .......................................................................................................................... 15 参考文选 .................................................................................................................. 16 致 谢 ...................................................................................................................... 17

引言

非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。下面我们主要介绍求特解的方法。

1.n阶线性齐次微分方程的一般理论:

y(n)a1(x)y(n1)an1(x)yan(x)yf(x) （1） y(n)a1(x)y(n1)an1(x)yan(x)y0 （2）

定理1：设方程（2）有n个线性无关的解，这n个线性无关的解称为方程的基本解组。

定理2：方程（2）的基本解组一定存在。方程（2）的基本解组的个数不能超过n个。

定理3：n阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。

定理4：齐次方程（2）的n个解y1,y2,,yn在其定义区间I上线性无关的充要条件是在I上存在点x0，使得它们的朗斯基行列式W(x0)0。

目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。下面我们研究几个例子。

例：方程(1x2)y2xy2y0的两个解是

y1x,y2x1xln1 21x 它的通解为

yC1xC2x1xln1 21x定理5：设y1,y2,,yn是方程（2）的任意n个解。W(x)是它的朗斯基行

列式，则对区间I上的任一x0有W(x)W(x0)e维尔(Liouvlle)公式。

x0p1(t)dtx（3）上述关系式称为刘

我们手上有了这个定理，以后如果我们有二阶线性齐次微分方程的一个特解。我们求了它的另一个解。

对于二阶齐次线性方程

yp(x)yq(x)y0

如果已知它的一个非零特解y1，依刘维尔公式（3），可用积分的方法求出与y1线性无关的另一个特解，从而可求出它的通解。

设y是已知二阶齐次方程一个解，根据公式（3）有

y1y1yp(x)dsCe y或

p(x)dxCey1yyy1

为了积分上面这个一阶线性方程，用

1乘上式两端，整理后可得 y21dyCp(x)dxe dxy1y21由此可得

p(x)dxyCedxC1 y1y21易见 yy11p(x)dxedx是已知方程的一个解，即 C10,C1 y21 所对应的解。此外，由于

y1y1yp(x)dxCe0 y所以，所求得的解y1是线性无罐解。从而，可得已知方程的通解

yC1y1C2y11p(x)dx。 （4） e2y1其中C1和C是任意常数。

例2:方程(x1)yxyy0的一个解是 y1x, 试求其通解。 解：容易看出，已知方程有特解

y1x,p(x)x x1根据公式（4）立刻可求得通解

yC1y1C2y11p(x)dxedy 2y1xdx11xyC1xC2x2edx

x1dxxdx1yC1xC2x2edx

x1xln(x1)eedx x2(x1)C1xC2x2exdx

xC1xC2xex1C1xC2xdxC2x2exdx

xxex1C1xC2xdxC2xexd

xxex11C1xC2xdxC2xexexdx

xxxexexxC1xC2xdxC2eC2xdx

xxC1xC2ex;

 通解为

yC1xC2ex

在这里我们不讨论三阶，四阶，n阶变系数线性非齐次微分方程。 根据定理3，我们的关键的要求试求线性非齐次微分方程的一个特解和对应齐次方程的一个基本解组的问题了。

2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论:

定理6:n阶线性非齐次方程（1）的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。求对应齐次方程的通解的方法我们不能加强讨论。我们加强讨论的是它本身的一个特解。求特解的方法有下面的三种： （1）常数变易法； （2）待定系数法； （3）拉普拉斯法;

下面我们介绍一下常数变易法。

2.1常数变易法

设x1(t),x2(t),,xn(t)为方程（2）的基本解组, 则方程（2）的通解为：

y(t)C1x1(t)C2x2(t)Cnxn(t)

现在设一组函数

C1(x),C2(x),,Cn(x)，

使

y(t)C1(t)x1(t)C2(t)x2(t)Cn(t)xn(t)

为（1）的一个特解。式中Ci(t) (i1,2,,n)是待定系数。

Ci(t)(i1,2,,n) 满足以下代数方程组。

C(t)x(t)C(t)x(t)C(t)x(t)0122nn1C(t)x(t)C(t)x(t)C(t)x(t)01122nn n2n2n2C1(t)x1(t)C2(t)x2(t)Cn(t)xn(t)0n1n1n1C1(t)x1(t)C2(t)x2(t)Cn(t)xn(t)f(t)这个方程组的系数行列式是基本解组xi(t)(i1,2,,n)的朗斯基行列式，

1,2,n由,以上方程组唯一确定，通过求积分可得求所以Ci(t)(iCi(t)(i1,2,,n)的表达式，这种求解线性非齐次方程解的方法称为常数变易

法。Ci(x)i(x) , Ci(x)i(x)dx

1的通解。 cosx解：知道对应齐次方程的基本解组

例：求非齐次方程yyy1cosx，y2sinx

 对应齐次方程的通解为

yc1cosxc2sinx

设方程的特解为

yc1(x)cosxc2(x)sinx

(x)满足方程组 由关系式（5）C1(x),C2C(x)cosxC(x)sinx0211 C1(x)sinxC2(x)cosxcosx解上述方程组，得

C1(x)sinx , C2(x)1 cosxa积分

C1(x)lncosx ， C2(x)x

ycosxlncosxxsinx

 通解为

yC1cosxC2sinxcosxlncosxxsinx

常数变易法是求非齐次线性微分方程特解的一般方法。但计算比较麻烦。 例：求方程yyex(x21)的解 。

解：知道对应齐次方程基本解组是y1ex，y2ex 对应齐次方程的通解为

yC1exC2ex

设方程的特解为

yC1(x)exC2(x)ex

由关系式（5）C1(x)，C2(x) 满足方程组

C(x)exC(x)ex021 xxx2C1(x)eC2(x)eex1解上述方程组，得

exexexex2

0exx2xe(x1)e1C1(x)(x21)22

xe0C2(x)exex(x21)12x2e(x1)22求:C1(x),C2(x)比较麻烦。

所以下面我们介绍一下待定系数法。其计算较为简便。但是主要使用于非齐次项的某些情形。

2.2待定系数法:

这里，我们考虑如下几种类型的非齐次项。

f(x)pm(x)exf(x)epm(x)cosxpm(x)sinxx(1)(2)

其中 pm(x),pm(1)(x),pm(2)(x)是多项式，,是常数，首先求对应齐次微分方程的特征根，求特征根的方法我们不能加强讨论。

2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法:

现在，考虑f(x)pm(x)ex时，非齐次方程（1）的特解的求法。

先从最简单的二阶方程

ypyqyex （6）

开始。

因为ex经过求任意阶导数再与常数线性组合后，仍是原类型函数，所以，自然猜想到（6）有形如

yAex （7）

的特解，其中A为待定常数。将（7）代入（6）得到

A2pqexex

则

A1 （8） 2pq这样，当不是特征方程

2pq0 （9）

的根时，则用（8）所确定的A代入（7）便得到（6）的特解。

当是（9）的单根时，即2pq0，这时（8）无法确定A。此时，可设特解为

yAxex （10）

并将它作为形式解代入(6)式，得

A2pqxexA2pexex

因是当特征根，故可解出

A111

2p这时（6）便有形如（10）的特解，其中A由（11）确定。

p 如果是（9）的重根，则，这时（10）的形式已不可用。此时，可

2设特解为

yAx2ex

将它作为形式解，代入6得到

A2pqx2ex2A2pxex2Aexex

由于是二重根，故上式左端前两个括号内的数为零，由此得到

1A

2综上所述，可以得到如下结论：

设p(m)(x)是m次实或复系数的多项式。

f(x)expm(x)exp0xmp1xm1pm1xpm,m1

（1）当不是特征根时，（10有形如。y1(x)Qm(x)ex的特解，其中

Qm(x)q0xmq1xm1qm1xqm

（2）当是k1重特征根时，（1）有形如：y1(x)xkQm(x)ex的特解。 其中Qm(x)也是形如上述的m次多项式。

上面考虑常数变易法不能解决的问题，下面讨论用待定系数法来解决。

例：求方程 yyexx21

解：先求齐次通解，特征方程为 210 特征根为 11,21故齐次方程的通解为yC1exC2ex由于1是特征根。故已知方程有形如

2yexxB0xB1xB2的解。将它代入原方程，得到

yB0exx33B0exx2B1exx22B1exxB2exxB2ex

yB0exx33B0exx23B0exx26B0exxB1exx22B1exx2B1exx2B1exB2xexB2ex所以代入原方程得

111B0,B1,B2

642yC1exC2exex

111yC1exC2exexxx2x

4262.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法：

f(x)exp(x)cosx(x)sinx

时非齐次微分方程（1）的特解的求法。

其中p(x),(x)中有一个是m次多项式。另外一个是次数不超过m次的多项式。

yna1yn1anyexp(x)cosx(x)sinx

e(i)xexcosxisinx,e(i)xexcosxsinxp(x)i(x)(i)xp(x)i(x)(i)xee22Rs(x)e(i)xTs(x)e(i)xf(x)

其中 Rs(x),Ts(x)是m次多项式。

1．i不是特征根，有特解。yexp(x)cosx(x)sinx

2．i是k1重特征根时，有特解。yxkexp(x)cosx(x)sinx 其中 p(x),(x)都均是m次多项式。

例：求方程yy2yexcosx7sinx的通解。 解：先求解对应的齐次方程;yy2y0 我们有 220 得11,22

yC1exC2e2x

因为数 i1i 不是特征根，故原方程具有形如

y1exAcosxBsinx的特解

将上式代入原故方程，由于

y1exAcosxBsinx

y1exABcosxBAsinx

y1ex2Bcosx2Asinx

故代入原方程，可得 A2,B1

yex2cosxsinx

Yex2cosxsinxC1exC2e2x

我们已经介绍了n阶常系数线性方程

yna1yn1an1yanyf(x) （12）

的通解结构和求解方法，但是在世界问题中往往还要求（12）初值条件

yn1(x0)y0n1 （13）y(x0)y0,y(x0)y0

的解。为此，当然可以先求（12）的通解，然后再由初值条件（13）来确定其中的任意常数。

下面我们介绍一下另外一种求解初值问题的方法。几拉普拉斯变换法。因为他无需要先求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，因而在运算上得到很大简化。

2.3拉普拉斯变换法:

求常系数线性非齐次微分方程的特解。求方程（1）满足（2）的特解。 其中ai (i12n)

解法步骤：令y(t)X(s)首先给方程（1）的两端施行拉普拉斯变换，然后利用拉普拉斯变换原函数的微分性质及初始条件，将方程整理为以下形式

Y(s)F(s)B(s)

A(s)其中：

(f(t))F(s),A(s)snansn1an1sanB(s)(s最后对Y(s)特解为

n1a1sn1an1)y0(sn2a1sn3an2)y0y0n1

F(s)B(s)施行拉普拉斯逆变换则得到方程满足给定初始条件的

A(s)F(s)B(s)Y(t)1Y(s)1。 A(s)(0)x0， a2xbsinat，x(0)x0,x例：x解：s2x(s)sx0x0ax(s)x(s)ab 22saabs1 xx02022222sasasa右边的第一个项分解为部分分式 abb1s2a22 2 2222(sa2)22asa(sa)ba1s2a2s1ax(s)xx 020222222222asaa(sa)saasa作逆L变换

x(t)

x0b(sinatatcosat)xcosatsinat。 022aa总结

本论文中利用实际问题研究了常微分方程中的非齐次线形微分方程的解的问题，并且介绍了求解的三种方法：第一种是常数变易法，第二种是待定系数法，第三种是拉普拉斯变换法。以后利用这些方法来解决实际问题时，带来方便。

参考文选

[1] 东北师范大学数学系微分方程教研室编，常微分方程，第一版，高等教育出版社。

[2] 东北师范大学数学系微分方程教研室编，常微分方程，第二版，高等教育出版社。

[3] 窦霁虹 主编 常微分方程考研室教案，第二版，西北工业大学出版社。 [4] 常微分方程，第一版，蔡燧林。浙江大学出版社

[5] 复旦大学数学系 主编，常微分方程，上海科学技术出版。 [6] 金福临，阮炯，黄振勋 主编 应用常微分方程，复旦大学出版社。 [7] 王藜会 主编 高阶常系数线性微分方程的另一解法。哈尔滨师范大学自然科学学报，编辑部邮箱2005年05期。

[8] 王建锋 主编 求高阶常系数非齐次线性微分方程特解的新方法，河海大学理学院，数学的实践与认识，编辑部邮箱2004年0期。

致 谢

在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高。

在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢他的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束。

非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础。

此致

敬礼

布左然汗·肉孜 2008年4月25日