行列式的展开与计算

线性代数讲稿§1.3 行列式的展开与计算 一.基本概念 1.行列式元素a i j的余子式：在n阶行列式中划去第i行和第j列的元素，余下的元素按原相对位置构成的n-1阶行列式．以三阶行列式的元素a 2 3为例，记作M 2 3 ： M23=a11a31a12a32 2.元素a i j的代数余子式：记作Aij=(−1)i+jMij．仍用上例a11 A23=−a31a12a32k 3.行列式的子式：在n阶行列式D中，任取k行（1≤ k ≤ n -1，有Cn种取k法）、k列（亦有Cn种取法），在交点上的k2个元素按原相对位置构成的k阶行列式M，称为D的一个k阶子式． 4.子式的余子式：在D中划去子式M所在的行和列，所余元素按原相对位置构成的n - k阶行列式N，成为M的余子式． 5.子式的代数余子式：若子式M是由的第i1，i2，…，ik 行和第j1，j2，…，jk列的元素构成，则称A=(−1)i1+i2+L+ik+j1+j2+L+jkN为M的代数余子式．k2k 注：n阶行列式的k阶子式有(Cn)个．而对取定的k行（或k列）则有Cn个k阶子式． 二.行列式的展开定理 1.按元素：行列式的任一行（列）中各元素与其代数余子式的乘积之和等于该行列式．即 D=∑aikAikk=1n(i=1,2,L,n) （严格证明，略）．n 若Ajk为第j行元素所对应的代数余子式，且j≠i；可以证明∑aikAjk=0，k=1证明见附一；即行列式的任一行（列）中各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零（可从把另一行完全换成该行来理解）．131线性代数讲稿 2.按子式（拉普拉斯定理）：在n阶行列式D中，任意取定k行（或k列）k（1≤ k ≤ n -1），所构成的Cn个子式为Mi相应的代数余子式为Ai则 D=∑MiAi （严格证明，略）．kCni=1 三.例题31−12 计算四阶行列式 −513−4201−11−53−351−11c5111−2c3−1113−1按第3行展 解： 原式=====c4+c30010 ======−111−1−5−530−5−50r5112+r1按第3列展 ====−620 ======−62−5−50−5−5 = 40 四.特殊类型的行列式 1.爪型行列式a1e2e3Lenb2a20L0Dn=b30a3L0MMMOMbn00Lan 计算（用后面的列，改变第一列）：nbjejcbjae1−cj1−2na∑jj=2ajLenDn=======j=2,3,L,n0a2L0 =(abjejn1−∑)MMO0j=2aj∏aii=200Lan（可作为公式）．具体特例：132 ；线性代数讲稿011L1111 ①.（P.20例2） 103L0 =−(++L+)⋅n!23nMMMOM100Ln120L0 ②. P.21倒3行的行列式 [课后看：如何变成爪型的！] 2.范得蒙得（Vander monde）行列式[P.24例6]1111LLLOa1a22a2Mn−1a2a32a3Man2=∏(ai−aj)ann≥i>j≥1M Dn=a12Ma1n−1(n≥2)n−1n−1Lana3[要求①.看懂；②.知道可用数学归纳法证明；③.会用；④.证明见附二．]（可作为公式）．具体特例： ①. 1a11a2=a2−a1111 ②. 123=1⋅2⋅1=2 （P.31）14911 ③. 1M1x1x2x3Mxna11a21Man12x12x22x3M2xnLLLOLn−1x1n−1x2n−1=∏(xi−xj)x3n≥i>j≥1Mn−1xn(n≥2) （P.32） 五.n阶行列式乘以n阶行列式 [P.25例7]a12a22Man2La1nb11b12b22Lb1nLb2n=c11c21Mcn1c12c22Mcn2Lc1nLc2nOMLcnnLa2nb21⋅OMMLannbn1nMOMbn2Lbnn其中 cij=∑aikbkj ．k=1 记忆说明：“行乘列之和作元素”结果仍是n阶行列式．[ 后面P.43(13)式的证明用此式．]133线性代数讲稿作业(P.27)： 1.(1)； 2.(5) （提示：可按子式展开；也可按爪型行列式公式计算）； 5.(1)（要求：叙述变成标准范得蒙得行列式的操作的过程）；本节小结 一.基本概念：元素的余子式；元素的代数余子式；子式；子式的余子式；子式的代数余子式． 二.重要定理及公式（及其证明）：2个展开；2种行列式；1个相乘． 三.应用：附一：j≠i，证明∑aikAjk=0k=1na11Mai1a12Mai2La1nOMLaina11Mai1a12Mai2MLOLOa1nMainM∵ Maj1Man1MMOM=aj2Lajnaj1+ai1MMOMan2Lannn ；aj2+ai2Lajn+ainMOMan2Lannan1n 两边都按第j行展开,∑ak=1jkAjk=∑(ajk+aik)Ajk ．k=1∴ ∑aikAjk=0 ．k=1n附二：范得蒙得行列式计算公式的推导(n≥2)134线性代数讲稿111LLLO11a1a22a2Mn−1a2a32a3Man2anM Dn=a12Ma1n−1101========i=n,(n−1),L,2ri−a1ri−1n−1n−1a3LanLLLO1a2−a1a2(a2−a1)Ma2−a1a3−a1a3(a3−a1)Ma3−a1a3(a3−a1)an−a1 0Man(an−a1)========M(an−a1)按第一列展开n−2n−2n−20a2(a2−a1)a3(a3−a1)Lan(an−a1)LL a2(a2−a1)an(an−a1)MMOMn−2n−2n−2a2(a2−a1)a3(a3−a1)La3(a3−a1)11a3========每列都提公因子LL1an (a2−a1)(a3−a1)L(an−a1)a2========i=(n−1),L,2ri−a2ri−1Mn−2a2Mn−2a3OMn−2Lan111a3−a2LL n≥i>1∏(ai−a1)⋅i0an−a2MMOMn−3n−30a3(a3−a2)Lan(an−a2)==n≥i>1∏(a−a1)⋅in≥i>2∏(ai−a2)⋅L⋅(an−an−1)n≥i>j≥1∏(a−aj)135