一类高阶常微分方程的特解公式

张守贵

【摘 要】对高阶方程，利用待定系数法和复数法得到了当不是特征根时特解的一般公式，并给出了详细推导过程和若干具体算例。%Based on the undetermined coefficient a nd complex number methods,this paper obtains the general formula of the special solution for the higher order ordinary differential equation when isn’t the eigenvalue. The proofs and practical examples are also given in detail. 【期刊名称】《乐山师范学院学报》 【年(卷),期】2016(031)008 【总页数】5页(P8-12)

【关键词】高阶常微分方程;特解公式;待定系数法;复数法;一般公式 【作 者】张守贵

【作者单位】重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331 【正文语种】中 文 【中图分类】O175.1

众所周知，高阶线性常微分方程是常微分方程和高等数学课程中的一个重要问题。可用它的一个特解与对应齐次方程的通解之和表示原方程的通解。对于齐次方程的通解可用特征根法求解。教材中主要介绍了比较系数法、复数法、拉普拉斯变换法与常数变易法求特解，但是这些方法的运算通常比较繁琐［1-5］。文献［6-11］

给出了一些有关求解微分方程的学习技巧和有效方法。本文利用待定系数法，对文献［8-10］的系列结果进一步推广，得到一类高阶常微分方程特解的一般公式，使得求这一类方程的特解变得更简单，也更有利于学生理解和掌握。 阶非齐次线性常微分方程的一般形式为

这里的连续函数。为了得到新的结果，先给出两个有关阶线性常微分方程的简单结论。

引理1.1［1-5］ 如果方程

有复值解，那么这个解的实部）和虚部）分别是方程 和 的解。

引理1.2［1-5］ 如果）和）分别是方程 和

的解，则）是方程 的解。

现在考虑一类形如

的阶常系数线性微分方程的特解。由于方程（1）属于线性常微分方程的一种特殊情形，因此它同样具有引理1和引理2的性质。 方程（1）所对应齐次方程 的特征方程为

如果记，则当不是方程的特征根时，方程（1）的特解可由以下方法得到。 定理2.1 如果不是特征方程（2）的根，则方程（1）有特解 证明 为了求方程（1）的一个特解，先用复数法和待定系数法求方程 的特解。由于不是特征方程（2）的根，则令其特解为 将（4）代入方程（3）得

由于，从而有，代入（4）得方程（3）的一个特解为 由欧拉公式和引理1.1知则它的实部 就是方程 的特解。

类似可得，就是方程

的特解。再由引理1.2可知方程（1）有特解 当ω＝0时，由定理2.1可得到如下推论。

推论2.1 如果λ不是特征方程（2）的根，则方程（1）有特解 例1 求方程的特解。

解 因为λ＝-1不是特征方程的根，因此由推论2.1可以直接得到方程的特解 例2 求方程的特解。

解 因为λ=1不是特征方程的根，由推论2.1可以直接得到方程的特解 例3 求方程的特解。

解 因为λ=2i不是特征方程的根，因此由定理2.1可以直接得到方程的特解 例4 求方程的特解。

解 因为λ=2i不是特征方程的根，因此由定理2.1可以直接得到方程的特解 利用待定系数法和复数法，推导出求解一类阶常系数非齐次线性微分方程特解的一般公式，并用理论和实例证明了该算法的正确性，该算法直接用公式求解，显然比其他方法更简单。

【相关文献】

［1］王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2013. ［2］张祥.常微分方程［M］.北京：科学出版社，2015. ［3］袁荣.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［4］同济大学数学系.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2014. ［5］刘浩荣，郭景德.高等数学［M］.上海：同济大学出版社，2015.

［6］艾正海.启发式教学和历史发展法在微分方程解教学中的运用［J］.乐山师范学院学报，2015，30（8）：97-99.

［7］沈彻明.求非齐次高阶常系数线性常微分方程的特解的一般公式［J］.数学的实践与认识，2000，30（4）：482-484.

［8］池春姬.方程特解的一般公式［J］.长春理工大学学报，2007，2（2）：135-36，179 ［9］张守贵.一类二阶常系数微分方程特解的教学探讨［J］.重庆工商大学学报，2012，29（12）：11-14.

［10］刘颖，方有康.有限递推法与待定系数法的计算复杂性比较——用于求或）的特解时［J］.数学的实践与认识，2014，44（17）：316-321.

［11］杨继明，苏亚丽，李周红.常系数线非齐次性微分方程的特解公式［J］.数学的实践与认识，2011，41（7）：244-246.

［12］刘正荣，杨启贵，刘深泉，等.数学分析［M］.北京：科学出版社，2012.