第2章 随机变量及其函数的概率分布

§2.1 随机变量与分布函数

§2.2 离散型随机变量及其概率分布

三、 计算下列各题

1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X表示取出5个球的最大号码，试求X的分布列。

解 X的可能取值为5，6，7，8，9，10 且P(Xk) 所以X的分布列为

X P 5 6 7 8 9 10 Ck41C510, k5,6,7,8,9,10

115555 2841825225236312. 一批元件的正品率为，次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第

44X次首次测到正品，试求X的分布列。

1解 X的取值为1，2，3，… 且 P(Xk)4k133, k1,2,3,. 44k 此即为X的分布列。

3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令X为取出的球的号码，试求X的分布列及分布函数。 解 X的分布列为

X P 1 2 3 111 2630, x11, 1x26 由分布函数的计算公式得X的分布函数为 F(x)

2, 2x331, x34. 设随机变量X的分布律为P(Xk)k k1,2,3,4,5。 1515 求 (1) P(X), (2) P(1x3), (3) P(X3).

2215121 解 (1) P(X)P(X1)P(X2),

2215155(2) P(1x3)P(X1)P(X2)P(X3)

1232,1515155453(3) P(X3)P(X4)P(X5) .15155

k5. （1）设随机变量X的分布律为P(Xk)a k1,2,; 0为常数，试

k!确定a。（2）设随机变量Y只取正整数值N，且P(YN)与N2成反比，求Y的分布律。

解 （1）因为

P(Xk)1,及k1k1kk!e1, 0，所以a1. e1（2）令P(YN)ak6类似上题可得 。 N1,2,; kN22所以Y的分布律为 P(YN)6,2N2N1,2,

6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X的概率分布

解 X=0, 1, 2, 3, Ai=“汽车在第i个路口遇到红灯.”，i=1，2，3. P(X0)P(A1)=

111, P(X1)=P（A1A2）2 242P(X2)P（A1A2A3）1111P(X3)，=P（AAA） 123238238X P 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/8

为所求概率分布

7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数X的概率分布律.

解 设 Ai\"第i次出现6点\", P(Ai)11, i1,2,,361111所以 X的概率分布为 P(Xk)P(A1A2Ak1Ak)(1)k1, k1,2,3636四、证明题

设F1(x)和F2(x)都是分布函数，又a0, b0, 是两个常数，且ab1，试证明：

1

F(x)aF1(x)bF2(x)也是分布函数.

（（0F1x)1, 0aF1x)a 解（）因为1 0aF（（; 1x)bF2x)ab1（0bF（0F2x)1,2x)b（（aF1x1)aF1x2) (2) x1x2, 有（（bF2x1)bF2x2) F(x1)aF（（（（1x1)bF2x1)aF2x2)bF1x2)F(x2),所以F(x)是不减函数. （3） limF(x)limaF（（（（1x)bF2x)alimF1x)blimF2x)ab1xxxx limF(x)limaF（（（（1x)bF2x)alimF1x)blimF2x)a0b00xxxx

(4)F(x0)aF1(x0)bF2(x0)aF1(x)bF2(x)F(x)由于F(x)满足分布函数的四个性质，所以F(x)是分布函数.

§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数

三、计算下列各题

x, 0x11. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)2x, 1x2；求X的分布函数。

0, 其它解 F(x)x0, x02x, 0x12f(x)dx ， F(x) 22xx1, 1x221, x21(1x)ex, x02. 设随机变量X的分布函数为F(x)；求(1) P(X1); (2) X0, x0的密度函数。

解 (1) P(X1)F()F(1)1(12e1)2e1; xex, x 0 (2) f(x)F(x)

 00, x4x3, 0x13. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)；

0, 其它

2

（1）求常数a，使P(Xa)P(Xa)； （2）求常数b，使P(Xb)0.05。 解 （1）因为 P(Xa)P(Xa)，所以1P(Xa)P(Xa),故

P(Xa)4x3dxa40a11,所以a4。 22（2）因为 P(Xb)0.05,1P(Xb)0.05,P(Xb)b4 所以b419,20

19,即b40.950.9872 204. 在半径为R，球心为O的球内任取一点P，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。

解 当0xR时，设OPx，则点P落到以O为球心，x为半径的球面上时，它到O点的距离均为x，因此

P(Xx)VOPVOR4333xxx所以，X的分布函数为F(x), 0xR 3，

43RRR31, xR0, x03x2, 0xR X的密度函数为 f(x)F(x)R30, x0,xR5. 设随机变量X的分布函数为F(x)ABarctanx,–∞1AAB0F()022解 （ 1） ,

1F()1AB1B211111 (2) P(1x1)F(1)F(1)(arctan1)(arctan(1)),222

1 (3) f(x)F(x),x2(1x) 0x12x，6. 设随机变量X的概率密度为f（x）, 以Y表示对X进行三次独立观0, 其它察中{X≤

1}出现的次数,求概率P(Y=2). 211 111解 p = P (X≤)=2f（x）dx22xdx, 由已知 Y~B(3, )

 042492123所以 P（Y2） C（）34464 3

7. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从N(50,100)；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从N(60,16)，问

（1）要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？ （2）要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？ 解 （1）因为 P(X170)(70507060)0.9772,P(X270)()0.9938. 104所以走第二条。 （2）类似的走第一条。

§2.4 随机变量函数的分布

三、计算下列各题

1. 设随机变量X的分布律如下，求YX21的分布律。

X Pi -2 1 5 -1 1 6 0 1 5 1 1 15 2 11 30解

Y Pi 1 1 5 2 7 30 5 17 302. 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求(1) YeX; (2) Z2lnX的密度函数。 解 X的密度函数为 f(x)1, 0x1

0, x0,x1lnxX（1）

设Ye，则有 FY(x)P(Yx)P(ex)P(Xlnx)XfX(t)dt。

所以 fY(x)1fX(lnx)，因此当x1及xe时，由fX(x)0知fY(x)0； x11, 1xe当0xe时，由fX(x)1知fY(x)，所以所求密度函数为fY(x)x

x0, x1,xex12e, x0（2）类似的可得：fZ(x)2

0, x0 4

3. 设X~N(0,1)，求(1) YeX; (2) W|X|的密度函数。

12x22解 （1）X的密度函数为 fX(x)e (x)， YeX的分布函数为

lnyFY(y)P(Yy)P(eXy)P(Xlny) FY(y)0 , y 0

fX(t)dt, y0

1(Iny)1e2., y0X 所以 Ye的密度函数为 fY(y)2 y0, y0（2） W|X|的分布函数为 FW(y)P(Wy)P(|X|y) P(yXy)21ye2yt22dte02yt22dt y0

FW(y)0 , y 0

2y2e2, y0 所以 W|X|的密度函数为 fW(y)

0, y02x, 0x4. 设随机变量X的概率密度为f(x)2；求YsinX的概率密度。

0, 其它解 当0y1时，FY(y)P(Yy)P(sinxy)

P(0Xarcsiny)P(arcsinyX)

arcsiny02x2dx2arcsiny2xdx2arcsiny2,

2, 0  y12 所以 fY(y)1y

  0,y10, y5. 若球的直径D的测量值在[a,b]上均匀分布，求球的体积V的概率密度。

5

1, adb1解 fD(d)ba , VD3,60, 其它16vFD36v, FV(v)P(D3v)PD3611232a3b336v6v3ba9v, 6v6所以 fV(v)fD30, 其它a26. 将长度为2a的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的

2概率。

解 长为2a的直线分成 X, 2aX 两部分,X 在[0,2a]上均匀分布1, 0x2a fX(x)2a , 面积 YX(2aX)0, 其它 a2a222P(0Y)P0X(2aX)P\"0Xaa\"  \"aaX2a\"22222a121a2aa2 2a22四、证明题

1. 设X是取正值的随机变量，若lnX~N(,2),试证X 的密度函数为 112exp(lnx),x022 p(x)x2, 这 称为对数正态分. 布0, x 0证 YlnX~N(,2),XeY,xey,x0,所以X的密度为 1112exp(lnx),x0x),x0fY(ln2 p(x) x22x0, x  0 00, x2x2. 设随机变量X服从参数为0.5的指数分布, 证明Y1e在区间(0,1)服从均匀分

布。

2e2x， x 0x）证 X服从参数为0.5的指数分布,则概率密度为 f（ X0, x  0 Y1e2x, y2e2x0, 函数y单调可导,其反函数为 xln （1y）f（由公式 f（Yy）X

121, 0y111|ln（1y））|(ln（1y）

220, 其它6

所以 Y1e2x在区间(0,1)服从均匀分布。

7