二次函数专题测试题及详细答案(超经典)

复习二次函数

一、选择题：

1. 抛物线y(x2)23的对称轴是（ ）

C. 直线x2

2. 二次函数yax2bxc的图象如右图，则点A. 直线x3

B. 直线x3

D. 直线x2

y cM(b,)在（ ）

aA. 第一象限 C. 第三象限

B. 第二象限 D. 第四象限

O x 3. 已知二次函数yax2bxc，且a0，abc0，则一定有（ ） A. b24ac0

B. b24ac0

C. b24ac0

D. b24ac≤0

4. 把抛物线yx2bxc向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式

是yx23x5，则有（ ） A. b3，c7 C. b3，c3

B. b9，c15 D. b9，c21

5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数yax2(ac)xc与一次函数

yaxc的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） y y y y O x O B x O C x O D x

A

6. 抛物线yx22x3的对称轴是直线（ ） A. x2

B. x2

C. x1

D. x1整理为word格式

7. 二次函数y(x1)22的最小值是（ ） A. 2

B. 2

C. 1

y D. 1

8. 二次函数yax2bxc的图象如图所示，若

M4a2bcNabc，P4ab，则（ ） A. M0，N0，P0 B. M0，N0，P0 C. M0，N0，P0 D. M0，N0，P0 二、填空题：

9. 将二次函数

yx22x3配方成

-1 O 1 2 x y(xh)2k的形式，则

y=______________________.

10. 已知抛物线yax2bxc与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2bxc0的根

的情况是______________________.

11. 已知抛物线yax2xc与x轴交点的横坐标为1，则ac=_________. 12. 请你写出函数y(x1)2与yx21具有的一个共同性质：_______________. 13. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次

函数的解析式：_____________________. 14. 如图，抛物线的对称轴是x1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(3,0)，则A点

y 1 A O 1 16题图 B x 的坐标是________________.三、解答题：

1. 已知函数yx2bx1的图象经过点（3，2）.

（1）求这个函数的解析式； （2）当x0时，求使y≥2的x的取值范围.

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2、如右图，抛物线yx25xn经过点A(1,0)，与y轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.

2

y O A -1 B 1 x 3．如图，抛物线y1=﹣x+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题： （1）抛物线y2的顶点坐标 ； （2）阴影部分的面积S= ；

（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．

4．（1999•烟台）如图，已知抛物线y=ax+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．

2

5．如图，抛物线y=x+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．

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2

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．

6．如图，抛物线y=a（x+1）的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．

2

7．如图，抛物线y=x﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形

2

状．

8、 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过

程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销

售时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

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参考答案 一、选择题：

题号 答案 二、填空题： 1. y(x1)2

21 D 2 D 3 A 4 A 5 D 6 D 7 D 8 B 9 D 2. 有两个不相等的实数根 3. 1

4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值） 5. y128181818xx3或yx2x3或yx2x1或yx2x1 5555777726. yx2x1等（只须a0，c0） 7. (23,0)

8. x3，1x5，1，4 三、解答题：

1. 解：（1）∵函数yxbx1的图象经过点（3，2），∴93b12. 解得b2. ∴函数解析式为yx2x1.

（2）当x3时，y2. 根据图象知当x≥3时，y≥2.

∴当x0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.

2. 解：（1）由题意得15n0. ∴n4. ∴抛物线的解析式为yx5x4.

（2）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为(0,4). ∴OA=1，OB=4.

222 在Rt△OAB中，ABOA2OB217，且点P在y轴正半轴上.

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①当PB=PA时，PB17. ∴OPPBOB174. 此时点P的坐标为(0,174).

②当PA=AB时，OP=OB=4 此时点P的坐标为（0，4）.

23. 解：（1）设s与t的函数关系式为satbtc，

1a,abc1.5,abc1.5,21 由题意得4a2bc2,或4a2bc2, 解得b2, ∴st22t.

225a5bc2.5；c0.c0.（2）把s=30代入s121t2t，得30t22t. 解得t110，t26（舍去） 22 答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元. （3）把t7代入，得s 把t8代入，得s1722710.5. 21822816. 2 1610.55.5. 答：第8个月获利润5.5万元.

4. 解：（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为yax2 因为点A(9. 10555918. ,0)或B(,0)在抛物线上，所以0a·()2，得a22210125 因此所求函数解析式为y182955x（≤x≤）.

2212510991895（2）因为点D、E的纵坐标为，所以，得x2.

2020125104 所以点D的坐标为( 所以DE59592,). 2,)，点E的坐标为(4204205552(2)2. 4425211000.012752385（米）. 2 因此卢浦大桥拱内实际桥长为

5. 解：（1）∵AB=3，x1x2，∴x2x13. 由根与系数的关系有x1x21.

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∴x11，x22. ∴OA=1，OB=2，x1·x2m2. aOCOC1. OAOB∵tanBACtanABC1，∴∴OC=2. ∴m2,a1.

∴此二次函数的解析式为yxx2.

（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6.

解法一：过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA. ∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC= S△PAC=6. 由（1）有OA=1，OC=2. ∴

2 y N 11AM2CN16. ∴AM=6，CN=12. 22P ∴M（5，0），N（0，10）.

A ∴直线MN的解析式为y2x10.

O C B M x 由y2x10,2yxx2, 得x13x24,（舍去） y4；y1812∴在 第一象限，抛物线上存在点P(3,4)，使S△PAC=6. 解法二：设AP与y轴交于点D(0,m)（m>0） ∴直线AP的解析式为ymxm.

yx2x2, ymxm.∴x(m1)xm20.

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∴xAxPm1，∴xPm2. 又S△PAC= S△ADC+ S△PDC=∴

111CD·AOCD·xP=CD(AOxP). 2221(m2)(1m2)6，m25m60 2∴m6（舍去）或m1.

∴在 第一象限，抛物线上存在点P(3,4)，使S△PAC=6.

提高题

1. 解：（1）∵抛物线yxbxc与x轴只有一个交点，

∴方程xbxc0有两个相等的实数根，即b4c0. ① 又点A的坐标为（2，0），∴42bc0. ② 由①②得b4，a4.

（2）由（1）得抛物线的解析式为yx4x4. 当x0时，y4. ∴点B的坐标为（0，4）. 在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得AB2222OA2OB225.

∴△OAB的周长为1425625.

x2772. 解：（1）S10(x)(43)xx26x7.

1010104(1)762616. 当x3时，S最大4(1)2(1) ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.

（2）用于投资的资金是16313万元.

经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A、B、E各一股，投入资金为52613（万

元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；

另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8

（万元）>1.6（万元）.

3. 解：（1）设抛物线的解析式为yax，桥拱最高点到水面CD的距离为h米，则D(5,h)，

2整理为word格式

B(10,h3).

125ah,a, ∴ 解得25

100ah3.h1.12 ∴抛物线的解析式为yx.

25 （2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x千米/时， 当4x401280时，x60.

∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时. 4. 解：（1）未出租的设备为

（2）y(40 ∴yx270套，所有未出租设备的支出为(2x540)元. 10x2701)x(2x540)x265x540. 101012x65x540.（说明：此处不要写出x的取值范围） 10（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为

350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.

因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；

如果考虑市场占有率，应选择出租37套.

121x65x540(x325)211102.5. 1010 ∴当x325时，y有最大值11102.5. 但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，

（4）y而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.

16．如图，抛物线y1=﹣x+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题： （1）抛物线y2的顶点坐标 （1，2） ； （2）阴影部分的面积S= 2 ；

（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．

2

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考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 直接应用二次函数的知识解决问题． 解答： 解：（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2分）

（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2；（6分）

（3）由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称． 所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3的解析式为：

2

y=a（x+1）﹣2．由对称性得a=1，

2

所以y3=（x+1）﹣2．（10分）

2

20．（1999•烟台）如图，已知抛物线y=ax+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式． 分析： 根据抛物线的解析式，易求得C点的坐标，即可得到OC的长；可分别在Rt△OBC和

Rt△OAC中，通过解直角三角形求出OB、OA的长，即可得到A、B的坐标，进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式． 解答： 解：由题意得C（0，）

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在Rt△COB中， ∵∠CBO=60°， ∴OB=OC•cot60°=1 ∴B点的坐标是（1，0）；（1分） 在Rt△COA中，∵∠CAO=45°， ∴OA=OC=

∴A点坐标（，0） 由抛物线过A、B两点， 得

解得

2

∴抛物线解析式为y=x﹣（）x+（4分） 设直线BC的解析式为y=mx+n， 得n=，m=﹣

∴直线BC解析式为y=﹣x+．（6分）

2

23．如图，抛物线y=x+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题；动点型． 分析： （1）先根据直线y=x﹣3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待

定系数的值．

（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标，由于△APC和△ACD同底，因此面积比等于高的比，即P点纵坐标的绝对值：D点纵坐标的绝对值=5：4．据此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标． 解答： 解：（1）直线y=x﹣3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，﹣3）．

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则

，

解得，

2

∴此抛物线的解析式y=x﹣2x﹣3．

（2）抛物线的顶点D（1，﹣4），与x轴的另一个交点C（﹣1，0）． 设P（a，a﹣2a﹣3），则（×4×|a﹣2a﹣3|）：（×4×4）=5：4． 化简得|a﹣2a﹣3|=5．

2

当a﹣2a﹣3=5，得a=4或a=﹣2． ∴P（4，5）或P（﹣2，5），

当a﹣2a﹣3＜0时，即a﹣2a+2=0，此方程无解．

综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（﹣2，5）．

27．如图，抛物线y=a（x+1）的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．

2

2

2

22

2

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题． 分析： （1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA=OB确定出B坐标，将B坐标代入解

析式求出a的值，即可确定出解析式；

（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积=梯形OBCD面积﹣三角形ACD面积﹣三角形AOB面积，求出即可． 解答： 解：（1）由投影仪得：A（﹣1，0），B（0，﹣1），

将x=0，y=﹣1代入抛物线解析式得：a=﹣1，

则抛物线解析式为y=﹣（x+1）=﹣x﹣2x﹣1；

22

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（2）过C作CD⊥x轴，

将C（﹣3，b）代入抛物线解析式得：b=﹣4，即C（﹣3，﹣4）， 则S△ABC=S梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△AOB=×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1=3．

点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

28．如图，抛物线y=x﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状．

2

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线

l的解析式中求出点A的坐标，再将点A的坐标代入抛物线的解析式y=x﹣2x+c中，运

用待定系数法即可求出c的值；

（2）先由抛物线的解析式得到点B的坐标，再求出AB、AD、BD三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD是直角三角形．

2

解答：解 ：（1）∵y=x﹣2x+c，

2

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∴顶点A的横坐标为x=﹣=1，

又∵顶点A在直线y=x﹣5上， ∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4， ∴点A的坐标为（1，﹣4）．

将A（1，﹣4）代入y=x﹣2x+c，

2

得﹣4=1﹣2×1+c，解得c=﹣3． 故抛物线顶点A的坐标为（1，﹣4），c的值为﹣3；

（2）△ABD是直角三角形．理由如下： ∵抛物线y=x﹣2x﹣3与y轴交于点B， ∴B（0，﹣3）． 当y=0时，x﹣2x﹣3=0， 解得x1=﹣1，x2=3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）．

∵BD=OB+OD=18，AB=（4﹣3）+1=2，AD=（3﹣1）+4=20，

222

∴BD+AB=AD，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

2

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22

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