典型例题探究(古典概型)

【例1】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件的总数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件? 分析：理解并运用各定义. 解：（1）这个试验的基本事件空间Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；

（2）基本事件的总数是8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.

【例2】甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布），求： （1）平局的概率； （2）甲赢的概率； （3）乙赢的概率.

分析：研究此试验是否为古典概型，如果是，基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m各为多少.

解：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法.

一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏（试验）是古典概型.它的基本事件总数为9.

平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况.

设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C. 由图3－2－1容易得到：

乙布剪锤规律发现

在一次试验中，所有可能发生的每一个基本结果，都称为一个基本事件.所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.

解决此类题目只要理清思路，按一定的顺序逐个写出产生的各种结果即可.当然要注意不重不漏问题.

利用图示法可以简捷明了地求出基本事件数以及事件A包含的基本事件数，它在概率问题中是一种常的方法.

2－1 O图3－剪布锤（1）平局含3个基本事件（图中的△）； （2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙）； （3）乙赢含3个基本事件（图中的※）. 由古典概率的计算公式，可得 P（A）P（B）P（C）甲31； 9331； 9331. 93【例3】甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.

（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?

（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.

分析：（1）准确求出基本事件总数n和事件A包含的基本事件个数m. （2）可采用列表的方法求m、n. 解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.

其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十要做某一件事，如果需要分位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率“步”进行，则需用乘法计算个

数（或种数）. 61为. 366（2）两个玩具同时掷的结果可能出现的情况如下表.

甲 1 2 3 2 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 8 2 4 5 6 7 8 9 3 数字和 5 6 7 8 9 10 4 6 7 8 9 10 11 5 7 8 9 10 11 12 6 4 5 6 乙 其中共有36种不同情况，但数字之和却只有2，3，4，5，6，7，8，列表法也是求基本事件总9，10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现2的只有一种情况，数、事件A包含的基本事件数的

常用方法. 1而出现12的也只有一种情况，它们的概率均为，因为只有甲、乙均为

361或均为6时才有此结果.

出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为

5.请同学们思考，出现概率最大的数字和是36多少?

【例4】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”呢?

分析：对于较简单的事件可列举出事件总数n，从而也可找出事件A包含的基本事件个数.

解：（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果求基本事件总数时也常用列组成的基本事件空间为 举法.

Ω={（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，要注意“有放回抽取”和“无其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次放回抽取”在求基本事件总数时

取出的产品.Ω由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则

A={（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}. 事件A由4个基本事件组成.因而

的区别.

42. 63（2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间 Ω={（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，

由9个基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件，则

B={（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}. 事件B由4个基本事件组成，因而

P（A）P（B）=

4. 9