高一数学 2023年5月
■查 霖
有大量的随 在日常工作和现实生活中,
机事件的概率并不一定要通过大量的试验来得到,只要掌握了一些基本情况,就可以知道它们相应的概率,这就是最常见的古典概型。古典概型中主要有几种经典的实例:骰子(硬币)问题、摸球问题、抽数问题、格子问题等。下面就此举例分析,供大家学习与参考。
一、骰子(或硬币)问题
抛掷骰子问题和抛掷硬币问题一样,是古典概型中一种重要的模型。它的实质就是抛掷骰子(或硬币)那么对应的基本事n次,
nn(),件总数为6或2根据相应事件所对应的
连续任意取出2个球,且每次取出的球不再放回,求第2次取出的球是白球的概率。
思路导引:本题的基本事件总数是从7
7×6种取法。第2次取出的球是白球的可能结果是:若第一次取的是白球,那么第2次是从3个白球中再取出一球,若第一次取的是黑球,那么第2次是从4个白球中再取出一球。
由题意可得,所求概率
4×33×44
+=。7×67×67
“)第2次取出的球是白球”P(=
个球中有次序地取出2个球的不同取法,即
基本事件的个数,结合古典概型的计算公式求得对应的概率。
例1 将一颗质地均匀的骰子(一种六,,,,,,个面分别标有123456的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为
。
思路导引:根据抛掷骰子的总数确定古典概型中的基本事件总数,再结合抛掷2次出现向上的点数之和为4的事件的个数,进而利用古典概型的概率公式求解。
基本事件的总数为6×6=
解法反思:本题实质上也是抽签问题,按
上述规则抽签,每人抽中白球的机会相等,且与抽签次序无关。在涉及与抽签及其相关事件时,都可以采用摸球问题的数学模型所对应的古典概型问题来分析与处理。
三、抽数问题
抽数问题可以根据条件加以分析,也可以结合排列与组合加以综合分析。解答这类问题,关键是确定所有的数的总个数,以及所满足条件的数的个数。如果利用排列与组合分析时,一定要注意两者分析时的一致性。抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是( )
54
A. B.
99
,,…,例3随机 从129这9个数字中,
(,),(,),(,,共3种情况,所以所求132231)311
概率P==。答案为。
361212
,点数之和为4的可能结果为36
解法反思:抛掷骰子或抛掷硬币问题,关
键是确定相关事件的个数。容易出错的地方,,是计算遗漏,如本题中的(和(是两13)31)种不同的结果,不能认为是一种结果。
二、摸球问题
摸球问题等同于抽签问题,关键是确定每次所摸的符合题目要求的球的可能结果。要注意所摸球的先后顺序和球的颜色与题目条件之间的关系,否则容易出错。
例2从中 袋中有4个白球,3个黑球,
1110
C. D.2121
个数中有次序地取出3个数的不同取法,即。分析3个数基本事件总数是9×8×7=504的和为偶数的不同情况,确定所包含的基本事件个数,从而得到所求概率。
。这3个数的和为偶数7=504
基本事件的总数是9×8×
思路导引:本题基本事件的总数是从9
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经典题突破方法 高一数学 2023年5月
;种)奇偶奇,共有5×4×4=5×4=80((;;种)奇奇偶,共有5×4×4=8种)偶800((。偶偶,共有4种)×3×2=24
所以所求概率P=11
。应选C。21
80+80+80+24
=
504
的可能结果有四种情况:偶奇奇,共有4×
第一个盒子一样,所以事件B包含的基本事182,件个数是6所以P(×3=18B)==。
273与3个不同的盒子之间的关系,计算出基本事件的总数,再根据题设条件,正确分析并列举出所求事件的个数,最后结合古典概型的概率公式求得结果。
编者的话:在解答古典概型问题时,有时会直接涉及骰子(硬币)问题、摸球问题、抽数问题、格子问题等,有时会涉及与之相关的问题,解题的关键是合理构建对应的古典概率模型,借助古典概型的概率公式来分析与处理,从而实现问题的解决。
解法反思:本题通过分析3个不同的球
解法反思:本题实质上就是数的一种排
列问题,抽出来的2个数所组成的两位数有次序关系,通过计算基本事件的总数以及所求事件的个数,从而得到所求的概率。
四、格子问题
格子问题也是一种常见的古典概型问题。解答这类问题,关键是确定对应的格子与相应的元素之间的填充关系,有时可以结合树状图、列举法加以分析与处理。,盒子内(每盒球数可以不限)计算:
()无空盒的概率。1
()恰有一个空盒的概率。2
例4 把3个不同的球投入3个不同的
。的概率是(θ>90° )
,向量a=(与向量b=(的夹角m,n)-11)
5711A. B. C. D.121232连掷两次骰子分别得到点数m,则1.n,
个不同的球投入3个不同的盒子内的不同放法,题设条件是每盒的球数可以不限,即最多可以投入3个,最少可以投入0个,然后按要求计算出所求事件的个数,从而得到所求概率。
不同的球投入3个不同的盒子
基本事件的总数是把3个
思路导引:本题的基本事件总数是把3
,,(,,…,(,,的所有基本事件为(11)12)66),所以m>n,可知符合要求的事件为n<0·(,共36个。因为(m,n)-11)=-m+
提示:连掷两次骰子得到的点数(m,n)
(,),(,,(,,(,,(,,(,,2131)32)41)42)43)(,),…,(,),(,),…,(,),共1515461655个。155故所求概率P==。应选A。
3612
,,,,,,已知集合A={2.234567}B=
内的不同放法,第一个球的放法有3种可能,第二个球的放法也有3种可能,第三个球的。3×3=27
放法还是有3种可能,则基本事件总数是3×
,设事件A=“无空盒”事件B=“恰有一
{,,,},在集合A∪B中任取一个元素,2369则它是集合A∩B中的元素的概率。为( )
2332A. B. C. D.3575,个空盒”3个不同的球分别记为a,b,c。
bac,bca,cab,cba,共有6种情况,所以62
P(A)==。
279
(第一个盒子是空盒的可能结果为2)
()事件A包含的可能结果为a1bc,acb,
},即这个试验的样本空间Ω中有7个元素。9
,,},由A∩B={可知这个试验包含3个236样本点。由古典概型的概率公式得所求概率为
3。应选C。7,,,,,,提示:依题意得A∪B={234567
(((,(((,(((, )a)bc) )b)ac) )c)ab)(((,(((,(((,共 )bc)a) )ac)b) )ab)c)有6种情况,其他两个盒子是空盒的情况与
作者单位:江苏省高邮市临泽中学
(责任编辑 郭正华)
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