线性代数期末试题及参考答案

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)

1． A是n阶方阵，R，则有AA。 （ ）

111AB0(AB)BA。 （ ）2． A，B是同阶方阵，且，则

3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。 ( ) 4．若A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。 ( )

1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。 （ ）5．n维向量组

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

001100100100010000020012100 (B)010 (C) 001(D) 001 （A）2．设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A）12,23,31 （B）1,2,31 （C）1,2,2132 （D）2,3,223

12(A2E)（ ） AA5E03．设A为n阶方阵，且。则

11(AE)(AE)33 (A) AE (B) EA (C) (D)

4．设A为mn矩阵，则有（ ）。

（A）若mn，则Axb有无穷多解；

（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；

（C）若A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解； （D）若A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。

5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ）

（A）A与B相似 （B）AB，但|A-B|=0

大学生校园网 www.vvschool.cn 努力打造的学生最实用的网络平台！ （C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

012n10 。

1．nA13A*A2．A为3阶矩阵，且满足3,则=______， 。

1021112423421570是线性 （填相关或3．向量组，，，

无关）的，它的一个极大线性无关组是 。

12134,,R(A)，4． 已知123是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩=3，

442344，则方程组Axb的通解为 。

231A1a1503，且秩(A)=2，则a= 。 5．设

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

121A342122，求矩阵B。 1．已知A+B=AB，且

TA，求An。 (1,1,1,1),(1,1,1,1)2.设，而

大学生校园网 www.vvschool.cn 努力打造的学生最实用的网络平台！ x1x2ax31x1x22x31xaxxa2233.已知方程组1有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

222f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）

求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结

论。

T2．设A为mn矩阵，且的秩R(A)为n，判断AA是否为正定阵？证明你的结论。

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一、

nAA） 1．（F）（

2．（T）

100000A010B010000001。 3．（F）。如反例：，

4．（T）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F） 二、

1．选B。初等矩阵一定是可逆的。

2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与1，2，

3等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。

2A3．选C 。由AA5E0A2E3EA2E(AE)3E，

211A2E(AE)3)。

4．选D。A错误，因为mn，不能保证R(A)R(A|b)；B错误，Ax0的基础解系含有nRA个解向量；C错误，因为有可能R(A)nR(A|b)n1，

Axb无解；D正确，因为R(A)n。

5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵P,Q，使得

PAP1diag(1,2,,n)QBQ1，因此A,B都相似于同一个对角矩阵。

三、1．

1n1n!（按第一列展开）

12353A3A2． 3；3（=）

3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。 1,2,4。因为3212，

大学生校园网 www.vvschool.cn 努力打造的学生最实用的网络平台！ A|1 2 4|0。

4．

1234k2024。因为RA3，原方程组的导出组的基

TT础解系中只含有一个解向量，取为2321，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。 5．a6（RA2A0) 四、

1AEBAB(AE)A。将AE与A组成一1．解法一：ABAB1(E|(AE)A)。 (AE|A)个矩阵，用初等行变换求

021121100001332342332342AE|A=121122(r1r3)121122 100001032341r23r1,r3r1021121r2r3100001011222021121

100001100001011222011222r32r2001325r3001325 001100001B103010103325r2r3。 001325。故

1AEBAB(AE)A。 解法二：ABAB02110100111(AE)332113B(AE)A103325121326。 ，因此11111111AT11111111，A24A， 2．解：

大学生校园网 www.vvschool.cn 努力打造的学生最实用的网络平台！ An(T)(T)(T)(T)(T)(T)T4n1T4n1A。

3．解法一：由方程组有无穷多解，得R(A)R(A|b)3，因此其系数行列式

1|A|111a120a1。即a1或a4。

当a1时，该方程组的增广矩阵

10111101(A|b)1121001111130200

12于是R(A)R(A|b)23，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个

1基础解系23T11002，原方程组的一个特解，故a1时，方程组

T有无穷多解，其通解为

100T1k2312，

4111022000015，

T1141(A|b)112114116a4当时增广矩阵R(A)2R(A|b)3，此时方程组无解。

解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。

1a111a111a11(A|b)1121022a0022a0221a1a0a11aa1100(1a)(4a)a2121(1a)(4a)a210由于该方程组有无穷多解，得R(A)R(A|b)3。因此2，

大学生校园网 www.vvschool.cn 努力打造的学生最实用的网络平台！ 即a1。求通解的方法与解法一相同。

4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵

1122A224|AE|22422，

224242(2)2(7)

因此得到其特征值为122，37。

再求特征值的特征向量。

解方程组(A2E)x0，得对应于特征值为122的两个线性无关的特征向量1210，2201。

解方程组(A7E)x0得对应于特征值为37的一个特征向量

TT3122。

再将1210，2201正交化为p1210，

2p25415。

4T15，3122单位化后组成

TTTTTT2Tp25最后将p1210，

255550的矩阵即为所求的正交变换矩阵22f2y122y27y3。

2515451553132323，其标准形为

5． 解：（1）由EA2EA0知-1，2为A的特征值。

AB2B0A2EB0，故-2为A的特征值，又B的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A的特征值为-1，2，-2，-2。

（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值

大学生校园网 www.vvschool.cn 努力打造的学生最实用的网络平台！ -2有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似对角化。

（3）A3E的特征值为2，5，1，1。故A3E=10。 五、1．ABBA为对称矩阵。 证明：

ABBATABTBAT=BTAT所以ABBA为对称矩阵。

T2．AA为正定矩阵。

ATBT=BAAB=ABBA，

证明：由AATTATA知ATA为对称矩阵。对任意的n维向量0，由RAnTT得A0， AA=A

20，由定义知ATA是正定矩阵。