1. 自然数【答案】7 【解析】 我们先计算出
的个数数字，再减去1即为所求．(特别的如果是0，那么减去1后的
个位数字因为借位为9)
将一个数除以10，所得的余数即是这个数的个位数字．而积的余数等于余数的积．
有2除以10的余数为2，2×2除以10的余数为4，2×2×2除以10的余数为8，2×2×2×2除以10的余数为6；
2×2×2×2×2除以10的余数为2，
除以10的余数为6；
…… ……
也就是说，n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环． 因为67÷4＝16……3，所以
－1除以8的余数为7．
即
－1的个位数字为7．
除以10的余数同余与2×2×2，即余数为8，所以除以10的余数为4，
除以10的余数为8，
－1的个位数字是多少?
评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．
2. 算式7+7×7+…+【答案】56 【解析】
我们只用算出7+7×7+…+
的和除以100的余数，即为其末两位数字．
7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1； 而
除以100的余数等于
×7的余数，即为7，……
除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1．
的和除以100的余数同余与：
计算结果的末两位数字是多少?
这样我们就得到一个规律
1990÷4＝497……2，所以7+7×7+…+所以算式7+7×7+…+
497×(7+49+43+1)+7+49＝49756，除以100余56．
计算结果的末两位数字是56．
3. 一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3．它除以13，商的第200位(从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少? 【答案】2,7 【解析】 这个数即为显然有即有
＝
，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两能够被13类整除，而1994÷6＝332……2，
＝
+33，而
是13的倍数，所以
除以13的余数即
个新数做差，这个差为13的倍数．
为33除以13的余数为7．
÷13＝25641，而
÷13＝25641025641，所以除以13所得商的第23位为5．
除以13所得的商每6个数一
循环，从左往右依次为2、5、6、4、1、0． 200÷6＝33……2，所以
除以13的个位即为33除以13的个位，为2．
即商的第23位(从左往右数)数字是5，商的个位数字是2，余数是7．
4. 己知：a＝
．问：a除以13的余数是几？
【答案】8 【解析】
因为199119911991能被13整除，而1991÷3＝663……2． 有a＝
＝199119911991×+199119911991×
+199119911991×+…+199119911991×
+199119911991×+19911991．
+
所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．
5. 甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数． 【答案】1000,88
【解析】(法1)因为 甲乙，所以 甲乙乙乙乙； 则乙，甲乙．
(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数．
6. 有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？
【答案】1968
【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．
7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________． 【答案】84
【解析】设这个自然数除以11余，除以9余，则有，即，只有，，所以这个自然数为。
8. 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？ 【答案】17
【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的公约数，所求答案为17．
9. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______． 【答案】29 【解析】，，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，，，所以除数不是58． ，，，，所以除数是
10. 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________ 【答案】43
【解析】n能整除．因为，所以n是258大于8的约数．显然，n不
能大于63．符合条件的只有43．
11. 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起
恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元． 【答案】32
【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是 (元) ．
12. 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五
箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．
【答案】20
【解析】两个顾客买的货物重量是的倍数． ，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．
13. 求的余数． 【答案】5 【解析】因为，，，根据同余定理(三)， 的余数等于的余数，而， ，所以的余数为5． 14. 除以7的余数是多少？ 【解析】由于
，而1001是7的倍数，所
以这个乘积也是7的倍数，故除以7的余数是0；
15. 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、、，求这个自然数和的值. 【答案】6
【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：，、，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是，故同余. 将这三个数相减，得到、，所求的自然数一定是和的公约数，而
，所以这个自然数是的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当
这个自然数是时，除、、所得的余数分别为、、，时成立,所以这个自然数是，.
16. 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你
知道这个圆圈上共有多少个孔吗?
【答案】91
【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号 为2，3，4，…，B孔的编号就是圆圈上的孔数．
我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，…上，也就是说， 小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1．
同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数．
如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为，则（为非零自然数）而且能被7整除．注意15被7除
余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是．
17. 将依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________． 【答案】7
【解析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和． 共有9个数字，共有90个两位数，共有数字： (个), 共900个三位数，共有数字： (个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：
(组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为．
18. 的末三位数是多少？ 【答案】625
【解析】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于的平方再乘以
的末三位．
而 ，
其末三位为；
然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为 (k为奇数)， 由于，而奇数的平方除以8余1，所以是8的倍数，则是200的倍数，设
，则
，所以它与105的乘积
，
所以不论m的值是多少，所求的末三位都是625．
19. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？ 【答案】11
【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件。这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。
20. 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是，，，求该自然数的值． 【答案】29
【解析】根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是，，． 由于，所以自然数与同余；由于，所以与201同余， 所以除数是和的公约数，运用辗转相除法可得到 ，该除数为29．经检验成立．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容