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第五章
5.1 设总体 x 是用无线电测距仪测量距离的误差，它服从（ 的均匀分布，在 200 次测量中，误差为 xi 的次数有 ni 次： Xi ：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Ni ：21 16 15 26 22 14 21 22 18 25 求 α，β的矩法估计值
α=u- β=u+
s s
α，β）上
程序代码： x=seq(3,21,by=2)
y=c(21,16,15,26,22,14,21,22,18,25) u=rep(x,y) u1=mean(u) s=var(u) s1=sqrt(s) a=u1-sqrt(3)*s1
b=u1+sqrt(3)*s1b=u1+sqrt(3)*s1 得出结果： a= 2.217379 b= 22.40262
5.2 为检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取 50L，化验每升水中大肠杆菌的个数 （假设 1L 水中大肠杆菌的个数服
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从泊松分布），其化验结果如下表所示：试问平均每升水中大肠杆菌
个数为多少时，才能使上述情况的概率达到最大
大肠杆菌数/L：0123456
水的升数：1720102100
γ =u 是最大似然估计程序代码：
a=seq(0,6,by=1) b=c(17,20,10,2,1,0,0) c=a*b d=mean(c) 得出结果：
d= 7.142857
5.3 已知某种木材的横纹抗压力服从正态分布，现对十个试件做横纹 抗压力试验，得数据如下：
482 493 457 471 510 446 435 418 394 469
（ 1）求 u 的置信水平为 0.95 的置信区间程序代码：
x=c(482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 ) t.test(x) 得出结果：
data: x
t = 6.2668, df = 9, p-value = 0.0001467 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
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95 percent confidence interval: 7.668299 16.331701 sample estimates: mean of x
12
由答案可得：u 的置信水平为 0.95 的置信区间 [7.668299 16.331701]
（ 2）求 σ 的置信水平为 0.90 的置信区间程序代码：
chisq.var.test<-function(x,var,alpha,alternative=\"two.sided \"){
options(digits=4) result<-list() n<-length(x) v<-var(x) result$var<-v chi2<-(n-1)*v/var result$chi2<-chi2 p<-pchisq(chi2,n-1) result$p.value<-p if(alternative==\"less\")
result$p.value<-pchaisq(chi2,n-1,loer.tail=F) else if(alternative==\"two.sider\")
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result$p.value<-2*min(pchaisq(chi2,n-1), pchaisq(chi2,n-1,lower.tail=F)) result$conf.int<-c(
(n-1)*v/qchisq(alpha/2,df=n-1,lower.tail=F), (n-1)*v/qchisq(alpha/2,df=n-1,lower.tail=T)) result }
x<-c(482,493,457,471,510,446,435,418,394,469) y=var(x)
chisq.var.test(x,0.048^2,0.10,alternative=\"two.side\") 得出结果：
$conf.int ： 659.8 3357.0
由答案可得： σ 的置信水平为 0.90 的置信区间 [659.8 3357.0]
5.4 某卷烟厂生产两种卷烟 A和 B 现分别对两种香烟的尼古丁含量进行 6 次试验，结果如下：
A:25 28 23 26 29 22 B:28 23 30 35 21 27
若香烟的尼古丁含量服从正态分布
（ 1）问两种卷烟中尼古丁含量的方差是否相等 （通过区间估计考察）
（ 2）试求两种香烟的尼古丁平均含量差的 95%置信区间 (1) 程序代码：
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X=c(25,28,23,26,29,22) Y=c(28,23,30,35,21,27) Var.test(x,y) 得出结果：
F test to compare two variances
data: x and y
F = 0.2992, num df = 5, denom df = 5, p-value = 0.2115 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equa l to 1
95 percent confidence interval: 0.04187 2.13821 sample estimates: ratio of variances
0.2992
由答案可得：其方差不相等，方差区间为
[0.04187 2.13821]
（ 2）
5.5 比较两个小麦品种的产量，选择 24 块条件相似地实验条，采用
相同的耕作方法做实验，结果播种甲品种的
12 块实验田的单位面积产量和播种乙品种的 12 块试验田的单位面积产量分别为：
A：628 583 510 554 612 523 530 615 573 603 334 564 B：535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 338 547
假定每个品种的单位面积产量服从正态分布，甲品种产量的方差为
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2140，乙品种产量的方差为 3250，试求这两个品种平均面积产量差
的置信水平为 0.95 的置信上限和置信水平为
0.90 的置信下限。 程序代码：
two.sample.ci=function(x,y,conf.level=0.95,sigma1.sigma2) {options(digits=4) m=length(x); n=length(y) xbar=mean(x)-mean(y) alpha=1-conf.level
zstar=qnorm(1-alpha/2)*(sigma1/m+sigma2/n)^(1/2) xbar+c(-zstar, +zstar) }
x=c(628,583,510,554,612,523,530,615,573,603,334,564) y=c(535,433,398,470,567,480,498,560,503,426,338,547) sigma1=2140 sigma2=3250
two.sample.ci(x,y,conf.level=0.95,sigma1.sigma2) 得到结果： 31.29 114.37
程序代码：
two.sample.ci=function(x,y,conf.level=0.95,sigma1.sigma2) {options(digits=4) m=length(x); n=length(y) xbar=mean(x)-mean(y)
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alpha=1-conf.level
zstar=qnorm(1-alpha/2)*(sigma1/m+sigma2/n)^(1/2) xbar+c(-zstar, +zstar) }
x=c(628,583,510,554,612,523,530,615,573,603,334,564) y=c(535,433,398,470,567,480,498,560,503,426,338,547) sigma1=2140 sigma2=3250
two.sample.ci(x,y,conf.level=0.90,sigma1.sigma2) 得到结果： 37.97 107.69
5.6 有两台机床生产同一型号的滚珠，根据以往经验知，这两台机床生产的滚珠直径都服从正态分布， 现分别从这两台机床生产的滚珠中随机地抽取 7 个和 9 个，测得它们的直径如下：机床甲： 15.2 14.5 15.5 14.8 15.1 15.6 14.7
机床乙： 15.2 15.0 14.8 15.2 15 14.9 15.1 14.8 15.3
试问机床乙生产的滚珠的方差是否比机床甲生产的滚珠直径的方差小？
程序代码：
x=c(5.2,14.5,15.5,14.8,15.1,15.6,14.7)
y=c(15.2,15.0,14.8,15.2,15,14.9,15.1,14.8,15.3) var.test(x,y) 得出结果：
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F test to compare two variances data: x and y
F = 430.1, num df = 6, denom df = 8, p-value = 2.723e-09 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equa l to 1
95 percent confidence interval: 92.47 2408.54 sample estimates: ratio of variances
430.1
由结果可得：其甲机床的滚珠半径远超出乙机床的滚珠半径
5.7 某公司对本公司生产的两种自行车型号 A，B 的销售情况进行了了解，随机选取了 400 人询问他们对 A B 的选择，其中有 224 人喜欢A，试求顾客中喜欢 A 的人数比例 p 的置信水平为 0.99 的区间估计。
方程代码：
Binom.test(224,400,conf.level=0.99) 得出结果：
Exact binomial test
data: 224 and 400
number of successes = 224, number of trials = 400, p-value = 0.01866
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alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
99 percent confidence interval: 0.4944077 0.6241356 sample estimates: probability of success
0.56
由结果可得：顾客中喜欢 a 的人数比例 p 的置信水平为 0.99 的区间估计： [0.4944077 0.6241356]
5.8 某公司生产了一批新产品，产品总体服从正态分布，现估计这批
产品的平均重量， 最大允许误差为 1，样本标准差 s=10，试问在 0.95 的置信水平下至少要抽取多少个产品程序代码：
Size,norm2=function(s,alpha,d,m) {t0=qt(alpha/2,m,lower.tail = FALSE) n0=(t0*s/d)^2
t1=qt(alpha/2,n0,lower.tail = FALSE) n1=(t1*s/d)^2
while(abs(n1-n0)>0.5){
n0=(qt(alpha/2,n1,lower.tail = FALSE)*s/d)^2 n1=(qt(alpha/2,n0,lower.tail = FALSE)*s/d)^2 }
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n1 }
Size.norm2(10,0.01,2,100) 得出结果： 98.44268
由结果可得，在 0.95 的置信水平下至少要抽取
99 个产品
5.9 根据以往的经验，船运大量玻璃器皿，损坏率不超过 5%，现要估
计某船中玻璃器皿的损坏率，要求估计与真值间不超过
1%，且置信
水平为 0.90 ，那么要抽取多少样本验收可满足上诉要求
程序代码：
size.bin=function(d,p,conf.level){ alpha=1-conf.level
((qnorm(1-alpha/2))/d)^2*p*(1-p) }
size.bin(0.01,0.05,0.90) 得出结果：
1285.133
由结果可得：要抽取 1285 个样本验收可满足上诉要求
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