2013届高考数学考点讲解：考点06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数(新课标解析版)

2020-11-23 来源：星星旅游

考点06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数

【高考再现】

热点一指数函数、对数函数

2.（2012年高考（安徽文））设集合A{x32x13},集合B是函数ylg(x1)的

定义域;则AB

B．[1,2]

C．[,)

D．(,]

（）

A．(1,2) 【答案】D

【解析】A{x32x13}[1,2],B(1,)A3.（2012年高考（新课标理））设点P在曲线yB(1,2]

1xe上,点Q在曲线yln(2x)上,则PQ最2（）

D．2(1ln2)

小值为 A．1ln2

B．2(1ln2)

C．1ln2

4.（2012年高考（山东文））若函数f(x)ax(a0,a1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,

且函数g(x)(14m)x在[0,)上是增函数,则a=____.

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5.（2012年高考（北京文））已知函数f(x)lgx,若f(ab)1,

f(a2)f(b2)_________.

【答案】2 【解析】

f(x)lgx,f(ab)1,lg(ab)1，

f(a2)f(b2)lga2lgb22lg(ab)2.

6.（2012年高考（上海理））已知函数

f(x)e|xa|(a为常数).若f(x)在区间[1,+)上是增函

数,则a的取值范围是_________ .

7.（2012年高考（上海文））已知函数f(x)lg(x1).

(1)若0f(12x)f(x)1,求x的取值范围;

(2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0x1时,有g(x)f(x),求函数

yg(x)(x[1,2])的反函数.

【解析】（1）由22x0，得1x1，

x1022x22x1，得110……….3分 x1x121因为x10，所以x122x10(x1),x，

33由0lg(22x)lg(x1)lg第 2 页共 18 页

1x121由2，得……………………………………….6分 x133x33

【方法总结】

热点二幂函数、二次函数

7.（2012年高考（福建文））已知关于x的不等式xax2a0在R上恒成立,则实数a的

2取值范围是_________. 【答案】(0,8)

【解析】因为不等式恒成立,所以0,即 a242a0,所以0a8. 8.（2012年高考（北京文））已知f(x)m(x2m)(xm3),g(x)22.若

xxR,f(x)0或g(x)0,则m的取值范围是________.

【答案】(4,0)

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9.（2012年高考（山东理））设函数f(x)1,g(x)ax2bx(a,bR,a0),若yf(x)x的图象与yg(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是

（）

A．当a0时,x1x20,y1y20 B．当a0时,x1x20,y1y20 C．当a0时,x1x20,y1y20 D．当a0时,x1x20,y1y20

2aab,ab10.（2012年高考（福建理））对于实数a和b,定义运算“﹡”:a*b,设

2bab,abf(x)(2x1)*(x1),且关于x的方程为f(x)m(mR)恰有三个互不相等的

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实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是_________________.

11.（2012年高考（北京理））已知f(x)m(x2m)(xm3),g(x)22.若同时满足条件:①xR,f(x)0或g(x)0;②x(,4) ,f(x)g(x)0. 则m的取值范围是________.

x第 5 页共 18 页

4m0,又由于条件2的限制,可分析得出x(,4),f(x)恒负,因此就需要在这个

范围内g(x)有取得正数的可能,即4应该比x1,x2两个根中较小的大,当m(1,0)时,m34,解得交集为空,舍去.当m1时,两个根同为24,也舍去,当

m(4,1)时,2m4m2,综上所述m(4,2).

【方法总结】

【考点剖析】

一．明确要求

二．命题方向

1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．

2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．

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3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．

4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．

5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．

6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.

三．规律总结

1.指数规律总结

两个防范

(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围．三个关键点

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1

－1，a. 

2.对数函数规律总结

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三个关键点

1

画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，a，－1.

四种方法

对数值的大小比较方法

(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较． 3.幂函数的规律总结

五个代表

函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表．两种方法

【基础练习】

1.(教材习题改编)已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系是( )． A．a＜b＜c

B．a＜c＜b

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C．b＜a＜c 【答案】 C

D．c＜a＜b

【解析】将三个数都和中间量1相比较：0＜a＝log0.70.8＜1，b＝log1.10.9＜0，c＝1.10.9＞1. 2.（经典习题）若函数f(x)＝A．单调递减无最小值 C．单调递增无最大值

，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )． 2＋1

xB．单调递减有最小值 D．单调递增有最大值

3.(教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±2

4．(经典习题)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. 答案－2x2＋4

解析 f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2

由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]，

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a≠0，

则b＝－2，2a2＝4.

因此f(x)＝－2x2＋4.

15.(经典习题)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝5log30.3，则( )．

A．a＞b＞c C．a＞c＞b

B．b＞a＞c D．c＞a＞b

【名校模拟】

一．基础扎实

1. (北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)若alog23，blog32，

clog46，则下列结论正确的是（）

（A）bac（B）abc （C）cba（D）bca 【答案】D

2【解析】alog32(1,)，blog3(0,1)，

6clog64log2216log62log2(1,) 26而log32log2，∴a>c>b∴故选D

2. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）设

a20.3,b0.32,clogxx20.3x1，则a,b,c的大小关系是（）

A．abc B．bac C．cba D．bca

第 10 页共 18 页

4.（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考文）若a＞b＞0，则下列不等式不成立的．是

A. ab2ab

B. ab

1212C. lna＞lnb

D. 0.3a0.3b

【解析】A 根据指数幂函数、对数函数、指数函数性质可知选项B、C、D中的表达式成立，不成立即为选项A中的表达式。

4.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函数f(x)|lgx|.若ab且，

f(a)f(b)，则ab的取值范围是（）

(A)(1,) (B)[1,) (C) (2,) (D) [2,)

5. (仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题文)设alog3,blog23,clog32,则

A、abc B、acb C、bac D、bca 答案：A

112 log3log32,c22112 log3 1,0log1b1,0c2322故abc

解：alog31,b6．(湖北省八校2012届高三第一次联考文)已知函数f(x)ezlog31，若实数x0是方程xf(x)0的解，且x1x0,则f(x1)的值（）

A．等于0

B．不大于0

C．恒为正值

D．恒为负值

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（湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试文）设

3x3yM2,NA．

3xy,P3xy（其中

0xy），则

M,N,P大小关系为（）

MNP B．NPM C．PMN D．PNM

二．能力拔高

8.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）已知函数fxex1,gxx24x3, 若存在fagb，则实数b的取值范围为

（）

A．1,3 B．1,3 C．22,22 D．22,22

【答案】D 【解析】函数fxex1的值域为(1,+)，gxx24x3的值域(,1],若存在fagb，则需gb1,

b24b31,b24b20,22b22..

9.(2012上海第二学学期七校联考理)函数yfx1为定义在R上的偶函数，且当x1时，

fx2x1，则下列写法正确的是（）

第 12 页共 18 页

A. fff B. fff

133223132332133213C. fff D. fff

23322310.（2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文）函数fx满足f00，其导函数fx的图象如下图，则fx在[-2，1]上的最小值为

A．-1 B．0 C．2 D．3

11. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）若函数y=loga(x2ax1)有最小值，则a的取值范围是 ( ) A.0【解析】解：需要对a分类讨论

B. 0C. 1第 13 页共 18 页

当a1时，y有最小值，则说明x2ax1有最小值，故x2ax1=0中判别式小于零即a2-40,2a1当1>a0时，y有最小值，则说明x2ax1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去。综上可知答案选C

12.(湖北省武汉外国语学校钟祥一中2012届高三4月联考文)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在x[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”.若f(x)x23x4与g(x)2xm在

，则m的取值范围为（） [0,3]上是“关联函数”

A．(2,4]

B．(9,2) 4 C．(9,2] 4 D．(9,) 41

3(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函数f(x)log4(2x3x)，（1）求函数的定义域；（2）求f(x)的单调区间；

2三．提升自我

14.（成都市2012届高中毕业班第二次诊断性检测理）已知函数.

数），对任意①若

，均有

恒成立.下列说法：

为常数)的图象关于直线x=1对称，则b=1;

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（m为常

②若

③已知定义在R上的函数时,

；又函数

，则必有对任意X均有

；

成立，且当

使得

（c为常数），若存在

成立，则C的取值范围是(-1,13).其中说法正确的个数是

(A)3 个（B)2 个（C)1 个（D)O 个

③正确.综上所述，其中说法正确的个数是3，选A.

15.（北京2011—2012学年度第二学期高三综合练习（二）文）已知函数

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f(x)(xa)(x2bxc),g(x)(ax1)(cx2bx1)，集合Sxf(x)0,xR，

Txg(x)0,xR，记cardS,cardT分别为集合S,T中的元素个数，那么下列

结论不可能的是( )

A．cardS1,cardT0 C．cardS2,cardT2

B．cardS1,cardT1 D．cardS2,cardT3

16.(北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)一个工厂生产某种产品每年需要固定

投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（xN）件．当x20时，年销售总收入为（33xx2）万元；当x20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y（万元）与x（件）的函数关系式为，该工厂的年产量为件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入年总投资）

当x20时，y260100x160x

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【原创预测】

1.已知函数f(x)x,给出下列命题：

①若x1，则f(x)1；

②若0x1x2，则f(x2)f(x1)x2x1； ③若0x1x2，则x2f(x1)x1f(x2)； ④若0x1x2，则

12f(x1)f(x2)xxf(12)．

22其中，所有正确命题的序号是．

2.若函数f(x)loga(x2ax5)(a0且a1)满足对任意的x1,x2当x1x2时，

a2f(x2)f(x1)0,则实数a的取值范围为。

答案：1a25 解析：由题意得，x1x2aa时，fx2fx10，即函数在区间(,)上为减函数， 22第 17 页共 18 页

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