关于渔场鱼的数量的模型和鱼资源稳定问题

《数学建模与数学实验》课程设计

专 业 数学与应用数学 学 号 姓 名 指导教师

数理系 2012年6月

目录

一． 摘要………………………………………………….

二． 关键词………………………………………………..

三． 问题重述……………………………………………..

四． 问题背景…………………………………………….

五． 问题分析…………………………………………….

六． 建模过程……………………………………………..

（一） 符号说明…………………………………… （二） 模型假设…………………………………… （三） 模型的建立与求解………………………… （四） 模型分析…………………………………....

七． 模型的评价与改进………………………………….

八． 参考文献…………………………………………….

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关于渔场鱼的数量的模型和鱼资源稳定问题

摘要：本文通过建立两个模型，解决了如何描述该渔场鱼的数量的数学模型及如何保持鱼资源的稳定问题。第一个模型是建立在无捕捞的条件下渔场鱼量增长服从logistic模型，第二个模型建立在第一个模型的基础上且有捕捞条件。通过模型的建立可知，当捕捞强度在一个值时鱼资源保持稳定。 关键词：渔场鱼的数量 捕捞强度 稳定点

正文

一、问题重述

一个渔场中的鱼资源若不进行捕捞则按自限规律增长，若在渔场中由固定的船队进行连续作业，单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比，比例系数为k。试建立描述该渔场鱼的数量的数学模型，并讨论如何控制k，使渔场的鱼资源保持稳定。 二、问题的背景

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源等）

的开发必须适度，因此渔场鱼的数量及如何保持鱼资源的稳定问题的研究很有必要。

三、问题分析

⑴ 在自然环境无捕捞的情况下，由于受到渔场水的温度、湿度、含氧量、包括饲料以及种群竞争等的影响，渔场鱼量按自限规律增长，符合logistic增长规律。

⑵ 在有捕捞的情况下，由固定的船队进行连续作业，即说明捕捞不受其他偶然因素的影响，t足够长时间内捕捞船队数稳定不变，由单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比，比例系数为k，k的大小不确定，主要影响捕捞量的是捕捞强度k，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定，如何控制捕捞强度k，使渔场鱼资源保持稳定。

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四、建模过程 （一）模型假设

1 记时刻t渔场鱼量为x(t)，渔场是个封闭的渔场，不考虑鱼群迁入和迁出的影响，并且假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响；

2 在自然无捕捞情况下，鱼的增长存在自然阻力，且考虑鱼的年龄、产卵、孵化等因素，设自然增长的情况下渔场鱼量的增长服从logistic规律

xxtfxrx1- ；

3 在有捕捞的情况下，设每次开始捕鱼时渔场中各年龄组群条数不变。渔场中由固定的船队进行连续作业，单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比，hxkx；

4 假设鱼群内部因素对其生存率的影响不大。

5 假设鱼的市场价格的变化对船队捕捞的鱼的数量有影响，即捕捞强度k是受其影响的。 （二） 符号说明

xt：渔场中鱼的数量 r:固有增长率

：环境能容纳的最大鱼量

fx：在无捕捞的情况下单位时间内鱼的增长量 Fx:在有捕捞的情况下单位时间内鱼的增长量

k:捕捞强度 hx:单位时间产量 （三) 模型的建立与求解 1数量模型：

在无捕捞的情况下，鱼的自然增长服从logistic规律，即

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x xtfxrx1- 1

我们解方程（1）以得到x(t)的动态变化过程 对1式进行积分，

xfxdtrx1-dt

解得

x xtrx1-t

在有捕捞的情况下，渔场鱼量满足

hxkx 2

x xtFxrx1--hx 3

N我们解方程（3）以得到x(t)的动态变化过程 对3式进行积分，

x Fxdtrx1--kxdt

 解得

x xtrx1-t-kxt

2稳定性模型

我们希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x（t）的走向，为此可直接求方程（3）的平衡点并分析其稳定性。

由微分方程稳定性理论，

令

xFxrx1--kx0 3

N求得两个平衡点

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k x0N1- ， x10

r（四） 模型分析 1数量模型分析

对于logistic规律的推导：

在t到tt这段时间内渔场鱼的数量xxt的增长量为 xtt-xtrxtt 于是xt满足微分方程

将上式改写成

dxkx ① dtdxrdt x于是变量x和t被“分离”,两边积分得 lnxrtc 这里c为任意常数。由对数的定义，上式变为

xcert ② 其中。因亦是方程的解，因此可以是任意常数。 如设初值条件为

tt0 时，xtx0 ③ 代入上式可得

cx0e-rt0 即方程①的满足初值条件③的解为

xt0ert-t0 ④

如果 ,上式说明渔场鱼量xt将按指数规律无限增长。将以1年或10年为单位离散化，那么可以说，渔场鱼量是以为公比的等比数列增加的。

当渔场鱼量不大时，生存空间资源等极充裕，渔场鱼量指数增长是不可能的。但当渔场鱼量非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实：环境所

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提供的条件只能供养一定数量的鱼生存，所以上述模型在xt很大时是很不合理的。

xt为此，我们设kk1- ，即k随xt的增加而减少，当xt时，k0.按此假定，渔场鱼量指数增长的方程应该改为

dxxrx1- dt这就是logistic模型。

在无捕捞情况下，由上述logistic规律建立数量模型，解得

xxtrx1-t

有捕捞情况下，在logistic规律的基础上建立模型，解得

xxtrx1-t-kxt

该模型的使用范围是：在一定的空间区域内，不考虑渔场环境的重大变化对渔场鱼量的影响，而是按照该区域的一般自然规律。同样，这也是本模型的不足之处，因为现实中，我们研究的生物种群可能对环境的依赖性很强，那么环境的影响就是一个重要的因素，但是我们也意识到要用一个很具体的模型，该模型考虑现实中的每一个因素，并且表示这些因素的表达式又是简单的数学式，要找这样的模型是很困难的。 2稳定性模型分析：

一阶微分方程的平衡点及其稳定性理论： 对于一阶非线性方程

xFx ⑤

Fx0的根x0即为微分方程的平衡点

xxx00xx0

设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有

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xtx0， limi则称x0是方程⑤的稳定点。

由此可以构建稳定性模型，求出稳定点。 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 ⑤的近似线性方程

xFx0xx0 ⑥ 当 Fx00x0稳定（对⑥⑤） 当 Fx00x0不稳定（对⑥⑤）

由以上理论易得

Fx0k-r ，Fx1r-k

若Fx00，Fx10；即kr时，则x0不稳定，x1稳定。 若Fx00，Fx10；即kr时，则x0稳定，x1不稳定。

k由以上分析可知，只要捕捞适度，即当kr时，则可使鱼量稳定在x01-；

r当捕捞过度时，即当kr时，鱼量将减至x10，更谈不上保持数量稳定。 五、模型的评价与改进

优点：

本模型以成熟的logistic模型为基础，结合差分方程及一阶微分方程

的平衡点及其稳定性的方法，成功地解决了渔场鱼的数量及如何保持鱼资源的稳定问题，得到了合理的结论。

这个模型是针对一定空间区域内，在一般规律下，对生物种群数量随时

间的变化范围作出的估计。这种估计对于研究某一区域内的种群有接的好处，也利于人类研究人类自身。对于一定区域内的生物种群，如果考虑种群生存环境的一般现象，我们可以从事实上看到我们应用的模型对于该类问题的解决有重大的预见效果。现在，在关于生物种群数量的研究中，有很多种方法，而 logistic 模型对于这类与现实搭配的事实更趋于成功。由以上的分析，我们看到了该模型对

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于相对较小误差的测量，是可以得到相当准确的预测值的。

我们认为，在环境不发生重大改变的情况下 ，本模型具有广泛的普遍性和适用性，只要改变其中的部分系数如固有增长率和捕捞强度及环境最大容纳量，即可应用于其他种群的生存和开发问题，以此模型理论为基础，可以制定出开发可再生资源的最优策略，具有现实意义。 缺点：

logistic模型的建立需要许多假设的前提条件，但并不是所有的问题都 能提供较为理想的假设环境，故实验数据并不一定符合logistic模型；再者，logistic模型没有考虑到鱼群在不同环境条件下生长状况的差异，鱼群生长与环境的关系是很密切的，环境条件影响着鱼群的生长、发展，鱼群适应环境，两者间保持相对稳定。鱼群具体生长的环境是相互作用的综合体，为鱼群的生长提供条件。因此，描述鱼群增长规律，必须考虑环境条件；其次，logistic模型不能反映出环境条件的变化对鱼群增长的影响，事实上，鱼群的生长环境是随时间不断变化的，其原因有人为因素，也有自然因素。这种环境的变化必然会对鱼群的增长造成影响。

而本实验以logistic模型为基础，对假设环境条件要求较严格，在实际生活中会存在一定误差，这需要通过实践经验来进行修正。我们可以讨论几个造成模型误差的问题，它们都很有实际意义。一个是模型对初值的依赖性问题，另一个是模型对参数选取的依赖性问题。在考虑初值误差对模型的解的影响的过程中，我们采用常微分知识，考虑解对初值的依赖性和解对参数的依赖性，这种思路对于实际研究具有极其重大的现实意义。 改进：

本模型还可以做进一步的改进，在实际生活中，经济效益还应与鱼的捕捞强度及鱼的价格有关，捕捞强度过大会导致成本过高，鱼的数量增多会导致鱼的价格下降，由于时间因素，我们在本文中未作详细讨论，有待于进一步研究。 六、参考文献

⑴赵静、但琦，《数学建模与数学实验（第3版）》 高等教育出版社 2012年6月17日

⑵姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型（第三版）》 高等教育出版社

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2012年6月17日

⑶刘来福 《最优捕鱼策略问题答案评述》 ，数学的实践与认识， 2012年6月18日

⑷数学中国 http://www.madio.net/forum-168-1.html 2012年6月18日 ⑸中国数学建模网 http://www.zgsxjm.com/ 2012年6月18日 ⑹周树克，《常微分方程建模》教学课件 2012年6月18日

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