统计学典型例题

1．某市为了解居民收入与居住意向（购房、租房或其它）问题，从该市随机调查了200户家庭，并获得相应的数据。 (1) 给出居住意向的数量表示；

(2) 从两种含义给出研究问题的总体及其大小； (3) 给出相应的样本及其大小

解：(1)居住意向X的取值1，2，3分别表示购房、租房和其它； (2) 总体含义一，该市全部家庭，N；

含义二，居住意向X与家庭收入Y的取值全体，即第一象限三条射线X1，

X2和X3上的所有点，N；

(3) 样本含义一：被抽到的200户家庭，n200 含义二：(x1,y1),,(xn,yn)，其中

(xi,yi)是第i户的居住意向和收入，n200。

2．兹有某村水稻收获量分组资料如下：

水稻收获(千克／亩) 210—270 270—330 330—390 耕地面积(亩) 30 50 120 水稻收获量(千克／亩) 390—450 450—510 510—570 耕地面积(亩) 150 60 42 求水稻收获量的中位数Mo、Me(Q2)和Q.D。

解： n452

Moam111230(amam1)

(所在组m4)

=390+

309060405

MeQ23902262006039010.4400.4 (所在组m4)

150Q1330113806033016.5346.5 (所在组m3)

120Q33903392006039055.6445.6 (所在组m4)

150Q.D445.6-400.445.2

3．工人日产量数据 单位：日产量(件／人) 日产量 30 40 50 合计 A工艺人数 4 8 4 B工艺产量之和 120 240 900 根据离散系数分析哪种工艺的生产水平整齐？

1

解： 日产量 30 40 50 合计 2XA40，sA116A工艺人数 4 8 4 16 B工艺人数 4 6 18 28 ((3040)2241004)50，VA500.031 1600XB1260/28452222sB1((3045)4(4045)6(5045)18)1500/2853.57

2822VB53.570.026VA

2025，

或 VAsAxA50400.177，VBBxBs53.57450.163

B工艺生产水平略整齐些。

4(1）某企业三种家电产品的生产情况如下表：产量(万台)，价格（百元）

产品 名称 彩电 空调 电脑 基 期 报告期 q0 10 20 30 p0 10 22 30 q1 12 24 34 p1 8 18 20 试求销售额受销售量和价格影响的变动程度与绝对额（派许质量指数、拉氏数量指数）。

解：

p0q0 100 440 900 q0 10 20 30 p0 10 22 30 p0q1 q1 120 528 1020 12 24 34 p1 8 18 20 p1q1 96 432 680 1440 1648 1208

Kp1q1p0q1p1q1, 120816481208 pq144014401648p0q0p0q0p0q10.839=1.1440.733 ，—232= 208—440

从变动程度看，销售额下降16.1 %，其中因价格变动下降26.7%，因销售量上升14.4%。 从变动绝对额看，销售额减少232，其中因价格变动减少440，因销售量上升增加208。 4(2）某企业基期和报告期工人数f (百人) ，年平均工资(千元)x如下：

按级别分组 基 期 x0报 告 期 x1 f0 f1 5级以上 3—4级 8 6 4 12 7 5 8 9 2

1—2级 4 4 3 3 试计算：平均工资受结构变动、工资变动的影响程度和影响绝对额。 4(2）解：

按级别分组 基 期 x0报 告 期 x1 f0 f1 5级以上 3—4级 1—2级 32 8 72 6 16 4 4 28 12 60 4 12 7 5 3 8 56 9 45 3 9 120 20 100 20 110

5.56565.55

影响程度分解： 0.917= 0.833 × 1.1 影响绝对额分解： －0.5=(－1) ＋0.5

5(1) “幸福实业”在4个时期其价格分别是每股8元，每股6元，每股4元和每股2元，若李强四个时间各购买相同金额的股票，张伟在四个时间购买相同数量的股票，则李强和张伟的平均持仓成本是多少？平均持仓成本不同说明什么？

5(1)解：

四个时间各购买相同金额股票的平均持仓成本x4181614123.84,

三个时间各购买相同数量股票的平均持仓成本y调和平均小于算术平均，不同投资策略结果相差悬殊。

5(2)某厂1996年的产值为2000万元，试计算：

14(2468)5

（a）若1997—1998两年的产值总和为4620万元，这2年的平均发展速度是多少？ (b)若规划2002年的产值为5000万元，那么后4年应有怎样的平均发展速度才能达到目标？

5(2)解：

（a）用方程法 x2x462020002.31,x1142.3121.1，

42（b）98年产值=20001.12420，后4年平均发展速度=5000/2420119.89%

5(3)我国某市商品鲜蛋分季收购量资料如下（单位：万吨） ： 年＼季 1 1998 1999

2 42 28 3 14 12 4 9 6 3

18 16 2000 16 26 10 8 求此序列的4项移动平均。 5(3)解：将原序列数据按行写出

18 42 14 9 16 28 12 6 16 26 10 8 83 81 67 65 62 62 60 58 60 164 148 132 127 124 122 118 118 ÷8 得移动平均后序列 20.5 18.5 16.5 15.875 15.5 15.25 14.75 14.75

5(4)某市汗衫、背心零售量资料如下（单位：箱）：

年＼季 1 70 90 2 3 4 2001 2002 400 340 100 450 380 130 2003 110 490 440 140 要求：(a)用季平均法计算汗衫、背心零售量的季节比率。

(b)若04年第2季度520箱，估计04年第4季度大约销售多少箱？ 5(4)解：

各季和 270 1340 1160 370 总和 3140 （3140÷4=785） 各季季比率依次为 （%）

270÷785= 34.39， 170.70 ， 147.77， 47.13

（520÷170.7） 47.13 = 144.09≈145

5(5)某企业彩电、空调、电脑的预期销售鹅p0q1分别是25、35、40亿元 (a)若三种家电产品的价格指数分别是0.8，0.84，0.9，求平均价格指数Kp

(b)若三种家电产品的销售量指数分别是1.25，1.4和1.6，求平均销售量指数Kq 5(5)解:权数分别是0.25、0.35、0.40。 (a)求平均价格指数Kp,p0q1中，价格在基期，用算术平均，故

Kp=0.80.25+0.840.35+0.90.40=0.854

(b)求平均销售量指数Kqp0q1中，销售量在报告期，故用加权调和平均，

Kq2535402535401.251.41.61.571：

6(1) 某公司生产的CPU的使用寿命（千小时）服从正态分布，产品说明说他们的CPU的使用寿命达到20千小时，在市场随机抽查了（已废）的9件，寿命分别是 11，13，15，17，18，19，21，24，24 （千小时） 上面的数据是否支持公司的声称。(取显著性水平 (t0.05(8)1.86,t0.05(9)1.833,0.05)。

t0.025(8)2.306t0.025(9)2.262)

6(1)解： CPU的平均使用寿命没达到20千小时，意味20，于是统计假设是

H0:20(小时) ， Ha:20

~x18,S21(xix)21(492591193636)20.75

n-18 4

X0t~S/n182020.75/31.3271.86t0.05(8)，

接受原假设，上面的数据支持公司的声称“CPU的平均使用寿命达到20千小时”。

6(2)阳光中学男子田径队组建时100米的平均成绩假定服从平均数为8.3 m/s ，标准差为0.5 m/s的正态分布 ，9名队员经过半年训练后平均成绩达到8.5 m/s (标准差不变)，试问此成绩是否比半年前有显著提高（0.05）？

6(2)解：H0:8.3m/s,Zx0H1:8.3m/s

8.58.31.21.645Z0.05 0.5/3/n 接受H0，成绩没有显著提高。

7．某行业产品的生产费用（y：百万元 ）与产量（x吨）有着相关关系，y与x的关系大体如下：

单位： 生产费用（百万元 ），产量（吨）

x y 2.3~~2.7 2.7~3.3 3.7~4.3 4~6 6~8 8.5~9.5 4.6~5.4 9.5~10.5 5.8~6.2 6.2~6.8 11~13 13~15 ˆabx； (1) 求y对x的回归直线方程y2(2) 残差平方和Se2y2aybxy

y)2y的总变动为Sy(y

22Sy 复相关系数的平方R21Se(3)以上模型属于何种类型，能否用于预测？

7解： 单位： 生产费用（百万元 ），产量（吨） 

组中值x 组中值y x 22.5 5 3 7 4 9 16 81 36 5 10 25 100 50 6 12 36 144 72 6.5 14 27 57 6.25 9 25 49 42.25 134.5 196 91 595 282.5 y2 xy 12.5 21

nxyxy(1) b22nx(x)6282.527576134.52721562

78 ay-xb16ˆ0.52x； (57272)0.5 y(2)残差平方和

Se2y2aybxy5950.5572282.51.5

5

y的总变动为

Sy2(yy)2y2(y)2/n595-572/653.5

22 复相关系数的平方R21SeSy11.5/53.50.972

(3)以上模型属于结构分析类型，不能用于预测，因为产量数据与费用几乎同时得到。

8：1998—2003年某商店（年末）利润、库存额（万元）如下：

日 期 1998 1999 2000 2001 1020 1085 1120 155 160 170 2002 2003 1205 1400 175 190 利润 库存额 1000 150 试计算1999—2003年商店库存额与利润比值的平均值。

8解：利润和库存额分别是时期数据和时点数据，等间隔时点数据须首尾折半计算平均，故

(1020  1085  1120  1205  1400)/5 (150  155  160  170  175  190)/52258307.024

830

9：已知总体X~2(1)求矩估计值；

12，一组样本观测值为1，2，2，3 133(2)求的最大似然估计值。

9解：(1)EX223(13)35，X35，ˆ由4个观测值得 x2，代入

矩估计值ˆM321 553X5，

(2) L()223(13)2(13)，01

3令L()62(13)6362(14)0，故的最大似然估计值为ˆ

14。

10：某客车厂设计的车厢高h，使90%的成年男子乘车不需弯腰，若随机调查500名成年男子的平均身高1.74米，标准差为0.1米，求h。（注：假定成年男子身高X服从正态分

a)） 布，则P(Xa)(h)(z0.1)(1.28)，由于正态分布参数10解：按题意， P(Xh)(22,的最大似然估计分别是x和s，即，0.9=(hxs)(z0.1)(1.28)

故，

h1.740.11.28，车厢高h=1.868

6