第三章 统计描述
一、选择题
1.有5辆汽车在同一距离的公路上行驶的速度资料，确定汽车平均每小时行驶速度的平均数公式是（ C ）。
xfx∑∑ B.A.
n∑f
m∑ C. D.
m1∑x∑x
n
2.加权算术平均数的大小取决于（ D ）。
（甲）频数绝对量的大小；（乙）频数之间的比率；（丙）变量值的大小。 A.甲丙 B.乙 C.甲乙 D.乙丙
二、问答题
1.指出表3-1、表3-2和表3-3中的主词与宾词、横行标题与纵栏标题，并根据主词的结构分类法，指出该统计表的类型。
表3-1 ××市2000、2001年国内生产总值表
表3-2 国内商业主要经济统计指标（2001年×月）
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表3-3 ×× 市饮食业机构、人员基本情况（2001年）
答：表3-1为主词简单分组表。
表3-2为主词复合分组表。
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表3-3为主词复合分组表，一部分主词（市、县、县以下）放置在宾词的位置。
2.在教材第三章的例3-6中，按调和平均法和按算术平均法计算的结果一致，根据幂平均数是参数k的单调不减函数的性质，算术平均数≥调和平均数，这两者是否存在矛盾?
答：不存在矛盾，因为上面所说的算术平均数≥调和平均数的前提条件是每个变量的权数是相等的，而例3-6中各变量的权数不相等。所以两者也就不存在矛盾。
三、计算题
1.抽样调查某省50户城镇居民平均每人全年可支配收入资料如表3-4所示。
表3-4 居民年人均可支配收入 单位：百元
要求：
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（1）试根据上述资料编制次（频）数分布数列； （2）编制向上和向下累计频数、频率数列；
（3）根据所编制的次数分布数列绘制直方图、折线图与曲线图，并说明其属于何种分布类型； （4）根据所编制的向上（向下）累计频数（频率）数列绘制累计曲线图； （5）根据频数分布曲线图说明居民年人均可支配收入的分布类型。 解：（1）
表3-5
（2）
表3-6
表3-7
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（3）可以使用Excel的数据分析工具中的“直方图”工具生成如第（1）题所示的次数分布数列以及相应的直方图和折线图等。具体步骤如下：
①在Excel中输入相关数据，如表3-8所示。
表3-8
在表3-8中，收入放在A列，每分组的上限放在B列。这里需要注意的是，分组上限并不是“60、70、80、…”等整数，而是略小于它们的数，这是因为直方图工具分组时采用的是“上限在内”原则，为符合统计的“上限不在内”原则，在Excel中应采用如下方法确定上限值：
以“60以下”这一收入分组为例，必须找到这样的一个上限值：它略小于60，但又是“60以下”这一组中最大的。通过观察收入数据，我们采用了59.9这一上限值。59.9实际上表示的是“小于等于59.9”的收入分组，并不完全等同于“60以下”的分组，但因为在收入数据中，并没有大于59.9且小于60的数，因此“小于等于59.9”的分组与“60以下”的分组所包含的收入数据肯定是相同的。如此，我们就在Excel中遵守了“上限不在内”的原则。
②执行菜单命令［工具］→［数据分析］，调出“数据分析”对话框，选择“直方图”选项，调出“直方图”对话框。
注意，若“数据分析”命令没有出现在“工具”菜单上，则应先使用［工具］→［加载宏］命令来加载“分析工具库”。
③在“直方图”对话框中，输入相关数据，见图3-1。 输入区域：$A$1:$A$51
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图3-1
接收区域：$B$1:$B$6（接收区域的数值应按升序排列）
输出区域：$C$1（指输出区域的左上角单元格）选中“标志”和“图表输出”复选框。 ④结果如图3-2所示。
图3-2
C7中的“其他”是指大于99.9的收人分组，在本题中即指“100～110”这一分组。D1中的“频率”指的是“频数”。
⑤对直方图进行修改。为了使上述直方图的表示更符合统计学中的习惯做法，在工作表的E列增加“频率（％）”一栏，并对工作表和直方图效果进行一定的修改，结果如图3-3。（具体操作步骤略）
⑥对于折线图，有两种方法：一是可以根据C列和E列的数据（或C列和D列的数据）直接在Excel
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中插入图表；二是可以直接将E列数据加在直方图上。这里用第二种方法。
，打开“源左键单击直方图，使直方图处于选中状态（如图3-3），执行菜单命令：［图表］→［源数据］数据”对话框，在“系列”选项卡中单击“添加”按钮，然后按图3-4所示填好“名称”和“值”文本框，再单击确定即可。
图3-3
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图3-4
包括折线图的直方图如图3-5所示。
图3-5
⑦对于曲线图。右键单击图3-5中的折线，在弹出式菜单中单击“数据系列格式”，在调出的对话框的“图案”选项卡下，选中“平滑线”选项，再单击“确定”按钮即可。结果如图3-6所示。
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图3-6（4）
累计曲线图如图3-7所示。
图3-7
（5）根据频数分布曲线图，在统计学中，居民年人均可支配收入的分布类型属于钟型分布。 2.请搜集一实际资料，利用洛伦茨曲线对收入分配的公平度进行评价。解略。
3.甲乙两企业生产三种产品的单位成本和总成本资料如表3-9所示，试比较哪个企业的平均成本高，并分析其原因。
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表3-9
解：甲企业的平均成本=
2100+3000+15006600
=19.4118， =
210030001500340
++1520303255+1500+15006255
乙企业的平均成本==18.2895。 =
325515001500342
++152030
由上面的计算得知，甲企业的平均成本高于乙企业。
因为乙企业单位成本低的A产品生产的数量多，占总成本一半以上，即成本低的产品相对权数大，而甲企业生产单位成本低的A产品数量少，仅占总成本的31.8％（=2100／6600）。由于权数的作用，乙企业的平均成本低于甲企业。
4.甲乙两市场农产品价格及成交量资料如表3-10所示，试比较哪个市场的平均价格高，并分析其原因。
表3-10
1.2+2.8+1.55.5
=1.375， =
1.22.81.54++1.21.41.5
1.2×2+1.4×1+1.5×15.3
乙市场的平均价格===1.325。
44
解：甲市场的平均价格=
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由上面的计算得知，甲市场农产品的平均价格高于乙市场。
因为价格低的甲产品在甲市场成交额少，仅占21.8％（=1.2／5.5）；而在乙市场的成交额大，占45.3％（=2.4／5.3），由于权数的作用，甲市场的平均价格高于乙市场。
5.某企业工人平均月工资为1440元，月收入少于1280元的占一半，试估计众数，并对该企业工人工资的分布情况做一简要说明。
解：由题中可知，企业工人月工资的中位数＝1280 所以众数≈1440－3×（1440－1280）＝960
所以，众数＜中位数＜平均数，则该企业的月工资分布为右（正）偏，说明该企业工人的月工资分布中出现极大值，即出现有人拿到高额的工资，导致月工资分布呈右偏。
6.某城市对3000户居民人均月消费支出进行调查，得到表3-11资料。 要求：
（1）计算居民总平均月支出； （2）计算居民月均支出标准差； （3）计算居民月均支出中位数和众数。
解：（1）居民总平均月支出＝150×0.01＋250×0.06＋350×0.15＋450×0.2＋550×0.35＋650×0.1＋750×0.06＋850×0.04＋950×0.02＋1050×0.01＝525。
表3-11
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（2）居民月均支出标准差
(150−525)+(250−525)+(350−525)500～600中。
用下限公式计算：
222+\"+(1050−525)=881250≈938.7492
2（3）居民户数数列向上累计频数为2310，占总户数一半以上，中位数处在这一组，即月均支出数列
∑f
Me=LMe+
2用上限公式计算：
−SMe−1fMe
×dMe=500+
1500−1260
×100≈500+22.8571=522.8571
1050
∑f
Me=UMe−
2−SMe+1fMe
×dMe=600−
1500−690
×100≈600−77.1429=522.8571
1050
频数最高的（户数最多）组就是众数所在之组，众数应处于居民月均支出分组500～600这一组，用下限公式计算：
Mo=LMo+
(f
fMo−fMo−1
Mo
−fMo−1+fMo−fMo+1
)()×dMo
=500+
1050−600
×100=537.5。
(1050−600)+(1050−300)用上限公式计算：
Mo=UMo−
(f
fMo−fMo+1
Mo
−fMo−1+fMo−fMo+1
)()×dMo
=600−
1050−300
×100=537.5。
(1050−600)+(1050−300)7.已知标志值总和为415，标志值平方和为1775，总体单位数为100，试求其方差和标准差。 解：由题可知，
∑x
i=1
100
i
=415，∑xi2=1775，所以x=4.15，
i=1
100
σ=
2
∑(i=1
100
xi−x
)2
100
=
∑xi2−100x
i=1
100
2
100
=0.5275，所以σ=0.7263。
8.某管理局下属8家企业的产品销售数据如表3-12所示。
表3-12 单位：万元
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试比较其产品销售额和销售利润的离散程度。
289.2204
≈0.5393。
536.25
21.6004
销售利润的平均数＝32.5125，标准差＝21.6004，所以其标准差系数=≈0.6644。
32.5125
解：产品销售额的平均数＝536.25，标准差＝289.2204，所以其标准差系数=
根据标准差系数的计算结果，产品销售额的标准差系数较小，说明产品销售额离散程度较小，分布比较均匀。
9.某生产班组11个工人日生产零件数为：15，17，19，20，22，22，23，23，25，26，30。要求： （1）计算平均数和方差；
（2）按照15～19、20～24、24以上分成三组，计算组内方差和组间方差； （3）验证总方差等于组间方差与组内方差平均数之和。 解：（1）总平均数：x=
15+17+\"+30
=22。
11
2
2
(15−22)+(17−22)2
总方差：σ=
11
+\"+(30−22)2
=
178
。 11
（2）组一（15～19）：15，17，19；x1=17，组内方差：σ12=
8
。 3
6
组二（20～24）：20，22，22，23，23；x2=22，组内方差：σ22=。
514
组三：（24以上）：25，26，30；x3=27，组内方差：σ32=。
3
17−22)(2
∴组间方差δ=
2
×3+(22−22)×5+(27−22)×3150
。 =
1111
22
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8614×3+×5+×3
28253（3）证明：组内方差的平均值：σi=3=。
1111
17815028
总方差：σ2==+=δ2+σi2。
111111
所以，总方差＝组间方＋组内方差的平均值。原命题得证。
10.某高校学生参加英语四级考试的优秀率和合格率分别为15％和90％，试计算优秀率和合格率分布的方差和标准差。
解：该题属于求0—1分布的方差和标准差。
由题意得优秀率P1＝15％，合格率P2＝90％，所以优秀率的方差和标准差
σ12=P1(1−P1)=0.15×0.85=0.1275，σ1=0.3571。
所以合格率的方差和标准差
σ22=P2(1−P2)=0.9×0.1=0.09，σ2=0.3。
11.某企业工人工资资料如表3-13所示，试测定其偏度和峰度，并说明真分布状况。
表3-13
解：
表3-14
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xf∑x=
∑f
=
1440302=7.2（百元）=1.51=1.2288。 ，σ=
200200
−22.8
v
偏度α=33=2003=−0.0614<0，
σ1.2288
1087.94v
峰度β=44−3=2002−3=2.3857−3=−0.6143<0。
σ⎛302⎞
⎜⎟⎝200⎠
工人工资分布呈负偏、低峰态。
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