(总分：149.99，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：8，分数：32.00)
1.函数，下列选项正确的是
（分数：4.00） A.没有不可导的点． B.仅有1个不可导的点． C.共有2个不可导的点． √ D.共有3个不可导的点．
解析：[解析] 定义域内不连续或左、右导数不相等的都是函数不可导的点；此外含有无理根式的函数，求导后使分母为零的点也可能是不可导的点．对以上这几种情况要一一验证 首先讨论使|x -1|=0的点x 1 =1，x 2 =-1 在x 1 =1处．
可知f\" + (1)=f\" - (1)，f(x)在x=1处可导． 在x 2 =-1处，
可知f\" + (-1)≠f\" - (-1)，因而x 2 =-1是f(x)的1个不可导的点． 此外，由于 2
所以x=-4也是f(x)的1个不可导的点． 总之，f(x)共有2个不可导的点，选项C正确．
并非使绝对值号内的函数为零的点一定不可导，本题x 2 =1为一个例证．其原因是x=1使 2.设函数f(x)连续，且（分数：4.00） A.x+2y=0． √ B.x-2y=0． C.2x+y=0． D.2x-y=0． 解析：[解析] 由 从而法线斜率为 故选A．
3.设方程x y+e =1+cos(x +y)确定的隐函数y=y(x)满足 （分数：4.00） A.π-3． B.3-π．
2
x
2
等于0．
，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的法线方程为
，且f(x)连续，故f(0)=0．
，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的法线方程为 ．
，则y\"(0)=
C.π+3． D.-3-π． √
解析：[解析] 将方程两端对x求导数可得 2xy+x y\"+e =-sin(x +y)·(2x+y\") (*) 将 与x=0代入即得1=-y\"(0) 2
x
2
2
x
2
y\"(0)=-1．
2
2
再将(*)式两端对x求导数又有
2y+2xy\"+2xy\"+x y\"+e =-cos(x +y)·(2x+y\") -sin(x +y)·(2+y\")， (**) 将 ，y\"(0)=-1与x=0代入又得
y\"(0)=-3-π．
π+1=-[2+y\"(0)] 即应选D． 4.设，其中k为正常数，则级数 （分数：4.00） A.绝对收敛． √ B.条件收敛． C.发散．
D.收敛或发散与k的取值有关．
解析：[解析] 本题考查数项级数收敛性的判定，其中a 由一定积分给出．一般都用正项级数比较判别法；n 或者使a n 能比一个收敛级数的一般项小(或等)，或者比一个发散级数的一般项大(或等)． 因为x≥0，所以a n 中的被积函数有
从而 收敛，所以原级数 收敛，即绝对收敛．应该选A．
由于p级数 如果这样“放大”： 多做练习才能右所领略．
，就会选D，得出了错误的结论．“放大”或“缩小”是“科技含量”很大的．要
5.已知α，β，γ 1 ，γ 2 ，γ 3 均为4维列向量，若|A|=|α，γ 1 ，γ 2 ，γ 3 |=3，|B|=|β，γ
1
，γ 2 ，γ 3 |=1，则|A+2B|=
（分数：4.00） A.135． √ B.45． C.15． D.81．
解析：[解析] 由A+2B=(α+2β，3γ 1 ，3γ 2 ，3γ 3 ) 知|A+2B|=27|α+2β，γ 1 ，γ 2 ，γ 3 | =27(|A|+2|B|)=135．
6.三元二次型x Ax=(x 1 +3x 2 +ax 3 )(x 1 +5x 2 +bx 3 )的正惯性指数p= （分数：4.00） A.1． √ B.2． C.3．
D.与a、b有关．
T
解析：[解析] 令 T
有x Ax=y 1 y 2 再令 得 因为 ，所以必有p=1． 所以(1)与(2)都是坐标变换． 7.设A，B为两个随机事件，且A A． B． C． D．
（分数：4.00） A. B. C. √ D.
解析：[解析] 方法1：A 方法2： B则 ，所以 ，
B，则
8.设随机变量X与Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，则P{min(X，Y)≤2}=
A.1-e． B.1-e． C.(1-e)． D.(1-e)．
-22-12-4
-2
（分数：4.00） A. B. √ C. D.
解析：[解析] P{min(X，Y)≤2}=1-P{min(X，Y)＞2}=1-P{X＞2，Y＞2} =1-P{X＞2)P{Y＞2}=1-e ·e =1-e ．
-2
-2
-4
二、填空题(总题数：6，分数：24.00)
9.设函数
（分数：4.00） 解析：10.
（分数：4.00） 解析：故填
（分数：4.00） 解析：注意 代入即得 [解析] = 1．
[解析] ．
[解析] = 1．
，则 1．
11.曲线y=xsinz(0≤x≤π)与x轴所围成的图形绕z轴旋转一周所成旋转体的体积V= 1．
12.设函数y=g(x，z)，又方程f(xy，x-z)=0确定了x为x，y的函数，则
（分数：4.00） 解析： [解析] 本题3个变x，y，z；两个方程： 确定了y，z都是x的一元函数，所以求 (*)中两个方程的两分别对x求导：
将 解出 代入得 用求全微分的方法亦可得： 消去dy并整理得
即 的规范形是 1．
13.二次型
（分数：4.00） 解析：由 [解析] 二次型矩阵 矩阵A的特征值：1，3，-2 那么经正交变换则二次型标准形为 而规范形是 用配方法亦可：
亦知规范形是 ，
规范形由正、负惯性指数决定，而求正、负惯性指数可以通过特征值，也可通过配方法． 14.设X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自标准正态总体X的简单随机样本，记
（分数：4.00） 解析：已知 且 ES =1
2
，则ET = 1．
2
[解析] 2
．
，ES =DX=1． 与S 相互独立，也就有 2
与S相互独立．
总之 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)
15.求二元函数z(x，y)=x +48xy+32y 在区域D={(x，y)|x +4y ≤25}上的最大值与最小值．
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解] 首先求函数z(x，y)在区域D内的驻点及驻点处的函数值．令 可得z(x，y)在区域D内有唯一驻点(0，0)，且在驻点处z(0，0)=0．
其次，求函数z(x，y)在区域D的边界x +4y =25即x +4y -25=0上的最大值与最小值．可用拉格朗日乘数法求解，为此引入拉格朗日函数F(x，y，λ)=x +48xy+32y +λ(x +4y -25)，并求它的驻点，即求如下方程绢的非零解：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
由代数知识可得方程组(1)与(2)存在非零解的充分必要条件是系数行列式
即λ +9λ-136=0．
解出可得λ 1 =8，λ 2 =-17．对应于λ 1 =8方程(1)与方程(2)变成3x+8y=0，把它代入方程(3)可解出两个驻点 -2)．
计算函数z(x，y)在区域D的边界上四个驻点处的函数值可得： 2
2
2
与 ．
对应于λ =-17方程(1)与方程(2)变成2x-3y=0，把它代入方程(3)可解出两个驻点P (3，2)与P (-3，2 3 4
z(3，2)=z(-3，-2)=425，把这四个
2
2
函数值与z(0，0)=0比较，即知二元函数z(x，y)=x +48xy+32y 在区域D={(x，y)|x +4y ≤25}上的最大值是425，最小值是-200．
设函数f(x)在区间[0，+∞)上具有二阶连续导数，且f(x)=f\"(0)=0，f\"(x)＞0，若对任意的x＞0，用函数u(x)表示曲线在切点(x，f(x))处的切线在x轴上的截距，如图．
（分数：10.00）
(1).写出函数u(x)的表达式，并求正确答案：()
解析：[解] 如图，设点M的坐标为(x，f(x))，点N的坐标为(x，0)，点P的坐标为(u(x)，0)，则MN的长度是f(x)，NP的长度是x-u(x)，从而由导数的几何意义知
用洛必达法则可得
又因 (2).求．（分数：5.00） ．故
．（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：[解] 16.计算
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：[解] 其中 ，其中区域D是由曲线x +y =1与x+y=1所围并位于第一象限的部分．
2
2
由对称性或换元积分(对第二项积分令 最后 )知
． [解析] 解本题的关键是处理好被积函数中的 ．用直线y=x将区域分割成两部：在x
＞y部分(D 1 )，绝对值取正号；在y＞x部分 ．本题在极坐标系下计算．
无论是定积分或二重积分的题，若被积函数中含绝对值号或开偶数次方的式子(其本质也是带绝对值号)，都要讨论在积分区域内有无变号的问题．一般都是将积分区域分割成若干部分再决定函数符号．画出区域的简单图形是有助于解题的．
17.求函数
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：[解] 而 故 取 即 ，收敛区间为(-1，1) ， ．
．
，
的幂级数展开式，并求级数 之和．
18.设a，b为正常数，且b＞a，证明：
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：[证法1] 设 则 x
x
x
其正负号不能确定，故又令φ(x)=xe -e +1，x≥0 由于φ\"(x)=xe ≥0，所以当x＞0时φ(x)单调递增，
又φ(0)=0，从而φ(x)＞0，即f\"(x)＞0，进而，当x＞0时，f(x)是单调递增的，所以，当b＞a＞0时，有 ，即 ．
满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈(a，b)，使得 [证法2] 显然在[a，b]区间上，函数 其中 ξ
ξ
2
由证法1知，当ξ＞0时，ξe -e +1＞0，又b＞a，ξ ＞0， 所以 ，即 证毕． [解析] 将欲证明的不等式变形为等价的
由此可知辅助函数如何假设．
本题是利用函数单调性(由函数导数的正负号确定)或拉格朗日中值定理证明不等式的一个典型题．当然还可利用柯西中值定理证明．两个关键因素要抓准：辅助函数的假设和其定义区间． 19.已知齐次线性方程组
同解，求a，b，c的值并求满足x 1 =x 2 的解．
（分数：11.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解] 对方程组(Ⅰ)的系数矩阵A作初等行变换，有 可求出(Ⅰ)的基础解系为
η 1 =(-1，1，-4，0) ，η 2 =(-a，0，-3a，1) 对方程组(Ⅱ)的系数矩阵B作初等行变换，有
有b=-1．
由于(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，η 1 ，η 2 也是(Ⅱ)的基础解系，它应是
的解．从而 得a=-2，c=2．
因此(Ⅰ)与(Ⅱ)的通解是k 1 (-1，1，-4，0) +k 2 (2，0，6，1) 由x 1 =x 2 即-k 1 +2k 2 =k 1 知k 1 =k 2
所以满足x 1 =x 2 的解为：k(1，1，2，1) ，k为任意实数．
设A是3阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 是3维列向量，其中α 3 ≠0，若Aα 1 =α 2 ，Aα 2 =α 3 ，Aα
3
T
T
T
T
T
=0．（分数：9.99）
(1).证明α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关．（分数：3.33）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解] 设k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 =0 (1)
因为Aα 1 =α 2 ，Aα 2 =α 3 ，Aα 3 =0，用A左乘(1)式两端，有 k 1 α 2 +k 2 α 3 =0 (2)
再用A左乘(2)式两端，有k 1 α 3 =0． 由于α 3 ≠0，故必有k 1 =0．
把k 1 =0代入(2)得k 2 =0．把k 1 =0，k 2 =0代入(1)得k 3 =0．所以α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关． (2).求矩阵A的特征值和特征向量．（分数：3.33）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解] 由于 据第一小题知α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，即矩阵P=(α 1 ，α 2 ，α 3 )可逆． 从而 因为矩阵B的特征值是λ 1 =λ 2 =λ 3 =0，从而矩阵A的特征值是λ=0(三重根)．
又因r(A)=r(B)=2．所以齐次方程组Ax=0的基础解系仅由n-r(A)=3-2=1个向量构成．即λ=0只有一个线性无关的特征向量．由Aα 3 =0=0α 3 ，α 3 ≠0，故矩阵A的特征向量为kα 3 ，k≠0． (3).求行列式|A+2E|的值．（分数：3.33）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解] 因为A～B有A+2E～B+2E 从而|A+2E|=|B+2E|=8．
设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布的部分数据如下： 已知EX=0，且X与Y不相关．（分数：12.00）
(1).试将分布中的其余数据填入空白处．（分数：4.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解] 首先将空白处填上待求未知数 显然p 11 +0.02=0.1，故p 11 =0.08．
又因0=EX=-1·p 1· +1·p 2· =p 2· -p 1· ，也就有p 1· =p 2· =0.5 所以 而1=0.1+p ·2 +p ·3 =0.1+(p 12 +p 22 )+(0.1+p 23 )，即p 12 +p 22 +p 23 =0.8． 再考虑到P 22 +p 23 =0.48，所以p 12 =0.32，进一步得p 11 =0.08． 总之现有p 11 =0.08，p 12 =0.32，p 22 +p 23 =0.48．
现考虑X，Y不相关，即Cov(X，Y)=0，也就有EXY=EX·EY=0． 而XY的分布 由此得EXY=-0.12+p 11 +p 23 =0，即p 23 =0.04． 而p 22 +p 23 =0.48，p 22 =0.44． 总之 (2).试问X与Y是否独立?（分数：4.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解] X，Y显然不独立，因p ij ≠p i· p ·j· (3).求Cov(X，Y )．（分数：4.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：[解] 2
2
2
2
Cov(X，Y )=E(XY )-EX·E(Y ) EX=0
E(XY2 )=-0.18+0·0.76+0.06=-0.12
故Coy(X，Y )=-0.12．
X，Y不相关不能保证，X，Y 不相关． 但X，Y独立则必有X，Y 相互独立．
设随机变量X与Y相互独立，均服从参数为1的指数分布．记Z =min(X，Y)和Z =max(X，Y)．试求（分1 2 数：11.00）
(1).Z 1 和Z 2 的密度函数f 1 (z)和f 2 (z)．（分数：5.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解] X，Y独立，～E(1)，其密度 指数分布有： 2
2
2
记Z 1 的分布F 1 (z)，
z≤0，F 1 (z)=P{Z 1 ≤z}=P{min(X，Y)≤z}=0
z＞0时，F 1 (z)=P{Z 1 ≤z}=P{min(X，Y)≤z}=1-P{min(X，Y)＞z} =1-P{X＞z，Y＞z}=1-P{X＞z}P{Y＞z} =1-e ·e =1-e- ． 所以 -z
-z
2z
现来求Z 2 的分布F 2 (z)．
F 2 (z)=P{Z 2 ≤z}=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z} =P{X≤z}P{Y≤z}=F X (z)F Y (z)=F (z) (2).求EZ 1 和EZ 2 ．（分数：5.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解] 因Z 1 ～E(2)故 [解析] 题中直接运用公式 记住这公式会很有用． EZ 2 的计算也可以方便用公式
EZ 2 =E(Z 1 +Z 2 )-E(Z 1 )=E(X+Y)-E(Z 1 ) 因为Z 1 +Z 2 =min(X，Y)+max(X，Y)=X+Y．
2
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容