·
第一章 函数
下列函数中，【 C 】不是奇函数 A.
一、选择题
1.
y tan x x
B.
y x
D. y
C. y ( x 1) ( x 1)
2 sin 2 x
x
】
2.
下列各组中，函数 f (x) 与 g( x) 一样 的是【 A.
f ( x) x, g( x)
3 x3
B.
f ( x) 1, g( x) sec2 x
D. f ( x) 2 ln x, g( x)
tan2 x ln x2
C. f ( x) x 1, g(x)
x2 x
1 1
3.
下列函数中，在定义域内是单调增加、有界 的函数是【 A. y C. y
】
x+arctan x
arcsin x
B. y cosx
D. y 】
x sin x
] , 且是单调递增 的是4.
下列函数中，定义域是 [ A. y arcsin x C. y arctan x 函数 y 【
,+
【 B. y arccosx D. y arccot x
arctan x 的定义域是 】
5.
A. (0, )
B. (
, ) 2 2
,+
C. [
, ]
2 2
D. (
)
【
1,1] ，且是单调减少 的函数6.
下列函数中，定义域为 [ 是 A. y arcsin x C. y arctan x 已知函数 y A. ( C. (
】
B. y arccosx D. y arccot x
】
7.
arcsin( x 1) ，则函数 的定义域是 【
, ) , ) , ) , )
B. [ 1,1] D. [ 2,0]
8.
已知函数 y A. ( C. (
arcsin( x 1) ，则函数 的定义域是 【
】
B. [ 1,1]
9.
下列各组函数中， 【 A
2
A. f ( x) ln x 和 g
D. [ 2,0] 】是相同 的函数
x 2ln x B. f (x)
【
x 和 g x
x2
C. f ( x) x 和 g A. f ( x) cos x C. f (x)
x ( x )2
D. f ( x) sin x 和 g(x)
】
arcsin x
10. 设下列函数在其定义域内是增函数 的是
B. f ( x) arccos x D. f (x)
】
tan x arctan x
11. 反正切函数 y arctan x 的定义域是【
A. (
, )
2 2 ,
)
B. (0, )
C. ( D. [ 1,1]
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下列函数是奇函数 的是12. 【
】
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·
A. C. y x arcsin x
B.
y x arccosx x2 arctan x
5 5
y xarccot x
ln sin 3 x 的复合过程为
13. 函数 y 5 【 A
D. y
】
A. y C. y
5 5
u ,u ln v, v w 3 , w sin x
B. y D. y
u 3 , u ln sin x
ln u 3 ,u sin x u , u ln v3 ,v sin x
二、填空题
1.
函数 y arcsin
x
arctan 的定义域是 ___________. 5 5
x
2.
f ( x)
x 2
arcsin 的定义域为 ___________.
3
x
3.
函数 f ( x)
x 2 arcsin x 1 的定义域为 ___________。 4. 5. 6.
7.
设 f ( x) 3x , g( x) 设 f (x)
3
x sin x ,则 g ( f ( x)) =___________. x ln x ,则 f (g( x)) =___________.
x2 , g( x)
f ( x) 2x , g( x) x ln x ,则 f (g( x)) =___________. 设 f ( x) arctan x ,则 f (x) 的值域为 ___________.
设 f (x) 函数 y
8. 9.
x2 arcsin x ,则定义域为 ln( x 2) arcsin x 的定义域为
.
.
10. 函数 y
sin 2 (3x 1) 是由 _________________________ 复合而成 。 第二章 极限与连续
一、选择题
{ xn} 收敛 的
1.
数列 { xn } 有界是数列 【
A. 充分必要条件 C. 必要条件
】
B. 充分条件
D. 既非充分条件又非必要条件
】
2.
函数 f ( x) 在点 x0 处有定义是它在点 x0 处有极限 的 【 A. 充分而非必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要而非充分条件
D. 无关条件
3.
极限 lim(1 x) x x 0
k
e2 ，则 k 【
】
A. 2
极限 lim
x
4.
sin 2x
x
B. 2
【
C. e 2
】
D. e2
A. 2
B.
C. 不存在
D.0 关注我 实时更新 最新资料
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·
5.
极限 lim (1 sin x) x
x 0
【
】
A.
1
B.
C. 不存在
D. e
】 .
6.
函数 f ( x)
x2 x 2
1 ，下列说法正确 的是 【 3x 2
A. C.
x 1为其第二类间断点 x 2 为其跳跃间断点
B. D.
x 1为其可去间断点 x 2 为其振荡间断点
7.
函数 f ( x) A.
0
x 的可去间断点 的个数为 【
sin x
B. 1 C. 2
x 2 x2
】.
D. 3
8.
x 1为函数 f ( x)
1 的【 】 . 3x 2
A. 跳跃间断点 C. 连续点 当 x
B. 无穷间断点 D. 可去间断点
】
9.
0 时， x2 是 x2
x 的 【
A. 低阶无穷小 C. 等价无穷小
10. 下列函数中，定义域是
B. 高阶无穷小
D. 同阶但非等价 的 的无穷小
1,1], 且是单调递减 的是
】 [ 【
A. y arcsin x C. y arctan x
B. y arccosx D. y arccot x
11. 下列命题正确 的是 【
】
A. 有界数列一定收敛 B. 无界数列一定收敛 C. 若数列收敛，则极限唯一
x0 处 的左右极限都存在，
D. 若函数 f (x) 在 x 12. 当变量 x
则 f ( x) 在此点处 的极限存在
】
0 时，与 x2 等价 的无穷小量是 【
B.
A . 13. sin x 1 cos2x
的【 x
x 1
2
C.
】 .
ln 1 x2
x x0
D. e2x
1
x 1是函数 f ( x)
2
A. 无穷间断点 C.跳跃间断点
B. 可去间断点 D. 连续点
】
14. 下列命题正确 的是 【
A. 若 f (x0 )
x x0
A ，则 lim f ( x)
A B. 若 lim
f (x) A，则 f ( x0 ) A
C. 若 lim
x x0
f (x) 存在，则极限唯一
D. 以上说法都不正确
0 时，与 x2 等价 的无穷小量
15. 当变量 x
是
B. 1 cos2x
C.
【 】
A. tan x
ln 1 x2 D. e2 x
1
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·
16. x 0 是函数 f ( x) x2 +1
的【
】 .
1 cos2 x
A. 无穷间断点 B. 可去间断点
C. 跳跃间断点
D. 连续点
17. f (x0 +0) 与 f ( x0 0) 都存在是 f ( x) 在 x0 连续 的 【
】 A. 必要条件 B. 充分条件
C. 充要条件
D. 无关条件
18. 当变量 x
0 时，与 x2 等价 的无穷小量是 【
】
A. arcsin x
B . 1 cos2x
C. ln 1
x2 D. e2 x 19. x 2 是函数 f ( x) x2 1
的
x
3x 2 】 .
2
【
A. 无穷间断点 B. 可去间断点
C. 跳跃间断点
D. 连续点
{ un}
收敛是 { un} 有界 的
20. 【
】
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 无关条件
21. 下面命题正确 的是 【
】
A. 若 { un } 有界，则 { un} 发散 B. 若 {un } 有界，则 { un} 收敛
C. 若 { un } 单调，则 { un} 收敛 D. 若 { un } 收敛，则 { un} 有界 22. 下面命题错误 的是 【
】
A. 若 { un } 收敛，则 { un} 有界 B. 若 {un } 无界，则 { un} 发散
C. 若 { un } 有界，则 { un} 收敛
D. 若 { un } 单调有界，则 { un } 收敛
1
23. 极限 lim(1 3x) x
【
】
x 0
A.
B. 0
C. e 3
D. e
3
1
24. 极限 lim(1 3x) x
【
】
x 0
A.
B. 0
C. e 3
D. e
3
2
25. 极限 lim(1 2x) x
【
】
x 0
A. e4
B. 1
C. e 2 D. e
4
1是函
26. x 数
f ( x) x x3
2
的【
】
xx 2
A. 连续点
B. 可去间断点
C.无穷间断点
D. 跳跃间断点
27. x
2 x
x3 的
是函数
f (x)
【
】
x2 x 2
A. 连续点
B. 可去间断点
C.无穷间断点
D. 跳跃间断点
x
2
x2 4 的
28.
】
是函数 f (x)
【
x2 x 2
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·
A. 连续点
B. 可去间断点
】
C.无穷间断点 D. 跳跃间断点
29. 下列命题不正确 的是 【
A. 收敛数列一定有界
B. 无界数列一定发散 D. 有界数列一定收敛
】
C. 收敛数列 的极限必唯一
2
30. 极限 lim
x
1
x
的结果是【
x 1
1
A.
2
B.
31. 当 x→ 0 时 , x sin 是 【
12
C.
0
D. 不存在
】
x
A. 无穷小量 B. 无穷大量
C. 无界变量
】 .
D. 以上选项都不正确
32.
x 0 是函数 f ( x)
sin x
x
的【
A. 连续点 B. 可去间断点
n
C. 跳跃间断点
D. 无穷间断点
33. 设数列 的通项 xn
A.
xn 发散
x】 1 ( 1) ,则下列命题正确 的是 【
n B. xn 无界 C. xn 收敛 D. xn 单调增加
的值为
34. 极限 lim
x2
x
【
】
x
1
1 B. 1
35. 当 x 0 时 , x sin x 是 x 的【
A. C.
】
0
D. 不存在
A. 高阶无穷小 C. 低阶无穷小
B. 同阶无穷小 , 但不是等价无穷小 D. 等价无穷小 的【
36.
x 0 是函数 f ( x)
1 1 ex
】 .
A. 连续点
B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 1 的数列是 【
】
D. 无穷间断点
37. 观察下列数列 的变化趋势，其中极限是
A. xn
n n 1
3 x x
B. xn
2 ( 1)n
C. xn
1 n
D. xn
1 n
2
1
1
38. 极限 lim
x
0
的值为 【
】
A. 1 B.
下列极限计算错误 的39. 是
1
【
C.
0
D. 不存在
】
sin x 1 A. lim
sin x B. lim
x
x
x 0
x
1
C. lim(1
x
1) x e
x
D.
lim(1 x) x e
x 0
40.
x 1是函数 f ( x)
x x
2
的【
】 .
x 2 x 2
B. 可去间断点
A. 连续点
C. 无穷间断点
】
D. 跳跃间断点
41. 当 x
时， arctanx 的极限 【 关注我 实时更新 最新资料
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·
A.
2
B.
2
C.
D.不存在
下列各式中极限不存在 的42. 是
【 】
3 x 7 A. lim x
x
B. lim
x 1
x2 1
x 1 2 x
2 x2
x 1
C. lim sin 3x
x
2
x cos 1 D. lim x
x
0
x
43. 无穷小量是 【
】
A. 比 0 稍大一点 的一个数
C.以 0 为极限 的一个变量 44. 极限 lim(1
x 0
1
B. 一个很小很小 的数
D. 数 0
x) x 【
】
A.
B. 1
1x 1
1 C. e D. e
的
45.
x 1是函数 f (x) x2
【
】 .
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C.无穷间断点
D. 连续点
x sin
1
x 0
的
46.
x 0 是函数 f ( x)
x 【
】
1 ex
x 0
A. 连续点
B. 可去间断点
】
C.跳跃间断点
D. 无穷间断点
47. lim xsin 的值为 【
1
x 0
x
A. 1 48. 当 x
C. 不存在 B.
时下列函数是无穷小量 的是
D. 0
【
】
A. x cos x
2
sin x D. (1 1) x B. sin x C. x
x
2
49. 设 f ( x)
，则下列结论正确 的是 【 x
2x 1 x 0
1 x 0
x
x
x
】
A. f (x) 在 x C. f (x) 在 x 0 处连续 0 处无极限
B. f (x) 在 x
0 处不连续，但有极限
D. f ( x) 在 x 0 处连续，但无极限
二、填空题
1.
当 x0时， 1 cosx 是 x 2 的 _______________无穷小量 .
sin x2.
的___________ 间断是函数 f ( x) 点 . x 0
x
___________。
3. lim (1 1) 2x
x
0
x
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·
4. 函数 f ( x) arctan
1 的间断点是 x=___________ 。
x
1
5. lim
x2 (ex 1)
___________.
x 0
x sin x
sin x
0
6.
已知分段函数
f (x)
x , x 连续，则 a =___________.
x a, x 0
1
7.
由重要极限可知，
lim 1+2x
x
___________.
x 0
sin x
8.
已知分段函数 0
f ( x)
2 x , x 连续，则 a =___________.
x a, x 0
9.
由重要极限可知， lim (1
1 )x ___________.
x
2x
sin x 1 10. 知分段函数
f ( x)
x 1 , x 1
连续，则 b =___________.
x b, x 1
1
11. 由重要极限可知， lim(1
2x) x ___________.
x 0
12. 当 x→ 1 时， x3 3x 2 与 x2
ln x 相比， _______________ 是高阶无穷小量 2n 5 13. lim 1 1
=___________. n
2n 14. 函数 f ( x)
(x 1)2
的无穷间断点是 x=___________. x 2 2x 3
15. lim
tan2 x =___________.
x 0
3 x
3n 5
16. lim
1
1
=___________.
n
2n
17. 函数 f ( x)
(x 1)2 的可去间断点是 x=___________. x 2 2x 3
18. lim 1 cos x 2
=___________.
x 0
x
2n 5
19. lim 1 3
=___________.
n
2n
x 2 1
的可去间断点是 x=___________.
20. 函数 f ( x) x2
3x
4
21. 当 x 0 时， sin x 与 x3 相比， _______________ 是高阶无穷小量 .
··
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2n
2
·
22. 计算极限 lim 1
n
1
n
=___________.
23. 设函数 f
x
2x 1, x 0
，在 x
0 处连续 , 则 a
__________
x a,
x 0
24. 若当 x
1 时 , f ( x) 是 x 1 的等价无穷小 , 则 lim
f ( x)
_______ .
x
x
x 1
( x 1)( x 1)
25. 计算极限 lim
1 1 =__________.
x
26. 设 f ( x)
ex , x a,
x
x 0, 要使 f ( x) 在 x 0 处连续 , 则 a =
x 0.
.
27. .
x 0 x sin x
当 → 时， 与 x 相比，
是高阶无穷小量
.
28. 计算极限 lim 1
1
4 x 5
=
.
x 1
29. 为使函数 f ( x)
x2 2, x a,
在定义域内连续，则 a = x
x 0
0
.
30. 当 x→ 0 时， 1 cos x 与 sin x 相比， _________________ 是高阶无穷小量 .
4 x 2 与 sin 3 x 相比， _______________ 是高阶无穷小量 . 31. 当 x→ 0 时， 2
32. 当 x→ 1 时，
x 1 与 sin x 1 相比， __________________ 是高阶无穷小量 .
x
x
33. 若 lim 1
k
x
e3 ，则 k =___________.
34. 函数 f ( x)
x 1
x 2
x
3x 4
的无穷间断点是 x=___________.
35. 极限 lim
x2
1 1
=______________ .
x 0
36. 设 f x
x sin 2 , 求 lim f x x
x =___________.
37. 设函数 f ( x)
cos x, a
x 0
在 x 0 处连续，则 a =___________.
x, x 0 sin x
的
38.
x 0 是函数 f ( x)
（填无穷、可去或跳跃）间断点 .
x
39. 函数 f ( x)
x 1
x 2
x
2x 3
的可去间断点是 x=___________.
40.
x
lim 1
2
x
___________
三、计算题
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·
1. x3 求极限 lim
2x 4
2
x 2
x 4
2. 求极限 lim
cos3 x cos2 x
2
x 0
ln(1 x )
x2
3. 求极限
lim (e 1) x 0 x ln(1 6x)
4. 求极限 lim ( ex 1)sin x x 0 (1
xln(1 6x)
5. 求极限
lim
cos x)sin x x
0
x2 ln(1 6x)
6.lim 1 cos x
求极限 x 0
x(e2 x 1)
7. 求极限
lim 1 cos x x
0
ln(1 x2 ) 8.
求极限
lim 2
1 x 1
x 2 1 x 1
第三章 导数与微分
一、选择题
1.
设函数 f
( x) 可导，则 lim f ( x 3h)
f ( x) 【 】
h
0
h
A. 3f ( x)
B. 1 f ( x)
C. 3f ( x)
D.
3
2.
设函数 f (x)可导，则 lim f (1) f (1 x) 【
】
x
0
A. 2f (1)
B.
1
2x
f (1)
C.
2f (1)
D.
1
f (1)
2
2
3.
函数 y
x 在 x 0 处 的导数 【
】
A. 不存在
B.
1
C. 0
D.
4.
设 f (x)
e2 x ，则 f (0) 【
】
A.
8
B. 2
C. 0
D. 1
5.
设 f (x)
x cos x ，则 f ( x) 【
】
A. cosx sin x
B. cosx x sin x
C.
x cosx 2sin x
D.
xcosx 2sin x
6.
设函数 f (x)可导，则 lim f ( x 2h)
f ( x) 【
】
h
h
0
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f (x)
3
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·
A. 2f ( x)
B.
1 2
f ( x)
C.
2 f ( x)
D. 1 2
f (x)
7.
设 y sin f ( x) ，其中 f ( x) 是可导函数，则 y =【 A. cos f ( x) C. cos f (x)
】
B. sin f (x)
D. cos f ( x) f ( x)
8.
设函数 f (x)可导，则 lim f ( x 2h)
f ( x) 【
】
h
0
A. 2f ( x)
B.
1
h
f ( x)
2
C.
2 f ( x)
D. 1
f (x)
2
9.
设 y f (arctan x) ，其中 f (x) 是可导函数，则 y =【
】
A. f (arctan x) B. f (arctan x) (1 D. f (arctan x)
x2 )
2
C. f (arctan x) 1 x
1 x2
】
10. 设 y
f (sin x) ，其中 f ( x) 是可导函数，则 y =【
A. f (sin x)
B. D. f (cos x)
C. f (sin x)cos x
f (cos x)cos x
f ( x 11. 设函数 f (x)可导，则 lim
h
0
A. 3f ( x)
B.
2
3h) f ( x) 【
2h
】
f ( x)
C. f ( x)
D. 3 f ( x)
3 2
(10)12. 设 y=sinx ，则 y | x=0 【 =
A. 1 B. -1
】
C. 0
2h
D. 2 n
13. 设函数 f (x)可导，则 lim f ( x
4h) f ( x) 【
】
h
0
A. 2f ( x)
B. 4 f (x)
C. 3 f ( x)
D. 1 f (x)
2
(7)14. 设 y=sinx ，则 y| x=0 【 =
A. 1 B. 0
】
C. -1
D. 2 n
】
f ( x 15. 设函数 f (x)可导，则 lim
h
0
4h) f ( x) 【
2h
A. -4f ( x) B. 2 f ( x) =【 x
C. - 2 f ( x)
D. 4 f ( x)
(7) 16. 设 y=sinx ，则 y
】
A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 n
已知函数 f ( x) 在 x x0 的某邻域内有定义，则下列说法正确 的17. 是
【
】
A. 若 f ( x) 在 x B. 若 f ( x) 在 x C. 若 f ( x) 在 x
x0 连续 , 则 f (x) 在 x x0 可导
x0 处有极限 , 则 f (x) 在 x x0 连续 x0 连续 , 则 f (x) 在 x x0 可微
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·
D. 若 f (x) 在 x x0 可导 , 则 f (x) 在 x
x0 连续
】
18. 下列关于微分 的等式中，正确 的是 【
A. d(
12 dx D. d(tan x) cot xdx
x x
f ( x) f (0) sin x
设 lim 4 ，则 f 【 】 (0) 19. 2
x 0 x
4
C. d( )
1
2 ) arctan xdx
1 x
1
xxB. d(2 ln 2) 2 dx
A. 3
B.
4
C.
3 2h)
D. 不存在
20. 设函数 f ( x) 在 x
x0 可导，则 lim
f ( x0
h 0
f (x 0 )
【
】
h
A. 2 f ( x0 )
B. f (x0 )
C.
】
2 f (x0 )
D.
f (x0 )
21. 下列关于微分 的等式中，错误 的是 【
A. d(arctan x)
1 dx 1 x2
C. dcosx 22. 设函数 f sin xdx
1 dx 2 xx
D. d(sin x) cos xdx
】
B. d( )
1
x
cosx ，则 f (6) (0) B. 1
【
A. 0
C. -1
D. 不存在
】
x
23. 设 f ( x) e ，则 lim f (1
x 0
x) f (1) 【
x
C.
A. 1
B. e
2e
2h)
2 D. e
24. 设函数 f ( x) 在 x x0 可导，则 lim
f ( x0 h 0
f (x 0 )
【
】
h
C.
】
A. 2 f ( x0 )
B.
f (x0 )
2 f (x0 )
D.
f (x0 )
25. 下列关于微分 的等式中，错误 的是 【
A.
d(arctan x)
1
2 dx
1 x
C. dcosx
sin xdx
1 1 B. d( ) dx
x x2
D. d(sin x) cos xdx
0
h 0
26. 设函数 f ( x) 在 x
x0 处可导，且 f ( x0 ) k ，则 lim
f ( x2h) f ( x)
D.
0 【 】
h
A. 2k
1
k B. 2
C.
2k
1 k 2
】
27. 设函数 f ( x) 在 x0 可导，则 lim
h 0
f ( x0 A. 4 f ( x0 )
B.
1
4h) h
f (x0 ) 【
f ( x0 )
C.
4 f (x0 )
D.
1 f ( x0 ) 4 4
··
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28. 设函数 f ( x) 在 x0 可导且 f ( x0 ) 2 ，则 lim
f ( x0
h 0
h) f ( x0 2h)
【 h
】
A. -2 B. 1
C. 6
】
D.
3
29. 下列求导正确 的是 【
A.
sin x2
2x cos x
B.
sin
4 cos
4
C.
ecos x
2
ecos x
D.
ln 5x
1 x
）。
30. 设 f x
x ln x ，且 f x0 B. e
e
(8)31. 设 y sin x ，则 y=【
A. C.
2 ，则 f x0 =（ e
2
D. 1
】
sin x D. cos x B. cos x C. sin x
f ( x) 是可微函数，则 df (cos x) （ ）． 32. 设 y
A. A. f C. f
(cos x)d x (sin x) cosxdx
B. f D.
(cos x)sin xdx f (cos x)sin xdx
33. 已知 y
A.
x ln x, 则 y 6 1 x5
【
】
B.
1
C.
4! x5
D.
x 5
4!
x
5
二、填空题
1 x 2 1在点 (2,3) 处 的切线方程是 _____________. 2
xe ) 的微分 dy =_____________. 函数 y ln(1 2.
1. 曲线 y
3. 设函数 f ( x) 有任意阶导数且 f ' ( x) 4. 曲线 y
cos x 在点 ( , ) 处 的切线方程是 3 2 esin 2x 的微分 dy =
1f 2 (x) ，则 f ( x)
。
。
5. 函数 y 6. 曲线 y 7. 函数 y
dx 。
x ln x x 在点 x e 处 的切线方程是 _____________.
x 2 1 的微分 dy =_____________. C
某商品 的成本函
8. 数
1100
1 ___________. 1200
Q 2 ，则 Q 900 时 的边际成本是
9. 设函数 y
f ( x) 由参数方程
x
cos sin
所确定，则
dy
dx
=_____________.
y
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10. 函数 y
(2 x 5)9 的微分 dy =_____________.
11. 曲线 f ( x) ln x 在点 (1,0) 处 的法线方程是 ___________. 12. 设函数 y f ( x) 由参数方程
x
a cost bsin t
所确定，则
dy
dx
=_____________.
y 13. 函数 y
ln sin x2 的微分 dy =_____________. 1 Q 2 100
14. 某 商 品 的 成 本 函 数 C
20Q 1600 ， 则 Q 500 时 的 边 际 成 本 是
___________.
15. 设函数 y f ( x) 由参数方程
x t sin t 所确定，则
dy
dx
=_____________.
y 1 cost 16. 函数 y 17. 曲线 y 18. 函数 y 19. 曲线 y 20. 函数 y 21. 曲线 y 22. 函数 y
arctan 1 x2 的微分 dy =_____________.
ln x 1在点 e,2 处 的切线与 y 轴 的交点是 _____________. e2x cos3 x =_____________. 2ln x 1 在点 e,3
ln 2 的微分 dy
处 的切线与 y 轴 的交点是 _____________.
e2x sin 3x ln 2 的微分 dy =_____________.
2ln x2 1在点 1,1 处 的切线与 y 轴 的交点是 ___________.
x2
e sin3 x 6 的微分 dy =___________ .
23. 已知 f ( x0 ) 1，则 lim f ( x0
h 0
2h)
3h
f ( x0)
＝ _____________.
2 x24. 已知函数 y e ，则 y _____________.
的微分 2
1) dy 25. 函数 y ln( x_____________ . (6)
26. 已知函数 y sin x ，则 y
x
2
. .
27. 函数 y xe 的微分 dy =
2
28. 已知曲线 y 2 2x x 的某条切线平行于 x 轴，则该切线 的切点坐标为
ln(cos 2 x) 的微分 dy
29. 函数 y = .
.
30. 已知曲线 y
f x 在 x
2 处 的切线 的倾斜角为
5 6
，则 f
2
.
．
31. 若 y 32. 函数 y
x( x 1)(x 2) ，则 y (0)
arctan 2x 的微分 dy =______________ .
f ( x) 是由参数方程 x
y
33. 已知函数 y
a cost 确定，则 dy b sin t
dx
______________.
··
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34. 函数 y 35. 函数 y
ln 1
的微分 dy x2 =_____________.
lnsin x 的微分 dy =
36. 由参数方程
x t sint
所确定 的函数 的导数
dy dx
．
y 1 cost
三、计算题
1.
设函数 y
x ln(1 x2 ) ，求 dy x 1
2.
求由方程 ex 2 y
xy 所确定 的隐函数 y y x 的导数 y 。
x t 1
求曲线
3. 4.
y t 2 在 t 0相应点处 的切线与法线方程 . x 1 x 2 ，求 dy
.
t
设函数 y
5.
设 是由方程
y
x
y e
y 2
0
所确定 的隐函数，求
dy dy dx dx x
0
。 ,
6.
求椭圆
x 4 cost 在 t
y 2 sint
相应点处 的切线与法线方程 .
4
7.
设函数 y x arctan x ，求 dy .
8.
设 是由方程
yxy
e
x
e
y
0
所确定 的隐函数，求 dy , dy x 0 。
dx dx
9.
求摆线
x t sint 在 t
y 1 cost ln( x
相应点处 的切线与法线方程 .
2
10. 设函数 y
1 x
2
2 d y . 及 ) ，求 y (0)
dx2 11. 求由方程 y
sin( x y) 所确定 的隐函数 y 的导数 .
dx sin ln x esin 2x ，求 x
dy
12. 设函数 y
d2y
13. 求由方程 e
y
dx2
xy e 所确定 的隐函数 y 的导数 y (0).
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14. 设函数
2 ，求 d2 y . dx2
y ln x 1 x
15. 求由方程 x2 y2
1所确定 的隐函数 y 在 x 3处 的导数 y
(3).
16. 设函数 y
arctan 1 x2 cos2x ，求微分 dy . ln(1 ex2 ) sin x 3
sin 2x ，求微分 dy .. 1 ln e x , 求微分 dy .
1所确定 的隐函
数
17. 设函数 y
18. 设函数 y
19. 求由方程 y sin x
20. 求由方程 y sin x
ex y ex y
y 的导数 y 的导数 dydy 并求 并求 dy dx
x 0
.
.
dx
1 所确定 的隐函
数
dy x 0
dx
1 所确定 的隐函
数
dx
21. 求由方程 ycos x y
ex y
y 的导数 dy 并求 dy dx
x 0
.
dx
0 处可导，求 b 的值 .
22. 设函数 f ( x)
2ex
1,
x2
x bx 1, x 0
0
在 x
23. 已知方程 sin( xy) ln( x 1) ln y
1所确定 的隐函数 y y( x) ，求
dy
x 0
.
dx
24. 已知函数 y arctan 1
x2 ，求函数在 x 0 处 的微分 dy
25. 用对数求导法求函数 y xcosx (x 0) 的导数 .
x
求由方程 xy e 26. ey
2 0
0 处 的微分 所确定 的隐函数 y ，求函数在 x dy .
27. 设 y f (sin 2x) , 其中 f 是可微函数，求 y
2 x设 y e cos3 x, 求 dy . 28.
ex y 所确定 的隐函
29. 求由方程 xy
y 的导数
数
dy , dy
dx dx x 1
y 1
.
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30. 求由方程
x y
sin
所确定 的隐函数
的导数
dy dy dx dx x 0
e
31. 设函数
e xy y
,.
f ( x) ln( x
1 x2 ) ，求 f ( x) 和 f (0)
32. 求曲线 x
2et 在 t 0 相应点处 的切线方程与法线方程 .
y e t
0 所确定 的隐函数， 求 y 的导数 dy ,以及该方程表示 y
33. 已知 y 是由方程 sin y xe
的曲
dx
线在点
0,0 处切线 的斜率。
34. 设函数 y cos3 x sin 3x ，求 dy .
四、综合应用题
x ln t 2t y t2 2
1. 求
1相应点处 的切线与法线方在 t 程 .
2． 求
x ln t 3t y t 2 1 x ln t 3t y
在 t
1相应点处 的切线与法线方程 .
3． 求
在 t
1相应点处 的切线与法线方程 .
et 1
t
第四章 微分中值定理与导数应用
一、选择题
sin x 在 [0, ] 上满足罗尔中值定理 的条件，则罗尔中值定理 的结论中
1. 设函数 f ( x) 的
【 A.
】
B.
C.
D.
2 3 1
4
】
2. 下列函数中在闭区间 [1,e] 上满足拉格朗日中值定理条件 的是 【
A. ln x
B.
ln ln x
C.
D. ln( 2 x)
3. 设函数 f ( x) ( x 1)( x
ln x
2)( x 3) ，则方程 f ' ( x) 0 有【
B. 二个实根 D. 无实根
】
】
A. 一个实根 C. 三个实根
4. 下列命题正确 的是 【
A. 若 f (x0 ) 0 ，则 x0 是 f ( x) 的极值点
0
B. 若 x0 是 f ( x) 的极值点，则 f ( x0 )
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C. 若 f (x0 )
0 ，则 x0，f x0 是 f ( x) 的拐点
2x3 3 的拐点
D. 0,3 是 f ( x) x4 5.
若在区间 I 上， f (x) 0, f ( x) 0, , 则曲线 f (x) 在 I 上 【 A. 单调减少且为凹弧
】
B. 单调减少且为凸弧 D. 单调增加且为凸弧
6.
C. 单调增加且为凹弧
下列命题正确 的是 【 A. 若 f (x0 )
】
0 ，则 x0 是 f ( x) 的极值点
( x) 的极值点，B. 若 x0 是 f 则 f ( x0 ) 0
C. 若 f (x0 )
0 ，则 x0，f x0 是 f ( x) 的拐点
2x3
3 的拐点
D. 0,3 是 f ( x) x4 7.
若在区间 I 上， f (x) 0, f ( x) 0, , 则曲线 f (x) 在 I 上 【 A. 单调减少且为凹弧
】
B. 单调减少且为凸弧 D. 单调增加且为凸弧
8.
C. 单调增加且为凹弧 下列命题正确 的是 【 A. 若 f (x0 )
】
0 ，则 x0 是 f ( x) 的极值点
( x) 的极值点，B. 若 x0 是 f 则 f ( x0 ) 0
C. 若 f (x0 )
0 ，则 x0，f x0 是 f ( x) 的拐点
x4 2x3
3 的拐点
D. 0,3 是 f ( x)
9.
若在区间 I 上， f (x) 0, f ( x) 0, , 则曲线 f (x) 在 I 上 【 A. 单调减少且为凹弧 C. 单调增加且为凹弧
】
B. 单调减少且为凸弧 D. 单调增加且为凸弧
2
5x 6, 在闭区间 [2,3] 上满足罗尔定理，则 10. 函数 y x
=【
】
A. 0
B.
1
C.
5
D. 2
2 1 2 1 2
2
11. 函数 y
x2 x 2 在闭区间 [ 1,2] 上满足罗尔定理，则
=【
】
A. 0
B.
C. 1
D. 2
12. 函数 y
x2 1, 在闭区间 [ 2,2] 上满足罗尔定理，则
=【
】
A. 0
B.
C. 1
D. 2
4
方程 x13.
x 1 0 至少有一个根 的区间是 【 】 A. (0, 1/ 2) B. (1/ 2,1) D. (1, 2) C. (2, 3)
x(x 1) . 在闭区间 】
14. 函数 y
1,0 上满足罗尔定理 的条件，由罗尔定理确定 的
【
A. 0
B.
1 2
C. 1
D.
1 2
15. 已知函数 f x
x3 2 x 在闭区间 [ 0, 1] 上连续， 在开区间 (0, 1)内可导， 则拉格朗日定 关注我 实时更新 最新资料
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理成立 的 是【
A.
】
B.
1 3
1 3
C.
1
D.
1
16. 设 y x 3
27 ，那么在区间 (
3 3
,3) 和 (1, ) 内分别为 【 】 B. 单调增加，单调减小 D. 单调减小，单调减小
A.单调增加，单调增加 C.单调减小，单调增加
二、填空题
1. 2. 3. 4.
曲线 f ( x)
x3 3x 2 5 的拐点为 _____________.
2 x 曲线 f ( x) xe 的凹区间为 _____________。 3 2
3x 5 的拐点为 _____________ . x5xf ( x) 曲线
2
y 2x函数
ln x 的单调增区间是 ___________.
5. 函数 y 6. 函数 y 7. 函数 y 8. 函数 y
ex x 1 的极小值点为 _____________.
2x3 9x2 12x 3 的单调减区间是 ___________. 2x2 ln x 的极小值点为 _____________ . ex x 的单调增区间是 ___________.
9.
函数 y x 2x 的极值点为 _____________.
10. 曲线 y 11. 曲线 y 12. 曲线 y
x4 2x3 6 在区间 ( x3 3x2 1在区间 (
,0) 的拐点为 _____________ . ,0) 的拐点为 _____________ .
x3 3x2 6 的拐点为 ___________.
6x2 12x 8 的拐点坐标为 3x 2 在 x _______有极大值 ．
2x3
3
13. 函数 y 2x
.
14. 函数 y 15. 曲线 y 16. 曲线 y
x arctan x 在 x 0处 的切线方程是 ___________.
3x4 4x3 1在区间 (0,
) 的拐点为 _____________.
．
17. 过点 (1,3) 且切线斜率为 2x 的曲线方程是 y =
三、计算题
1.
求极限
1 lim (
x 0
1
)
x ex 1 1 ) x sin x
求极限 lim( 2. x 0
1
x ex 1 3. 求极限 lim
2x ) ln(1 x 0
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x
1 4. 求极限 lim(
)
x 1
x 1
ln x
5. 求极限 lim(
1 1 ) x2 x 0
x sin x
6. 求极限 lim ( 1
1 ) x x 0
x e1
7. 求极限 lim
x sin x
2 x 0
x(ex 1)
四、综合应用题
1. 设函数 f ( x ) 2x 3
3x 2 4 . 求
f ( x ) 的凹凸区间及拐 的单调区间； (1) 函数(2) 曲线 y
点 .
2. 设函数 f ( x ) x 3 3x 2 3 . 求
f ( x) 的凹凸区间及拐(1) 函数 的单调区间； (2) 曲线 y
点 .
3. 设函数 f ( x ) x 3 3x2
9 x 1 . 求 f ( x ) 在 [0,4] 上 的最
值
4.
设函数
f ( x ) 4 x 3 -12 x 2 3 .求 (1) 函数 的单调区间与极值； (2) 曲线 y
f ( x ) 的凹凸区间及拐点 .
5.
某企业每天生产
x 件产品 的总成本函数为 C ( x) 2000 450x 0.02x 2 ，已知此产品 的单价为 500 元，求： (1) 当 x 50 时 的成本； (2) 当 x
50 到 x 60 时利润变化多少
?
(3) 当 x 50 时 的边际利润，并解释其经济意义。
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6.
设生产某种产品 x 个单位 的总成本函数为 C ( x) 900 2x
x2 ，问： x 为多少时能使
平均成本最低，最低 的平均成本是多少？并求此时 的边际成本，解释其经济意义。
7.
某商品 的需求函数为 q 300 3 p ( q 为需求量 , P 为价格 ) 。问该产品售出多少时得到
q 30 时 的边际收入，解释其经济意义。
的收入最大？最大收入是多少元？并求
8.
某工厂要建造一个容积为 最省？
300 m2 的带盖圆桶，问半径 r 和高 h 如何确定，使用 的材料
9. 某商品 的需求函数为 Q 10
1
2 时 的需求弹
并说明其经济意义 . (1) 求 P 性 ,
(2) 当 P 3时 , 若价格 P 上涨 1%, 总收益将变化百分之几
ex cos x 在
P ( Q 为需求量 , P 为价格 ) . 2
?是增加还是减少 ?
10. 求函数 f ( x) ,
上 的最大值及最小值。
11. 某商品 的需求函数为 Q 80P
1 P2 ( Q 为需求量 , P 为价格 ) . 100
并说明其经济意义 .
时 的需求弹性 , (1) 求 P 5000
时 , 若价格 P 上涨 1%, 总收益将变化百分之几 ?是增加还是减少 ? (2) 当 P 5000
12. 某商品 的需求函数为 Q 65 8P P2 ( Q 为需求量 , P 为价格 ) . 时 的边际需
并说明其经济意义 . (1) 求 P 5 求 ,
时 的需求弹
并说明其经济意义 . (2) 求 P 5 性 ,
(3) 当 P 5 时, 若价格 P 上涨 1%, 总收益将如何变化 ?
14. 某商品 的需求函数为 Q 40 2P P2 ( Q 为需求量 , P 为价格 ) .
时 的边际需
并说明其经济意义 . (1) 求 P 5 求 ,
时 的需求弹
并说明其经济意义 . (2) 求 P 5 性 ,
(3) 当 P 5 时, 若价格 P 上涨 1%, 总收益将如何变化 ?
15. 某商品 的需求函数为 Q 35 4P P2 ( Q 为需求量 ,
时 的边际需
并说明其经济意义 . (1) 求 P 5 求 ,
时 的需求弹
并说明其经济意义 . (2) 求 P 5 性 ,
P 为价格 ) .
(3) 当 P 5 时, 若价格 P 上涨 1%, 总收益将如何变化 ?
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32 设函数 f ( x ) 4 x-12 x3 .求 16.
函数 的单调区间与极值； (2)曲线 (1) y
f ( x ) 的凹凸区间及拐点 .
17. 设某企业每季度生产 的产品 的固定成本为
1000( 元 ), 生产 x 单位产品 的可变成本为
0.01x2 10 x ( 元 ). 如果每单位产品 的售价为 30( 元 ) .试求 :
(1)边际成本 , 收益函数 , 边际收益函数 ;
(2)当产品 的产量为何值时利润最大
, 最大 的利润是多少 ?
18.
设函数 f ( x ) x 3 3 x2 9x 1.求
f ( x ) 的凹凸区间及拐
(1) 函数 的单调区间与极值； (2)曲线 y 点 .
19. 求函数 f ( x) sin x cos x 在 [0, ] 上 的极值 .
20 试求 f
x
x3 3x 的单调区间，极值，凹凸区间和拐点坐标
．
五、证明题
1.
证明：当 0 x 时， arctan x x 。
2. 应用拉格朗日中值定理证明不等式：
当 0
a b 时，
b a
ln
b
b a 。
b
a
a
3.
设 f (x) 在 [0,1] 上可导，且 f (1) 0 。证明：存在 (0,1) ，使 f ( ) 立。
4.
设 f (x) 在闭区间 [0, ] 上连续，在开区间 (0,
)内可导，
（ 1）在开区间 (0, )内，求函数 g(x) sin x f ( x) 的导数 .
（ 2）试证：存在
(0, ) ，使 f ( )cot
f ( ) 0 .
.
5.
设 f (x) 在闭区间 [ a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且
f ( a) f (b) 0, （1）在开区间 (a, b) 内，求函数 g( x) e-kx f ( x) 的导数 .
（2）试证：对任意实数
k ，存在 ( a, b) ，使 f ( ) kf (
) .
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6.
求函数 f ( x) arctan x 的导函数，
（2）证明不等式： arctan x2 arctan x1 x2 x1 ，其中 x2 x1 .（提示：可以用中值定理）
7.
证明方程 x5 3x2 10x 1
0 有且只有一个大于 1 的根 .
8.
证明方程 x5 4x2
8x 1有且只有一个大于 1 的根 .
9.
证明方程 x5 3x2
7x 1有且只有一个大于 1 的根 .
10. 设 f (x) 在 [a, b] 上连续 , 在 ( a, b) 内二阶可导， f ( a) f (b) 在点 c (a,b) 使
f (c) 0 . 证明：至少存在一点 ( a,b) ，使 f ( ) 0 .
11. 设 f (x) 在 [0,1] 上连续 ,
在 (0,1) 内可导 , 且 f (0) 0 , f (1) 1.
证明 : (1) 存在 (0,1), 使得 f ( ) 1 ;
(2) 存在两个不同 的
,
(0,1), 使 f ( ) f ( ) 1.
12. 设 f (x) 在 [1,2] 上有二阶导数，且 f (1)
f (2) 0
.又 F ( x) ( x 1)2 f ( x) . 证明：至少存在一点
(1,2) ，使 F ( ) 0
13. 证明方程 x4 x 1
0 在 (0,1) 上有且只有一个根 .
14. 证明：当 0 x 时， arctanx x .
15. 设 f (x) 在 (
,
) 内满足关系式 f '( x) f ( x) ，且 f (0)
1 ，则 f (x)
f x
F ）
设辅助函数 x
e x
第五章
不定积分
一、填空题
1.
若 F (x) 是 f ( x) 的一个原函数 , 则【
】
A.
f ( x)dx F ( x) C
B. f (x)dx F (x) C
C. df (x) F ( x) C
D.
dF ( x) f ( x) C
2.
若 f (x)dx
e2 x
x C , 则 f (x)
【
】
A. 2xe2 x
(1 x)
B. 2e2 x
C. e2x
D.
2e2 x 1 下列哪个函数不是 sin 2x 的原函数
3.
【
】
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0 ,且存
ex 。（提示：
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·
A.
sin 2 x
B. - cos2 x
C. - 1 cos2x
D. cos2 x
f ( x) 2 C , 则 f ( x) =【 4. 若 x 2 dx x
2
】
A.
2 x3
B. 1 x2
3 C. x
D. 3x3
2
2
C , 则 f ( x) = 【 5. 若 f ( x) dx x
】
sin x
2 x sin x A.
f (x)
3
B.
2x cosx
C.
2x sin x
D.
2 x cos x 3
6. 若
dx
A.
cos x 2
x
2
C 则 f (x)=【
B. , 】
x sin x
2x cosx
C.
2x sin x
D.
2 x cos x 7.
3
若 f (x) sin x2
3
2
A. 2x cos x
, 则 f (x)dx 【
】
2
B. sin x
8.
2
C C. cos x2 C D. sin x
设函数 f ( x) 3x3 A. 9x2 C. 3x3
x2 ，则 f (x)dx
【 】
2 x
2
B. 9x3
D. 3x
2x C x2
3
x2
C
x
9.
4
dx 【
x 2
3
】
A. 1 2x C
B. 1 C
C. x 22 C
D. x 2
2
2x C
2 x
10.sin 2xdx
2 x
【
3 3
】
A. 1 cos2x C
2
B. sin x C
2 C. cos2 x C
D.
1
cos2x C 2
二、填空题
1. 设 sin x 是 f (x) 的一个原函数，则[ f ( x)+x]dx _________________________. 2. 若 f (x)dx 3. [
F (x) C ，则
ex f (ex)d x
_________________________ 。
1
dx]'
_________________________.
sin 2x
4. 设 F ( x) 5. 已知 F ( x)
f ( x) ，则 f ( x2 ) 2x d x =__________________. f ( x) ，则 f (cos x)sin x d x __________________.
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6. 设 F ( x)
f ( x) ，则
f (ln x) d x __________________.
7.
x
设 f (x) 的一个原函数为 ln x2 , 则 f ( x)dx
设 f (x) 的一个原函数为 cos x2 , 则 f ( x)dx
_________________________.
8.
_________________________.
9.
设 f (x) 的一个原函数为 xex , 则（ f (x)dx） _________________________.
10. 设 [ln f ( x)]
1 , 则 f ( x) 1 x2
.
11. 已知 f ( x) , 则 f ( x)dx __________________. 的一个原函数为 tan x ,
f ( x) f ( x)dx 12. 已知 f ( x) 则
ex2
.
13.
(ex
x)dx ＝ _______________________ .
dx
． 14.
(1 x)2 x
三、计算题：
1. 2.
求 arcsin xdx 求 e x xdx
3. 求
cos x 2sin x
dx 3
4.
求 xsin xdx
x
求 x e dx
5.
1
6. 求 2 (sin +1)dx
x x
7. 8.
1
2 x
求 x edx
求 x arctan x dx
9.
1 x2 求 x cos xdx
10. 求
1
dx
x 1 x
11. 求 12. 求
arccosxdx
1
dx
x 1 x
13. 求 14. 求
xe3x dx
x 1 x
dx
15. 求
x2 sin xdx
··
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16. 求
1
dx
( x 1)(x 3)
17. 求 18. 求
xe 2 xdx
1 dx
1 3 x 1
19. 求 2x cosxdx 20. 求
x dx
21. 求22. 求
23.
求24.
求25. 求
26. 求
··
1 e
x2 ln xdx tan xdx
arccos xdx. x2 ln xdx
cos x
dx
2sin x 3
e xdx.
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