湖南省湘潭市2018届高三下学期第四次模拟考试理数试题(精编含解析)

2．A【解析】分析：根据二项分布的期望与方差的公式，即可求解随机变量的期望与方差．详解：根据二项分布的期望与方差的公式，即可得

，故选A．

点睛：本题主要考查了二项分布的期望与方差，其中熟记二项分布的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根

”.

，当

时，则有“大于号取两边，即

，小于号取中间，即

4．C【解析】分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程得到双曲线的实轴长．

，利用题设垂直，求得，即可

详解：由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，

所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．

点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．

5．C【解析】分析：利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，化简即可求解．详解：由题意则所以

，故选C．

，

，

点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中熟记三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．

x4 fx，∴函数fx为奇函数，排除B，D.7．A【解析】∵fxxx44441，故排除C，又f44444故选：A

点睛：识图常用的方法

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．8．B【解析】分析：由给定的三视图，得到该几何体由正方体挖去一个四棱锥而得，即可借助正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即可得到几何体的体积．

详解：由三视图可知，该几何体由正方体挖去一个四棱锥而得，其直观图如图所示

则该几何体的体积为，故选B．

点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．

点睛：本题主要考查了椭圆的定义的应用，其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．10．D【解析】分析：把方程

在

内有两个不同的实数根，等价于函数

与

的图象有两个不同的交点，即可借助三角函数的图象与性质，即可求解．详解：由题意，方程等价于函数又由当即可求解

与

在

内有两个不同的实数根，

的图象有两个不同的交点，

，可得

时，结合三角函数

，故选D

的图象，

点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，及函数与方程，其中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．

点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

12．D【解析】函数fxax2exlnx等价于f'xax1ex1在(0,2)上存在两个极值点，x112 在(0,2)上有两个零点，xxx1令f′(x)=0,则ax1ex20 ，

x即x1aex∴x−1=0或aex10 ，x210 ，x21∴x=1满足条件,且aex20 (其中x≠1且x∈(0,2)；

x1∴a ,其中x∈(0,1)∪(1,2)；

exx2设t(x)=ex⋅x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)；则t′(x)=(x2+2x)ex>0，∴函数t(x)是单调增函数，∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2)，∴a∈,,1e1e1.24e本题选择D选项.

点睛：1．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．

2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得． 13．

【解析】分析：根据二项式得到展开式的通项，即可求解

的展开式的通项为

，所以

的系数为

．

的系数．

，

详解：由题意，二项式令

，得

点睛：本题主要考查了二项展开式的指定项的系数问题，其中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15．①③【解析】分析：由题意①中，根据长方体的体积公式，即可求得

的长；②中，根据异面直线

所成的角的定义，即可求解；③中，求出长方体的对角线是外接球的直径，即可求解外接球的表面积．详解：由题意，因为异面直线

与

所成角为

，则

丈、丈、丈，

，解得

尺

尺，故①正确；

，故②错误，

此长方体的长、宽、高分别为

故其外接球的表面积为平分丈，所以③是正确的．

点睛：本题主要考查了长方体的体积、两角异面直线所成的角的应用，以及几何体的外接球的计算等问题，着重考查了学生的空间想象能力，以及推理与计算能力，试题有一定的难度，属于中档试题．

16．【解析】分析：令，得，作出不等式组表示的可行域，

解得，进而可求得得最小值．

点睛：本题主要考查了线性规划的应用，其中正确理解题意，作出不等式组表示平面区域，利用斜率求解的值是解答的关键，对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题． 17．（1）

；（2）

【解析】分析：（1）利用已知条件可列出差数列得通项公式；

的两个方程，联立，解出，从而再由是等

点睛：解决数列求和问题首先要掌握等差数列和等比数列的前项和公式，其次要掌握一些特殊数列的求和方法，设

是等差数列，

是等比数列，则数列

用分组求和法求和，数列

用错位相减

法求和，数列用裂项相消法求和.

18．（1）x0.0044，186（2），没有

【解析】试题分析：（1）由矩形面积和为1，求得x，再由每一个矩形的中点横坐标乘以矩形面积求和可得平均值；

1C62C3（2）①B类用户共9人，打分超过85分的有6人，则即为所求；3C923（2）根据数据完成列联表，利用K2试题解析：解：（1）xnadbc2abcdacbd，计算查表下结论即可.

1(0.0060.00360.0024 20.0012)0.0044，50按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，

所以估计平均用电量为

6759125151751122562753325 186度.

50（2）①B类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超

1C62C315.过85分的概率为3C928②

满意

不满意9312

2合计15924

A类用户B类用户

合计

6612

因为K的观测值k22469631212915 1.63.841，

所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”.

点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 19．（1）为棱

的中点；（2）

或

.

∴又

，∴

，∴

或

或．

，

点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的应用问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

20．（1）证明见解析；（2）.

，即可得到的方程，把直线方程与曲线的方程

；

【解析】分析：（1）依题意得，列出方程组，求得联立，求得

，

，结合向量的运算，即可证得

（2）由（1）知，：

为

，故的方程为，与

联立可得

，设，求出

，则的横坐标为，求出，则

，由题意知

不是定值，

点睛：本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线与抛物线的位置关系和向量知识的运用，解答此类题目确定抛物线安（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解．21．（1）

；（2）

.

点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用和利用导数研究不等式恒成立问题，通常首先通过分离参数，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出极值与最值，进而求出参数的取值范围是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，22．（1）

；（2）

（为参数），消去参数t,可得曲线的普通方

【解析】试题分析：（1）由曲线的参数方程为程为

.

（2）将化直后与曲线C联立得

，进而可求以

，由与曲线相切，所以，

，由极直互化公式可得对应

为直径的圆的直角坐标方程为

【解析】分析：（1）由，得，不等式两边同时平方，即可求解不等式的解集；

，作出

的图象，利用函数的图象，列出不

（2）根据绝对值的意义，去掉绝对值号，得到分段函数等式组详解：（1）由

即可求解实数的取值范围．

，得

，

，

，

．

不等式两边同时平方，得即所以不等式

，解得

或的解集为

点睛：本题主要考查了含绝对值的不等式的求解以及分段函数的图象与性质的应用，其中合理去掉绝对值号和正确利用分段函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．