带插值条件的多项式拟合的改进

科学研究　带插值条件的多项式拟合的改进　吕申壮　（乐山师范学院化学与生命科学学院）　摘要：本文利用拉格朗目乘子法求条件极值，直接给出了带插值条件的多项式拟合的矩阵形式，从而降低了相应的计算量　关键词：拟合插值拉格朗日乘子法　一、引言　（４）式写为矩阵的形式为　０　…０　…　在工程技术和科学实验中，经常会涉及数据拟合和插值问题。插值要　求所得曲线经过每一个实验点。对于实验中得到的一些数据，需要找到它　们隐含的内在规律，通常会对这些离散的数据进行曲线拟合，由于实验可　能带来误差，拟合的曲线不必经过所有数据点。在数据拟合中最常用的方　法就是多项式最小二乘法，要求误差的平方和达到最小，可通过解线性方　程组求出拟合曲线。　；　０　……．　０　；　。．　；　＾　：　●　ｎ　　…　％　’∑　，；　＋Ｉ　（５）　’在进行数据拟合的同时，有时还需要拟合曲线必须经过某些点，这就　．　．　；　ｘｉｍｙ　涉及到带插值条件的拟合问题。文献　对此问题进行了研究。文献【２１给出　了带插值条件多项式拟合问题的存在唯一性定理，并利用定向扰动法给出　了相应的算法，最后证明了此算法与解一个带约束的二次规划问题的算法　等价。文献【３、４】是在拟合多项式的基础上加上一个拉格朗日插值多项式有　关的项，通过推导得到相应的算法。本文通过托格朗日乘子法求条件极值　的方法，直接给出相应的线性方程组（或矩阵的矩阵元），其计算量将减小。　二、带插值条件的最，ｂ－－乘拟合　厶　…寻‘Ｉ　ｉ　０　ｍ…∑ｎ　＝ｔ＋１　ｉ＝ｆ＋１　有了一【：述的矩阵，就可以采用采用高斯消元法（或列主元高斯消元　法、全主元高斯消元法）。由于我们并不关心（＾，　，　＾）的值，若采用　高斯消元法时，在回代时的最后ｔ步可不做。　三、算例　为了与文献４进行对比，以文献【４］的数据作为算例，表１是文献Ｉ４］的　数据。　假定给定离散点为　，Ｙｉ），ｉ＝Ｌ２，…，ｎ，插值条件为　，　），Ｓ＝１，２，…，ｆ，ｔ　ｎ。将离散点重新排列，使满足插值条件的点排在　ｍ　编号　１　２　３　４　５　６　７　Ｊ　８　前面，其它的点排在后面。若以多项式　ｘ）＝　口。　为拟合函数，则问题　变为求条件极值：　ｍｉｎ　时间　／ｈ　０　ｌ　２　３　４　６　７　刀具厚度　／ｍｍ　２２０　８　筠５　２６　３　２６　ｌ　２５　７　２５　３　２４　８　　ｌｌ　＝０　（　］｝Ｊ　　㈩　ｒ“　ｉ＝ｓ＋ｌｎ　ｌ　　Ｉｒ　ｍ　插值条件：必须经过第　一点，采用二次多项式拟合。即ｆ＝１，　＝２，　＝８，　将有关数据代入５式得：　Ｏ　１　７　ｓ．ｔ∑（口，　一Ｙ１）＝ｏ，　ｌ　２－－，ｆ　引入拉格朗日乘数（ａ，　，…，　）可以化为无约束优化问题。令　０　０　２７　口０　２８　１４０　１８１．５　（６）　２　０　２８　１４０　７８４　ｑ　口２　７ｌ７　ｆ（ａｏ，０１，…，　；　，　，・－－，　）＝∑ｌ∑（ａｊｘ／一　）‘！＋∑　∑（　一　）（２）　ｉ￣ｓ＋ｌＬｊ＝Ｏ　Ｊ　ｉ＝１　』　ｏ　求ａ　，　，使，（ａ‘，　’）极小化。为此求ｆ（ａ　，　）对ａ及　诸分量的偏导　数并使之为Ｏ，得下列线性方程组：　０　１４０　７８４　４６７６　３５５５．６　解（６）得：＾＝一０．１０５９，ａｏ＝２７　Ｏ０，ｑ＝－０．１６０９，ａ２＝一０　０２ｌ０，拟合曲　线与文献【４］相同。　２砉　　））　ｚ｝薏：　一＝。㈦，－．－，　ｋ＝０，１，…，　ａａｋ　参考文献　１倪慧，李重，宋红星，李静芳．带插值条件的移动最小一　乘ｌ｝ｆｊ线拟合．　浙江理工大学学报，２０１　１，２８（１）：１３５￣１３９　（３）　２陈国芬．带插值条件的多项式拟合问题．江汉大学学报（自然科学　版），１９８７，第１期（总第７期）：５７￣６９　∑ｎ　∑　＋÷∑＾　：∑　ｋ＝０，ｌ，…，　３＝０　（４）　３田晶京．带插值条件的最小二：乘法曲线拟合在油罐计量系统中的应　用研究．工业仪表与自动化装置，２０１１，第６期：３～７　４颜宁生．带插值条件的最小二乘法．北京服装学院学报，２００７，２７（２）：　４２￣４８　∑　＝Ｙｋ　进一步证明了合理设定Ｒｃ的乘积的必要性，因此我们在选择电容电阻时　应选择一秒以ｔ的反应时间所对应的电压来进行试验。　５．对比表３和表４，电容不变，电阻越大测量越不准确。　综上所述，在进行放电实验时，应尽可能让电阻与电压表内阻差距较　大，在此范围内同时减小电容值，在人的反应时间可控的范围内，测量时『日Ｊ　越短得到数据越精确。■　参考文献　２．测量数据在电容电压比电源电压比例为５０％时最接近理论值，说明　在排除人的反应时间之后，放电时间越短测量数据越准确，因为放电过程　存在电压表的电阻干扰，导致放电时间不准确，所以相对来讲测量时间越　短越准确。　３．对比表ｌ和表２，电阻相同时，电容相对较小测量数值越准确。　４．对比表１和表３，当电容电阻乘积相等时，电阻越大造成数据偏差　大，因为电阻越大电压表内阻影响就越明显。　《青海师专学报》２００５年第４期ｌ乜国荃信息科学系青海西宁８１０００７　青海民族学院电子工程与　作者简介：姓名：李煜斐（１９９８年），性别：男，民族：汉，籍贯：陕西省宝　鸡市扶风县杏林镇菊花村，学历：高中，单位：西安市第七十中学　—　１６