线性拟合和二次拟合函数

线性拟合

给定一组数据，做拟合直线，均方误差为

（6.2）

是二元函数，的极小值要满足

整理得到拟合曲线满足的方程：

（6.3）

或

称式（6.3）为拟合曲线的法方程。用消元法或克莱姆法则解出方程：

a=

=

例6.1 下表为P. Sale及R. Dybdall在某处作的鱼类抽样调查，表中为鱼的数量，为鱼的种类。请用线性函数拟合鱼的数量和种类的函数关系。

13 11 40 13 15 10 42 14 16 11 55 22 21 12 60 14 22 12 62 21 23 13 64 21 25 13 70 24 29 12 17 30 14 23 31 16 34 36 17 72 100 130 解：设拟合直线

编号 1 2 3 4 5 21 ∑ ，并计算得下表： x 13 15 16 21 22 130 956 y 11 10 11 12 12 34 344 xy 143 150 176 252 264 x2 169 225 256 441 484 4420 16900 18913 61640 将数据代入法方程组（6.3）中，得到：

解方程得：= 8.2084，= 0.1795

拟合直线为： 二次拟合函数

= 8.2084 + 0.1795

给定数据序列，用二次多项式函数拟合这组数据。

设，作出拟合函数与数据序列的均方误差：

（6.4）

由多元函数的极值原理，的极小值满足

整理得二次多项式函数拟合的法方程：

（6.5）

解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟保多项式阶

。方程组（6.5）称为多项式拟合

时，法方程的系数矩阵是病

态的，在计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解的准确性。

例6.2 给定一组数据，如下表。用二次多项式函数拟合的这组数据。

－3 4 －2 2 －1 3 0 0 1 －1 2 －2 3 －5 解：设

－3 －2 －1 0 1 2 3 4 2 3 0 1 2 5 1 ，由计算得下表：

－12 －4 －3 0 －1 －4 －15 －39 9 4 1 0 1 4 9 81 16 1 0 1 16 81 96 36 －27 8 3 0 －8 －1 0 －1 1 －8 8 －45 27 －7 0 28 将数据代入式（6.5），相应的法方程为：

解方程得：=0.66667，=－1.39286，=－0.13095

∴= 0.66667－1.39286－0.13095

拟合曲线的均方误差： 结果见图6.3。

=3.09524

6.3 拟合曲线与数据序

图