2012江苏高考数学试卷及答案解析word版[1]

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ 注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 棱锥的体积V 一、

填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相．．．．

1Sh，其中S为底面积，h为高。 3应位置上． ．．．．

2，4}，B{2，4，6}，则AB ▲ ． 1. 已知集合A{1，答案：1,2,4,6

2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校

高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 答案：15

bR，abi3. 设a，值为 ▲ ． 答案：8

117i（i为虚数单位），则ab的12i4. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．

（第4题）

答案：5

5. 函数f(x)12log6x的定义域为 ▲ ．

答案：0,6

6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中

随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 答案：

3 57. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm，AA12cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为 ▲ cm3． 答案：6

x2y21的离8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线

mm24心率为5，则m的值为 ▲ ． 答案：2

9. 如图，在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，

（第7题）

若ABAF2，则AEBF的值是 ▲ ．

答案：2 D F C 1]上，10. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1，E 1≤x0，ax1，f(x)bx2bR．若其中a，，0≤x≤1，x1则a3b的值为 ▲ ． 答案：10

13ff，22A B （第9题）

411. 设为锐角，若cos，则sin2的值为 ▲ ．

6512答案：172 5012. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至

少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ． 答案：k4 3)，若关于x的不等式f(x)c的13. 已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为[0，m6)，则实数c的值为 ▲ ． 解集为(m，答案：9

b，c满足：5c3a≤b≤4ca，clnb≥aclnc，则14. 已知正数a，答案：e,7 二、

b的取值范围是 ▲ ． a解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写．．．．．．．

出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）

在ABC中，已知ABAC3BABC．

（1） 求证：tanB3tanA； （2） 若cosC解： （1）

5，求A的值． 5∵ABAC3BABC

∴ABACcosA3BABCcosB ∴ACcosA3BCcosB

由正弦定理得：

ACsinBBCsinA

cosA3sinAcosB ∴sinB∴tanB3tanA （2）

∵cosC5，且0C 525 5∴sinC∴tanC2 ∴tanAB2 又∵tanB3tanA

tanAtanBtanA3tanA4tanA

1tanAtanB1tanAtanB13tan2A1∴tanA1或

3∴2∵tanB3tanA

∴A，B必为锐角，否则A，B同时为钝角，这与三角形的内角和小于180矛盾 ∴tanA0 ∴tanA1 ∴A

16. （本小题满分14分）

4

E分别是棱BC，如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，CC1上的点（点F为B1C1的中点． D 不同于点C），且ADDE，求证：

（1） 平面ADE平面BCC1B1； （2） 直线A1F//平面ADE． 证明： （1）

∵三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱

∴CC1平面ABC ∵AD平面ABC ∴CC1AD

∵ADDE，且DECC1E ∴AD平面BCC1B1 ∵AD平面ABC

∴平面ADE平面BCC1B1 （2）

∵AD平面BCC1B1，

BC平面BCC1B1

∴ADBC

∵直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1 ∴ABAC ∴D是BC的中点 ∵F是B1C1的中点

∴DFAA1，且DFAA1 ∴四边形AA1FD是平行四边形 ∴A1FAD

∵A1F平面ADE，A1F平面ADE ∴A1F//平面ADE

17. （本小题满分14分）

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx1(1k2)x2(k0)表20示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1） 求炮的最大射程；

（2） 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横

坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

y（千米） O （第17题） x（千米）

解： （1）

∵炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为ykx炮弹落地点的横坐标

∴令y0，则炮的射程可表示为x1(1k2)x2(k0)，炮的射程是指20k11k220

∴炮的最大射程即x的最大值 由题意得x0，k0 ∴xk11k220202010km，当且仅当k2时，等号成立 1k2k∴炮的最大射程是10km。 （2）

∵飞行物在第一象限内，其飞行高度为3.2千米，横坐标为a ∴飞行物的坐标为a,3.2

∴炮弹可以击中它，即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程 ∴将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得：

3.2ka1(1k2)a2(k0) 20∴关于k的方程在k0上有解

222∴ak20aka640有正根

∵a0

∴只需20a4a∴a6

即a只需要不超过6km即可。

18. （本小题满分16分）

已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点． （1） 求a和b的值；

（2） 设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点；

22a2640

2]，求函数yh(x)的零点个数． （3） 设h(x)f(f(x))c，其中c[2，解： （1）

∵1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点 ∴1和1是方程f'(x)3x22axb0的两个根 由韦达定理得

112ab，11 33∴a0，b3 （2）

∵函数g(x)的导函数g(x)f(x)2

∴令g(x)f(x)2x33x2x1x2x2x1解得x11，x22

①当xx1时，g'x0，当xx1时，g'x0， ∴x11不是gx的极值点

②当xx2时，g'x0，当xx2时，g'x0， ∴x12是gx的极大值点

2x20

（3）

令fxt，则hxftc

讨论关于x的方程fxd,d2,2的根的情况

当d2时，由（2）得fx2的两个不同的根为1和2，注意到fx是奇函数，所以fx2的两个不同的根为1和2。

当d2时，因为f1df2d2d0，f1df2d2d0 所以2,1,1,2都不是fxd的根，由（1）知f'x3x1x1

① 当x2,时，f'x0，于是fx是单调递增函数，从而fxf22，

此时fxd无实根，同理，fxd在,2上无实根。

② 当x1,2时，f'x0，于是fx是单调递增函数，又f1d0，

f2d0，yfxd的图像不间断，所以fxd在1,2内有唯一实根，

同理，fxd在2,1内有唯一实根。

③ 当x11故fx是单调减函数，又f1d0，f1d0，,时，f'x0，

yfxd的图像不间断，所以fxd在11,内有唯一实根。

由上可知，当d2时，fxd有两个不同的根x1，x2满足x11，x22； 当d2时，fxd有三个不同的根x3，x4，x5满足xi2,i3,4,5； 现考虑函数yhx的零点：

（1） 当c2时，ftc有两个根t1,t2满足t11，t22，而fxt1有三个不

同的根，fxt2有两个不同的根，故yhx有5个零点；

（2） 当c2时，ftc有三个不同的根t3,t4,t5满足ti2,i3,4,5，而

fxtii3,4,5有三个不同的根，故yhx有9个零点；

综上所述，当c2时，函数yhx有5个零点；当c2时，函数yhx有9个零点。

19. （本小题满分16分）

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，

ab3e)和e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． F2(c，0)．已知(1，2（1） 求椭圆的方程；

（2） 设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1y 交于点P． A （i） 若AF1BF26，求直线AF1的斜率； 2F1 O P B （ii） 求证：PF1PF2是定值．

解： （1）

F2 x （第19题）

x2y23e)和e，都在椭圆上 ∵椭圆的方程为221(ab0)，(1，ab2∴带入椭圆的方程得：

1e2a2b212 3221e22bac222由e及abc解得：

aa22，b21，c21

x2y21 ∴椭圆的方程为2（2） （i）

设直线AF1的斜率为k ∵直线AF1与直线BF2平行

∴直线BF2的斜率也为k

∵左、右焦点的坐标分别为F1(1，0)，F2(1，0)

∴直线AF1的方程为ykx1，直线BF2的方程为ykx1 设Ax1,y1，Bx2,y2，

∵A，B是椭圆上位于x轴上方的两点 ∴y10，y20

x22kk2k22y1222由2得2k1y2kyk20，∴y1 22k1ykx1x22kk2k22y1222由2得2k1y2kyk20，∴y2 22k1ykx1∴AF1x11y10222y121k21k2kk2k222 y1y12222kkk2k1y221k21k2kk2k222 y2y2k2k2k22k21同理BF2x21y206 22∵AF1BF21k2kk2k221k2kk2k22k22k21k22k211k2k21k2k2621 26 2∴

kk2k22kk2k22222k12k12k22k1

2解得：k∵AF1BF2∴AF1BF2 ∴k0

∴k2 2（ii）

∵直线AF1直线BF2 ∴

PBBF2 PF1AF1PBPF1BF2AF1 PF1AF1∴

∵PBPF1BF1 ∴PF1AF1BF1

AF1BF2∵BF1BF222 ∴PF1AF122BF2

AF1BF2同理PF2BF222AF1

AF1BF2PF1PF2

AF1BF222BF222AF1

AF1BF2AF1BF2222AF1BF2

AF1BF2由（i）得

1k2k2121k2kk2k22AF1， 222k2k12k1221k2kk2k221kk12BF2

k22k212k21∴AF1BF2

1k2k2121k2k212 222k12k12k211k222k222122

1k2k1 2k12k212 2k1AF1BF2

1k2k2121k2k212 222k12k122k212k212AF1BF2

AF1BF2

∴

k21222k1 22k212k2112 22∴PF1PF2

222AF1BF2

AF1BF22 22232 2∴PF1PF2是定值

20. （本小题满分16分）

已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an1anbnan2bn2，nN．

2bbnn（1） 设bn11，nN，求证：数列是等差数列；

anan（2） 设bn12解： （1）

bn，nN，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． anb221nbban∵n1nan1ananbna2b2nn（2）

∵an0，bn0

2a2b2bnnnanan2b2n1nN* an2anbn∴

2∴1an12an2bn2anbn

anbnanbn2222

∵{an}是各项都为正数的等比数列 ∴设其公比为q，则q0 ①当q1时， ∵an0

∴数列an是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得an12 ②当0q1时

∵an0

∴数列an是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得an11 由①②得：q1 ∴ana1nN* ∵1an1anbnanbn222

得：a1a1bnabn212，且1a12 a1a122a12∴bn a121∵bn12bn2bn，nN* ana1∴数列bn是公比为∵1a12 ∴

2的等比数列 a121 a121时 a1① 当

a1a122a12数列bn是单调递增的数列，这与bn矛盾 2a11② 当21时 a1数列bn是常数数列，符合题意 ∴a12 ∴bn2 ∴b12