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5-4完全平方数

教学目标

完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.

知识点拨

一、完全平方数常用性质 1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。

2.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

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6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：a2b2(ab)(ab)

例题精讲

模块一、完全平方数基本性质和概念

【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)是 的平方． 【解析】 123456765432111111112，123456765432172，

原式(11111117)277777772．

【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456，

这个算式的得数能否是某个数的平方？ 【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是

0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．

这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．

【例 2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.

如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?

18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 【解析】 设该数为p1a1p2a2pnan，那么它的平方就是p12a1p22a2pn2an，

因此2a112a21由于39139313，

⑴所以，2a113，2a2113，可得a11，a26；

5-4.完全平方数.题库 教师版 page 2 of 7 2an139．

故该数的约数个数为116114个；

⑵或者，2a1139，可得a119，那么该数的约数个数为19120个． 所以这个数的约数个数为14个或者20个．

【例 3】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．

而722332266，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，

由于2313119222008232322048，所以212、222、……、2312都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．

【巩固】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________． 【解析】 先将1016分解质因数：101623127，由于1016a是一个完全平方数，所以至少为241272，

故a最小为2127254．

【巩固】 已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。 【解析】 要使3528a是某个自然数的平方，必须使3528a各个不同质因数的个数为偶数，3528233272，

由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a为2可以使3528a是完全平方数，故a至少为2．

【例 4】 已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。

【解析】 先将12!分解质因数：12!2103552711，由于12!除以n得到一个完全平方数，那么这个完

全平方数是12!的约数，那么最大可以为2103452， 所以n最小为12!21034523711231．

本题也可以这样想，既然12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3，7，11的幂次是奇数，所以n的最小值是3711231．

【巩固】 考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为

一个完全平方数，划去的那个数是 ． 【解析】 设这32个数的乘积为A．

A1!2!3!(1!3!32!(1!)22(3!)2432)(1!3!(31!)232 31!)221616!，

31!)2(24所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数． 另外，由于16!1615!，而16也是完全平方数，所以划去15!也满足题意．

【例 5】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？

【解析】 设这个数减去63为A2，减去100为B2，则A2B2ABAB1006337371，

可知AB37，且AB1，所以A19，B18，这样这个数为182100424．

【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、B2，那么这两个完全平方数的差为

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54ABAB，由于AB和AB的奇偶性质相同，所以ABAB不是4的倍数，

就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．

【巩固】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数． 【解析】 设这三个数从大到小分别为A2、B2、C2，那么有ABAB80，ACAC140，

因为1402257，AC、AC同奇同偶，所以有AC14，AC10或AC70，

AC2，分别解得A12，C2和A36，C34，对于后者没有满足条件的B，所以A只

能等于12，C2，继而求得B8，所以这三个数分别为12、8、2．

【例 6】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的

最小值为 ． 【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：

一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．

设中间数是x,则它们的和为5x, 中间三数的和为3x．5x是平方数，设5x52a2,则x5a2，所以a2至少含有3和5的质因数各2个, 即a2至少是225,中间的3x15a235a2是立方数，

数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．

【巩固】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数． 【解析】 为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为

2a3b5c，由于它乘以2以后是完全平方数，即2a13b5c是完全平方数，则(a1)、b、c都

是2的倍数；

同理可知a、(b1)、c是3的倍数，a、b、(c1)是5的倍数．

所以，a是3和5的倍数，且除以2余1；b是2和5的倍数，且除以3余2；c是2和3的倍数，且除以5余4．可以求得a、b、c的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为215320524．

【例 7】 两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？

【解析】 设这两个完全平方数分别是A2和B2，且A2B277，则两个完全平方数的和可以表示为

772B2，所以B越大，平方和越大，B越小，平方和越小，而ABAB77，

77711177，当AB77，AB1时，B取得最大值38，此时两个完全平方数的和最

大，为2965；当AB11，AB7时，B取得最小值2，此时两个完全平方数的和最小，为85．

【巩固】 (2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的

末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案) 【解析】 设这两个两位数中较小的那个为n，则另外一个为n14，由题知，

(n14)2n2100k (k为正整数)，即7n725k，由于7,251，所以25n7，由于n与

n14均为两位数，所以17n792，故n7可能为25、50或者75，n可能为18、43或者

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68．经检验，n18、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82．

【例 8】 A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五

位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为 ． 【解析】如果把B放在A的左边，得到的五位数为100BA601A；如果把B放在A的右边，得到的五

位数为1000AB1006A；这两个数的差为1006A601A405A，是一个完全平方数，而所以A是5与一个完全平方数的乘积．A又是一个两位数，所以可以为522、405925，532、542，A的所有可能取值之和为522532542145．

【巩固】 已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与

一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________． 【解析】本题综合利用数论知识，因为AB是一个质数，所以B不能为偶数，且同时BC是一个完全平方

数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B为1或3，C6．由于CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在61～69中只有63和68符合条件，那么A为3或8．那么AB可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368．

【例 9】 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均

小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． 【解析】 设这个四位数为abcdm2①，

由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故 (a3)(b3)(c3)(d3)n2②

由②①得：3333n2m3(nm)(nm)③

将3333分解质因数，有3333311101，其有1111118个约数，但是有nmnm，所以只有4种可能，即333313333311111130333101．

由于m2abcd1000，故m30，所以nmnm2m60；

又n2(a3)(b3)(c3)(d3)10000，所以n100，故nmnm2n200； 一一检验，只有33101满足1013360且10133200，所以nm101，nm33，得

m34，原来的四位数为3421156．

【例 10】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数． 【解析】 平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，

所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838，所以满足条件的最小正整数是1444．

【例 11】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能

够，请举出一例；若不能够，请说明理由． 【解析】 因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，因此任一正整数的平方n2被4除余0或1．

2，3，4，ij)．又2002被4除余假设存在四个正整数n1、n2、n3、n4，使得ninj2002m2(i，j1，2，故ninj被4除余2或3．

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若n1、n2、n3、n4中有两个偶数，如n1、n2是偶数，那么n1n2是4的倍数，ninj2002被4除余2，，所以不可能是完全平方数；

因此n1、n2、n3、n4中至多只有一个偶数，至少有三个奇数．设n1、n2、n3为奇数，n4为偶数，那么n1、n2、n3被4除余1或3，所以n1、n2、n3中至少有两个数余数相同．如n1、n2被4除余数相同，同为1或3，那么

n1n2被4除余1，所以n1n22002被4除余3，不是完全平方数；

综上，ninj2002不可能全是完全平方数．

【巩固】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【解析】 由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现

在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．

【例 12】 (2004年华杯赛)三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为

“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？ 【解析】 60345是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60．任何三个连续

正整数，必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3．若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4．另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除．所以，任何美妙数必有因子5．由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60．

综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60．

【例 13】 (2004年南京市少年数学智力冬令营)记S(123n)(4k3)，这里n3．当k在1至

100之间取正整数值时，有 个不同的k，使得S是一个正整数的平方． 【解析】 一个平方数除以4的余数是0或1．当n4时，S除以4余3，所以S不是平方数；当n3时，

当k在1至100之间时，S在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：52，72，S4k9，

92，112，132，152，172，192，其中每1个平方数对应1个k，所以答案为8．

【例 14】 (2007年“走进美妙的数学花园”)称能表示成123k的形式的自然数为三角数．有一

个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数．则N ． 【解析】 依题有123个奇数，有奇数ka2，即k(k1)2a2．因为k与k1是两个连续自然数，其中必有一

相邻偶数相邻偶数“奇数”与“”也互质，于a2．又由相邻自然数互质知，

22相邻偶数是奇数m2，n2 (amn)，而a2为四位数，有32a99，即32mn99，又

2m2与2n2相邻，有7m12．

当m7时，m249，相邻偶数为50时，n5满足条件，这时a2(75)21225，即N1225； 当m9时，m281，相邻偶数为80和82都不满足条件； 当m11时，m2121，相邻偶数为120和122都不满足条件． 所以，N1225．

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