解三角形.01正余弦定理(A级).学生版

正余弦定理

高考要求

内容 正弦定理 解三角形 余弦定理 解三角形 要求层次 C C C 掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题． 重难点 知识框架

正弦定理余弦定理解三角形三角形面积公式

三角形中的实际应用知识内容

1． 直角三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a． （1）三边之间的关系：a2b2c2．(勾股定理) （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；

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（3）边角之间的关系：(锐角三角函数定义)

sinA＝cosB＝

aba，cosA＝sinB＝，tanA＝． ccb2． 斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边． （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π．

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．

abc2R．(R为外接圆半径) sinAsinBsinC（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的

两倍．

b2c2a2,cosA2bc222abc2bccosA,a2c2b2222, bac2accosB,cosB2acc2a2b22abcosC.a2b2c2.cosC2ab3． 三角形的面积公式：

（1）S△＝

111aha＝bhb＝chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高)； 222（2） S△＝

111absinC＝bcsinA＝acsinB； 222a2sinBsinCb2sinCsinAc2sinAsinB（3） S△＝＝＝；

2sin(BC)2sin(CA)2sin(AB)（4）S△＝2R2sinAsinBsinC．(R为外接圆半径) （5）S△＝

abc； 4R1（6）S=s(sa)(sb)(sc)；s(abc)；(海伦公式)

21（7）S△＝r·s． s(abc)

24． 解三角形：

由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形

解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C． （1）角与角关系：A+B+C = π；

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（2）边与边关系：abc，bc0，cab，abc，bca，cab； （3）边与角关系：正余弦定理． 5． 推论：正余弦定理的边角互换功能

①a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC ②sinA③

abc，sinB，sinC 2R2R2Rabcabc==2R sinAsinBsinCsinAsinBsinC④a:b:csinA:sinB:sinC

⑤sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA

2 sinBsi2nCs2iAn2CsinAsi nBcossin2Csin2Asin2B2sinAsinBcosC

⑥设a,b,c是ABC的角A、B、C的对边（假设C为ABC最大的角）

若a2b2c2，则C90，ABC为直角三角形． 若a2b2c2，则C90，ABC为锐角三角形． 若a2b2c2，则C90，ABC为钝角三角形． ⑦若sin2Asin2B，则AB或AB⑧sinAsinB2．

ababAB 2R2R6． 三角形中的基本关系式：

sin(BC)sinA，cos(BC)cosA，

sinBCABCAcos，cossin 2222解斜三角形和证明三角形全等或相似类似，已知条件必须能确定这个三角形，才能求出唯一的其他未知条件的解．如果已知条件不能确定一个三角形，则可能无解或有两解，如两边和一个非两边夹角．大致可以把解斜三角形用下面的表格来概括：

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例题精讲

1． 正弦定理

【例1】（2011年北京9）在

【例2】（2011年东城二模11）在△ABC中，若B

BC23，【例3】（2011年福建）如图，ABC中，ABAC2，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则

，tanA2，则sinA_______，a______． ABC中，若b5，B4π，b2a，则C ． 4AD的长度等于______

AB

【例4】在ABC中，已知cosAA．

DC

53，sinB，则cosC的值为（ ） 1351656165616 B． C． 或 D． 

6565656565b1，SABC3，则【例5】在ABCC中，A60，abc= ．

sinAsinBsinC

【例6】(2011年辽宁4)ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，，bc，asinAsinBbcos2A2a则

b=（ ） aA． 23 B． 22 C．3 D．2

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【例7】(2011年全国新课标科16)在ABC中，B60，AC3，则AB2BC的最大值为

2． 余弦定理

【例8】（2010年北京10）在△ABC中，若b＝1，c3，C

【例9】（2010年上海）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为

A．不能作出这样的三角形 C．作出一个直角三角形

【例10】（2010年江西）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF（ ）

A．

2AB3BD，BC2BD，【例11】(2011年天津6)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2，则a 。 3111，，（ ） 13115

B．作出一个锐角三角形 D．作出一个钝角三角形

1627

B．

23

C．33

D．

34

则sinC的值为（ ） A． C．

33 B． 3666 D． 36BADC【例12】(2011年重庆6)若ABC的内角A，bc满足(ab)2c24，且C60，则abB，C所对的边a，，的值为（ ） A．

42 B．843 C．1 D， 33高中数学.解三角形.01.正余弦定理（A级）.学生版

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【例13】(2011年四川6)在ABC中sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是（ ）

A．(0，

【例14】(2011年安徽14)已知ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为______________

3． 正余弦定理

【例15】（2006年北京12）在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则B的大小是______________．

【例16】(2010年天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，

则A＝( ) A．30°

【例17】（2010年西城一模15）如图，在四边形ABCD中，AB3，ADBCCD2，A60．

（Ⅰ）求sinABD的值； （Ⅱ）求BCD的面积．

A

B

D

C

B．60° C．120°

D．150°

] B．[ ，) C．0， D．， 6633MSDC模块化分级讲义体系 高中数学.解三角形.01.正余弦定理（A级）.学生版 Page 6 of 10

【例18】在ABC中，sinAcosA=

2，AC2，AB3，求tanA的值和ABC的面积． 2【例19】（2009年北京15）在ABC中，角A，b，，cBB，C的对边分别为a，（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求ABC的面积．

4，cosA，b3． 35bc且cosBB，C的对边分别是a，，【例20】（2011年西城一模15）在ABC中，内角A，4，b2． 55（Ⅰ）当a时，求角A的度数；

3（Ⅱ）求ABC面积的最大值．

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【例21】（2011年东城一模15）在△ABC中，角A，bc，cosCB，C的对边分别为a，，（Ⅰ）求证：AB；

（Ⅱ）若ABC的面积S15，求c的值．

24，c2bcosA． 5

3【例22】(2011年朝阳一模) 在锐角ABC中，，角A，bc，已知cos2C． B，C的对边分别为a，，4（Ⅰ）求sinC；

（Ⅱ）当c2a，且b37时，求a．

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课后检测

1【习题1】（2007年北京理11）在△ABC中，若tanA，C150，BC1，则AB 3．

【习题2】（2011年西城二模9）在△ABC中，若B2A，a:b1:3，则A_____．

【习题3】（2010年广东）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b3，

AC2B，则sinC ．

【习题4】(2010年天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b23bc，

sinC23sinB，则A（ ）

A．30 B．60 C．120 D．150

【习题5】(2011年西城一模) 设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos=B（Ⅰ）当A30时，求a的值；

（Ⅱ）当ABC的面积为3时，求ac的值．

o4，b2． 5MSDC模块化分级讲义体系 高中数学.解三角形.01.正余弦定理（A级）.学生版 Page 9 of 10

【习题6】（2011年海淀一模）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，，已知tanBbc，

且c1．(Ⅰ)求tanA；

(Ⅱ)求ABC的面积．

11，tanC，23MSDC模块化分级讲义体系 高中数学.解三角形.01.正余弦定理（A级）.学生版 Page 10 of 10