高中数学定积分知识点

一、导数

1．函数的平均变化率为

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf x2x1xxx注1:其中x是自变量的改变量，可正，可负,可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则limx0xx0x称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或

y'|xx0，即f'(x0)=limf(x0x)f(x0)y。 limx0xx0x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率;（2)瞬时速度；

5、常见的函数导数 函数 导函数 yc yxnnN* yaxa0,a1 y'0 y'nxn1 y'axlna y'ex yex ylogaxa0,a1,x0 y'ylnx 1 xlna1y' xysinx y'cosx ycosx

y'sinx 6、常见的导数和定积分运算公式:若fx，gx均可导（可积)，则有： 和差的导数运算 f(x)g(x)f'(x)g'(x) f(x)g(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x) ''积的导数运算 特别地:Cfx'Cf'x f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0) g(x)2g(x)'商的导数运算 1g'(x)特别地: '2gxgx复合函数的导数 yxyuux 微积分基本定理 fxdx ab(其中F'xfx） 和差的积分运算 [f(x)f(x)]dxa12bbaf1(x)dxf2(x)dxabb 特别地:积分的区间可加性 bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)a baf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb 用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f（x）的导数f'(x)

②令f'(x)〉0，解不等式，得x的范围就是递增区间。 ③令f'(x)<0，解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f（x）的极值的步骤：

(1）确定函数的定义域.

（2) 求函数f（x）的导数f'(x) （3)求方程f'(x)=0的根

（4） 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x）在这个根处取得极大值;如

果左负右正，那么f（x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值

8。利用导数求函数的最值的步骤：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求f(x)在a,b上的极值;

⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注］：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;

9．求曲边梯形的思想和步骤：分割近似代替求和取极限 （“以直代曲”的思想）

10。定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1

1dxba

ababb性质5 若f(x)0,xa,b，则f(x)dx0

①推广：[f1(x)f2(x)afm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabbfm(x)

ab ②推广：f(x)dxf(x)dxf(x)dxaac1bc1c2f(x)dx

ckb

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0。

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

二、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义： 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理. ．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 ．．．．

14.归纳推理的思维过程大致如图：

实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 15。归纳推理的特点：

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象.

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验,因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16。类比推理的定义：

根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理. ．．．．

17.类比推理的思维过程

观察、比较 联想、类推 推测新的结论

18。演绎推理的定义:

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理. ．．．．

19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论\"可以表示为:①大前题:M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21。直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22。综合法就是“由因导果”,从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件。 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法:是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤

（1)假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2)从假设出发，经过推理论证,得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 ．．．

26常见的“结论词”与“反义词”

原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 反义词 一个也没有 至少有两个 至多有n—1个 至少有n+1个 原结论词 对任意x不成立 p或q p且q 反义词 存在x使成立 对所有的x都成立 存在x使不成立 p且q p或q

27.反证法的思维方法:正难则反 ．．．．

28.归缪矛盾 （1）与已知条件矛盾： ．．．．（2)与已有公理、定理、定义矛盾； ．．．．．．．．．．（3）自相矛盾． ．．

29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 ．．．（1）证明：当n取第一个值．．．．n0n0N时命题成立;

（2）假设当n=k （k∈N＊，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. ．．．．．由(1），（2）可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 ［注］：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

三、数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部， b叫虚部，数．．．．

集Cabi|a,bR叫做复数集。 规定：abicdia=c且， ．．．．b=d．．．强调:两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

实数 (b0)31．数集的关系：复数Z一般虚数(a0)

虚数 (b0)纯虚数(a0)

32。复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33。复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。

由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，

x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

34。求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数zabi的模(也叫绝对值)记作z或abi。由模的定义可知：zabia2b2

35.复数的加、减法运算及几何意义

①复数的加、减法法则：z1abi与z2cdi，则z1z2ac(bd)i。 注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。 ．．②复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbdadbci。 ③复数的除法法则：

abi(abi)(cdi)acbdbcadi其中cdi叫做实数化因子 cdi(cdi)(cdi)c2d2c2d236.共轭复数:两复数abi与abi互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i

1i1i213i3n12,3n2,3n31 是1的立方虚根，则10，2(9)设