◇中考数学中等难度题训练1√

1、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°

＜＜180°)，得到△A1B1C． A A A A1 A1 A1  C D B

C  B

E C

 P B

B1 B1

B1 图1 图2 图3 (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形； (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ．

2、如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。 (1)求证：CD为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.

3、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。 （1）在图1中证明CECF；

（2）若ABC90，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若ABC120，FG∥CE，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。

DA

CEB

G F

1

4、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 月份x 580 600 620 640 660 680 700 720 价格y1（元/件） 560 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2

（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；

（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，2且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．

22222

（参考数据：99=9901，98=9604，97=9409，96=9216，95=9025）

2

5、已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D—A—B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC于P，交BD于点Q． N A D （1）点D到BC的距离为 ； （2）求出t为何值时，QM∥AB； Q （3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式； （4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形． B M P

6、如图，已知抛物线yC

42xbxc与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x2，9且与x轴交于点D，AO=1．

(1) 填空：b=_______。c=_______，点B的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；

(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

3

中等难度题训练1

1、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°

＜＜180°)，得到△A1B1C． A A A A1 A1 A1  C D B

C

 B

E C

 P B

B1 B1

B1 图1 图2 图3 (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形； (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ． （1）易求得ACD60, ACDC, 因此得证.

(2)易证得ACA∽BCB,且相似比为1:3，得证. （3）120°，

3a 22、如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。 (1)求证：CD为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. (1)证明：连接OC,

因为点C在⊙0上，0A=OC,所以∠OCA=∠OAC，因为CD⊥PA，所以∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，因为AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO。 所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又因为点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，所以CD为⊙0的切线． (2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， 所以四边形OCDF为矩形，所以0C=FD，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，

∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF+OF=OA.

2即(5x)(6x)25，化简得：x11x180

22222解得x2或x9。

由AD∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6

3、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。 （1）在图1中证明CECF；

（2）若ABC90，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若ABC120，FG∥CE，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的

4

度数。

(1) 证明：如图1.

∵ AF平分BAD，∴BAF=DAF， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD//BC，AB//CD。

∴ DAF=CEF，BAF=F， ∴ CEF=F，∴ CE=CF。 (2) BDG=45.

(3) [解] 分别连结GB、GE、GC(如图2). ∵ AB//DC，ABC=120， ∴ ECF=ABC=120， ∵ FG //CE且FG=CE,

∴ 四边形CEGF是平行四边形.

由(1)得CE=CF, ∴□·CEGF是菱形,

ADEBGCF1 ∴ EG=EC，GCF=GCE=2ECF=60.

∴ △ ECG是等边三角形. ∴ EG=CG…①, GEC=EGC=60, ∴GEC=GCF, ∴BEG=DCG…②,

由AD//BC及AF平分BAD可得BAE=AEB， ∴AB=BE.

在□ ABCD中，AB=DC. ∴BE=DC…③,

由①②③ 得△BEG  △DCG. ∴ BG=DG，1=2,

∴ BGD=13=23=EGC=60.

1 ∴ BDG=2(180BGD)=60.

4、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 月份x 580 600 620 640 660 680 700 720 价格y1（元/件） 560 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2

（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

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（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；

（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，2且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．

22222

（参考数据：99=9901，98=9604，97=9409，96=9216，95=9025） 解：（1）设y1=kx+b， 则

，解得

，

∴y1=20x+540（1≤x≤9，且x取整数）； 设y2=ax+b，则

，解得

，

∴y2=10x+630（10≤x≤12，且x取整数）；

（2）设去年第x月的利润为W元．

22

1≤x≤9，且x取整数时，W=P1×（1000﹣50﹣30﹣y1）=﹣2x+16x+418=﹣2（x﹣4）+450， ∴x=4时，W最大=450元；

2

10≤x≤12，且x取整数时，W=P2×（1000﹣50﹣30﹣y2）=（x﹣29）， ∴x=10时，W最大=361元；

（3）去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7（万件）， 今年原材料价格为：750+60=810（元） 今年人力成本为：50×（1+20%）=60元．

∴5×[1000×（1+a%）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×a%）=1700，

2

设t=a%，整理得10t﹣99t+10=0， 解得t=

，

≈97，∴t1≈0.1，t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980，

∵9401更接近于9409，∴

∵1.7（1﹣0.1×a%）≥1，∴a≈10． 答：a的整数解为10．

5、已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D—A—B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC于P，交BD于点Q． N A D （1）点D到BC的距离为 ； （2）求出t为何值时，QM∥AB； Q （3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

6

B M P C

（4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形． 解：（1）3 (2)t=1.2s （3）当0t2时,s=

3(3tt2)- 631(2tt2) 当2t4时,s= 62(4)t=1.5s或者t=12/7s 6、如图，已知抛物线y42xbxc与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x2，9且与x轴交于点D，AO=1．

(1) 填空：b=_______。c=_______，点B的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；

(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

1620，B(5，0) ，c994216204（2）由（1）求得yxx(x2)24 ∴C（2，4）

9999（1）b∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2）

430x，整理得4x3y200 33设直线EF的表达式为ykxb

3∵EF为BC的中垂线 ∴EF⊥BC ∴k

4535把E（3.5，2）代入求得 b ∴直线EF的表达式为yx，

8483555525在yx中，令y=0，得x ∴F(，0) ∴FC=FB=5

486666易求直线BC的表达式为y（3）存在，作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件。当然也可以作∠OBC的邻补角

的平分线交DC于点P’，也满足条件，坐标求法一样。 设P（2，a），则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离。（用到点到直线的距离公式） ∴a423a2043223a125 ∴5a3a12

∴5a3a12或5a3a12解得a6或a

7

33∴P（2，6）或P（2，）。 22