2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷
题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共8小题，共16.0分） 1. 3的相反数是（ ）
A. B.
C. 3 D. -3
2. 如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是（ ）
A. 线段PA的长度 B. 线段PB的长度 C. 线段PC的长 D. 线段PD的长度
3. 方程组的解是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 五边形的内角和为（ ）
A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°
5. 如果x2+x=3，那么代数式（x+1）（x-1）+x（x+2）的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A.
B. C.
D.
7. 某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表： 会员卡类型 A类 B类 C类 办卡费用/元 40 80 130 有效期 1年 1年 1年 优惠方式 每杯打九折 每杯打八折 一次性购买2杯，第二杯半价 50×例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×10）=940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，（0.9×
且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ）
A. 购买A类会员卡 B. 购买B类会员卡 C. 购买C类会员卡 D. 不购买会员卡 8. 在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年
级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断： ①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率； ②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率． 所有合理推断的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分） 9. 若分式
的值为0，则x的值为______．
10. 在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为
21m，那么这根旗杆的高度为______m．
11. 如图的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式：
______． 12. 如表显示了用计算机模拟随机拋掷一枚硬币的某次实验的结果． 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率 0.457 0.466 0.479 0.490 0.495 0.500 0.499 0.501 0.498 0.502 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 2000 137 233 335 441 544 650 749 852 946 1004 估计此次实验硬币“正面向上”的概率是______．
13. 若点A（4，-3），B（2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为______． 14. 如图1，将矩形ABCD和正方形EFCH分别沿对角线AC和EG剪开，拼成如图2
所示的平行四边形PQMN，中间空白部分的四边形KRST是正方形．如果正方形EFCH和正方形KRST的面积分别是16和1，则矩形ABCD的面积为______．
15. 甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如表： 甲 乙 164 163 164 163 165 165 165 165 166 166 166 166 167 168 167 168 两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是______．（填“甲”或“乙”）
16. 正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN=2，
点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形PMQN是平行四边形； ②存在无数个四边形PMQN是菱形； ③存在无数个四边形PMQN是矩形； ④至少存在一个四边形PMQN是正方形． 所有正确结论的序号是______．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，
且∠DAF=∠BCE．
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（1）求证：AF=CE；
（2）连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF=30°，CE=4，求CD的长．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）
+（-1）0-+|-2|． 18. 计算：4cos45°
19. 解不等式组
，并写出它的所有非负整数解．
20. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的
尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ∥l． 作法：如图，
①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；
②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点A，B，连接AP； ③分别以点P，B为圆心，以AB，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线PB的两旁）； ④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接BQ，
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∵PQ=______，BQ=______，
∴四边形PABQ是平行四边形（______）（填推理依据）． ∴PQ∥l．
21. 关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的b，c
的值，并求此时方程的根．
22. 为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体
现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A项指标成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）：
b．A项指标成绩在7≤x＜8这一组的是：
7.2，7.3，7.5，7.67，7.7，7.71，7.75，7.82，7.86，7.9，7.92，7.93，7.97． c．A，B两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下： A项指标成绩 B项指标成绩 平均数 7.37 7.21 中位数 m 7.3 众数 8.2 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值；
（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是
______（填“A“或“B”），理由是______；
（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．
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23. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD=CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O的
切线DE，交BC的延长线于点E． （1）求证：DE∥AC；
（2）若AB=8，tanE=，求CD的长．
24. 如图，AB是半圆的直径，P是半圆与直径AB所围成的图形的外部的一定点，D是
直径AB上一动点，连接PD并延长，交半圆于点C，连接AC，BC．已知AB=6cm，设A，D两点之间的距离为xcm，A，C两点之间的距离为y1cm，B，C两点之间的距离为y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究：
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）按照如表自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到y1，y2与x的几组对应值；
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x/cm y1/cm y2/cm 0 0 6 1 0.47 5.98 2 1.31 5.86 3 ______ 5.26 4 5.02 3.29 5 5.91 1.06 6 6 0 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△ABC有一个角的正弦值为时，AD的长约为______cm．
25. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=kx+2（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于
点B，直线l2：y=-kx+2与x轴交于点C．
（1）求点B的坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为G．
①当k=2时，结合函数图象，求区域G内整点的个数； ②若区域G内恰有2个整点，直接写出k的取值范围．
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26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2）．
（1）求c的值；
（2）当a=2时，求抛物线顶点的坐标；
（3）已知点A（-2，0），B（1，0），若抛物线y=ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27. 已知∠AOB=40°，M为射线OB上一定点，OM=1，P为射线OA上一动点（不与点
O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN． （1）依题意补全图1；
（2）求证：∠APN=∠OMP；
（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意
一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d（P，M）．
已知直线y=-x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙O的半径为1． （1）若b=2，
①求d（B，⊙O）的值；
②若点C在直线AB上，求d（C，⊙O）的最小值；
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（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，直接写出b的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：3的相反数是：-3． 故选：D．
根据相反数的定义即可求解．
本题主要考查了绝对值的定义，a的相反数是-a． 2.【答案】B
【解析】解：平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度． 观察图形可得PB为直线l1∥l2之间的垂线段． 故选：B．
按照平行线间的距离的定义即可得出答案．
本题考查了平行线间的距离的定义，属于基础知识的考查，比较简单． 3.【答案】A
【解析】 【分析】
本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
利用加减消元法解二元一次方程组求即可得出结果． 【解答】 解：
，
①+②得：3x=6， 解得：x=2，
把x=2代入①得：y=1， 则方程组的解为故选A.
.
4.【答案】B
180°=540°【解析】解：五边形的内角和是（5-2）×．故选B．
n边形的内角和是（n-2）180°，由此即可求出答案．
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 5.【答案】C
【解析】解：（x+1）（x-1）+x（x+2） =x2-1+x2+2x =2x2+2x-1
=2（x2+x）-1， ∵x2+x=3，
3-1=5． ∴原式=2×
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故选：C．
直接利用整式的混合运算法则化简，进而把已知代入得出答案．
此题主要考查了整式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 7.【答案】C
【解析】解：设一年内在便利店购买咖啡x次，
10）x=（40+18x）元； 购买A类会员年卡，消费费用为40+2×（0.9×
10）x=（80+16x）元； 购买B类会员年卡，消费费用为80+2×（0.8×
购买C类会员年卡，消费费用为130+（10+5）x=（130+15x）元； 把x=75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元， 把x=85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元，
则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡． 故选：C．
设一年内在便利店购买咖啡x次，用x表示出购买各类会员年卡的消费费用，把x=75、85代入计算，比较大小得到答案．
本题考查的是有理数的混合运算的应用，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 8.【答案】B
【解析】解：∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%， ∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率； 故①正确，
∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在在50%与70%之间，
∴不能确定哪个年级的优秀率大， 故②错误；
∵七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在60%与70%之间．
∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率． 故③正确． 故选：B．
根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断． 本题考查统计学知识，属于中档题． 9.【答案】1
【解析】解：∵分式∴1-x=0且x≠0，
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的值为0，
∴x=1，
故答案为：1．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解可得．
本题主要考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 10.【答案】14
【解析】解：设这根旗杆的高度为xm，根据题意可得： =，
解得：x=14．
即这根旗杆的高度为14m． 故答案为：14．
直接利用同一时刻物体影长与实际高度比值相同进而得出答案． 此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键． 11.【答案】m（a+b）=ma+mb
【解析】解：根据图形可得： m（a+b）=ma+mb．
故答案为：m（a+b）=ma+mb．
根据矩形的面积公式，利用大矩形的面积等于两个小矩形的面积和即可写出一个正确的等式．
本题可考查了矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的面积的求法． 12.【答案】0.500
【解析】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，“正面向上”的频率逐渐稳定在常数0.500附近，
所以估计此次实验硬币“正面向上”的概率是0.500， 故答案为：0.500．
用大量重复试验事件发生的频率的稳定值估计概率即可．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】-6
【解析】解：设反比例函数解析式为y=， 根据题意得k=4×（-3）=2m， 解得m=-6． 故答案为-6．
设反比例函数解析式为y=，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=4×（-3）=2m，然后解关于m的方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 14.【答案】15
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【解析】解：∵正方形EFCH和正方形KRST的面积分别是16和1， ∴正方形EFCH和正方形KRST的边长分别是4和1， 则矩形ABCD的面积为（4+1）×（4-1）=15． 故答案为：15．
根据正方形的面积公式求得正方形EFCH和正方形KRST的边长，再根据线段的和差关系可求矩形ABCD的长和宽，再根据矩形的面积公式即可求解．
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 15.【答案】甲
2+165×2+166×2+167×2） 【解析】解：甲组演员身高的平均数为：（164×=165.5，
2+165×2+166×2+168×2） 乙组演员身高的平均数为：（163×=165.5， ∵
=[（164-165.5）2+（164-165.5）2+（165-165.5）2+（165-165.5）2+（166-165.5）2+
（166-165.5）2+（167-165.5）2+（167-165.5）2] =（2.25+2.25+0.25+0.25+0.25+0.25+2.25+2.25） =1.25；
=[（163-165.5）2+（163-165.5）2+（165-165.5）2+（165-165.5）2+（166-165.5）2+（166-165.5）2+（168-165.5）2+（168-165.5）2] =（6.25+6.25+0.25+0.25+0.25+0.25+6.25+6.25） =3.25；
∴甲组芭蕾舞团演员身高的方差较小．
故答案为：甲．
先算出两组数据的平均数，再计算两组数据的方差．
本题考查了方差的计算，掌握计算方差的公式是解决本题的关键． 16.【答案】①②④
【解析】解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．
∵PQ垂直平分线段MN， ∴PM=PN，QM=QN，
∵四边形ABCD是正方形， ∴PAN=∠QAN=45°， ∴∠APQ=∠AQP=45°， ∴AP=AQ，
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∴AC垂直平分线段PQ， ∴MP=MQ，
∴四边形PMQN是菱形，
在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，
∴①③④正确， 故答案为①③④．
根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
17.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠D=∠B=90°， ∵∠DAF=∠BCE，
∴△DAF≌△BCE（ASA）， ∴AF=CE；
（2）解：如图，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA， ∵CE=4， ∴AF=4，
∵AC平分∠FAE， ∴∠FAC=∠CAB， ∴∠FAC=∠DCA， ∴FC=AF=4，
在Rt△ADF中，∠DAF=30°， ∴DF=2， ∴CD=6．
【解析】（1）证明△DAF≌△BCE（ASA），即可得出结论；
（2）证明∠CAB=∠DCA，得出AF=4，可得出∠FAC=∠DCA，则FC=AF=4，由直角三角形的性质可得出结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
18.【答案】解：原式=4×+1-2+2
=2+1-2=3．
+2
【解析】先计算立方根、零指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．
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本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握立方根的定义、零指数幂的规定、绝对值的性质、熟记特如锐角的三角函数值．
19.【答案】解：解不等式4（x+1）≤2x+6，得：x≤1， 解不等式x-3＜
，得：x＜2，
则不等式组的解集为x≤1，
所以不等式组的非负整数解为0、1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20.【答案】AB AP 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：连接BQ， ∵PQ=AB，BQ=AP，
∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∴PQ∥l．
故答案为：AB，AP，两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （1）根据尺规作图过程即可补全图形；
（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可完成证明．
本题考查了作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
21.【答案】解：答案不唯一， ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=b2-4c=0，
若b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=-1．
【解析】利用方程有两个相等的实数根得到△=b2-4c=0，设b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
22.【答案】B 该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名
2=7.84； 【解析】解：（1）m=（7.82+7.86）÷
（2）该企业成绩排名更靠前的指标是B，
理由是：该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；
B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名
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在前25名；
故答案为：B，该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名； （3）根据题意可知：
在样本中，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是29， 500=290． 因为×
所以估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为290家．
（1）根据频数分布直方图可得表中m的值：3+8+6=17，再从A项指标成绩在7≤x＜8这一组的数据中数到第25、26个数是7.82和7.86，进而可得m的值；
（2）根据B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名，进而可以判断；
（3）根据题意可得，在样本中，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是29，进而可以估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为290家．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23.【答案】（1）证明：如图，连接OD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∵AD=CD， ∴∠DOC=90°，
∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE，
∴∠DOC+∠ODE=180°， ∴DE∥AC；
（2）解：∵DE∥AC， ∴∠E=∠ACB，
∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，AB=8，tan∠ACB=， ∴AC=10， ∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD=AC=5
．
【解析】（1）如图，连接OD，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠DOC=90°，由切线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论； （2）根据平行线的性质得到∠E=∠ACB，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 24.【答案】2.88 2.52或4.51
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【解析】解：（1）
故答案为2.88．
（2）函数图象如图所示：
（3）∵△ABC有一个角的正弦值为，
∴AC=2或BC=2，
如图当y=2时，x=2.52或4.51． 故答案为2.52或4.51．
（1）利用图象法解决问题即可． （2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）由题意BC=2或AC=2，利用图象法判断出y=2时，x的值即可．
本题考查动点问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：（1）∵直线l1：y=kx+2（k＞0）与y轴交于点B， ∴当x=0时，y=2，
∴点B的坐标为（0，2）；
（2）①当k=2时，直线l1：y=2x+2，直线l2：y=-kx+2，
∴A（-1，0），C（2，0），
结合函数图象，区域G内整点的个数为1； ②若区域G内恰有2个整点，k的取值范围为1≤k＜2．
【解析】（1）根据函数解析式即可得到结论；
（2）①当k=2时，根据函数解析式得到A（-1，0），C（2，0），结合函数图象即可得到结论；
②结合函数图象，即可得到结论．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
26.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2），
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∴c的值为2；
（2）当a=2时，抛物线为y=2x2+4x+2=2（x+1）2， ∴抛物线顶点的坐标为（-1，0）； （3）当a＞0时，
①当a=2时，如图1，抛物线与AB只有一个交点；
②当a=1+时，如图2，
抛物线与线段AB有两个交点， 结合函数图象可知：2＜a≤1+；
当a＜0时，抛物线与线段AB只有一个交点或没有交点， 综上所述，a的取值范围为2＜a≤1+．
【解析】（1）根据二次函数的解析式即可得到结论； （2）把a=2代入抛物线解析式即可得到结论；
（3）当a＞0时，①当a=2时，如图1，抛物线与AB只有一个交点；②当a=1+时，如图2，抛物线与线段AB有两个交点，当a＜0时，抛物线与线段AB只有一个交点或没有交点，于是得到结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 27.【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：如图1中， ∵∠MBN=∠AOB=40°，∠APM=∠APN+∠MPN=∠AOB+∠OMP，
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∴∠APN=∠OMP．
（3）解：结论：OH=1时，∠OHN的值为定值．
理由：在射线PA设取一点G，使得PG=OM，连接NG． ∵PN=PM，∠GPN=∠OMP， ∴△OMP≌△GPN（SAS）， ∴OP=NG，∠AOB=∠NGP=40°， ∵OM=OH=PG=1， ∴OP=HG， ∴GH=GN，
-40°∴∠GNH=∠GHN=（180°）=70°， -70°=110°∴∠OHN=180°．
【解析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（3）结论：OH=1时，∠OHN的值为定值．证明△OMP≌△GPN（SAS），推出OP=NG，∠AOB=∠NGP=40°，由OM=OH=PG=1，推出OP=HG，推出GH=GN，推出∠GNH=∠GHN=-40°（180°）=70°可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了三角形的外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 28.【答案】解：（1）如图1， ①∵b=2，
∴B（0，2），
∴d（B，⊙O）=2+1=3；
②过点O作OC⊥AB于C，此时，直线上的点C到点O的距离最小，即d（C，⊙O）取最小值，
∵直线y=-x+2与x轴交于点A， 令y=0，则0=-x+2， ∴x=2，
∴A（2，0）， ∴OA=2，
令x=0，则y=2， ∴B（0，2）， ∴OB=2，
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根据勾股定理得，AB=∵S△AOB=OA•OB=AB•OC， ∴OC=
=
，
=4，
∴d（C，⊙O）的最小值为+1；
（2）Ⅰ、当b＞0时，如图2， 针对于直线y=-x+b（b≠0）， 令x=0，则y=b， ∴B（0，b）， ∴OB=b，
令y=0，则0=-x+b， ∴x=b，
∴A（b，0）， ∴OA=b，
则AB=2b，tan∠OAB==，
∴∠OAB=30°，
由旋转知，AD=AB=2b，∠BAD=120°， 连接OD，过点D作DE⊥x轴于E，
-30°-120°=30°∴∠DAE=180°，
∴DE=b，AE=b， ∴OD=
=
b，
∵⊙O的半径为1，
∴当线段AB与⊙O相切时，d（E，⊙O）最小=2，
同（1）的方法得，OF=∴b=
，
=1，
对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，
b＜6-1， ∴∴b＜即
， ≤b＜
；
Ⅱ、当b＜0时，如图3， 同Ⅰ的方法得，-综上述，-＜b≤-＜b≤-或
， ≤b＜
．
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【解析】（1）①直接利用圆外一点到圆上的一点的最大距离，即可得出结论； ②先判断出OC⊥AB时，OC最短，即可得出结论；
（2）Ⅰ、当b＞0时，当直线AB与⊙O相切时，d（E，⊙O）最小，当点E恰好在点D时，d（E，⊙O）最大，即可得出结论； Ⅱ、当b＜0时，同Ⅰ的方法即可得结论．
此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，点到直线的距离，圆外一点到圆上一点的最大距离的求法，找出分界点是解本题的关键．
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