等价关系作用的认识

维普资讯 http://www.cqvip.com 第ｌ７卷第２期　景德镇高专学报　Ｖｌ０１．１７　Ｎｏ．２　２００２年６月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｎｇｄｅｚｈｅｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｊｕｎ．２００２　文章编号：１００８—８４５８（２Ｏ０２）０２一Ｏ０２３—０２　等价关系作用的认识　吴健辉①　黄顺发　（－Ｉ．，ｔ德镇高专数学系．江曲－Ｉ．，ｔ德镇３３３０００）　摘　要：等价关系在数学教育中的作用。　关键词：等价关系；集合；映射　中图分类号：０　１４１．２　文献标识码：Ａ　等价关系作为一类特殊的二元关系，它在《离散数学》和其它学科中都具有重要作用。通过这几年　的教学我们发现：作为教师，可以通过讲解等价关系，将书中前后内容加以联贯，以提高学生对书中内容　的理解，再联系数学中其它的概念、理论，进而培养学生独立思考的自学能力，提高他们的逻辑思维能　力。　下面从两方面给予讨论：　１等价关系在《离散数学》中的作用　首先看等价关系的定义。设Ｒ为定义在集合Ａ上的一个关系，若Ｒ是自反的、对称的、传递的，则　称Ｒ为等价关系。从等价关系的定义看，它是定义在集合上，这样我们可以进而温习集合的交、并、差、　补，全集等概念。它是一个特殊的关系，这样又可以回顾序偶和笛卡尔积，以及相应的反自反，反对称等　概念及其相应的性质。下面我们再看看书中引入等价关系的目的。　已Ｉ　已Ｉ　等价关系　等价类　商集。引入等价关系的最终目的是为了引入集合的划分。这可以从书中　定理３—１０．２，，３—１０．３可知。集合Ａ上的等价关系决定了Ａ的一个划分，这个划分就是商集。同样，　个划分确定了Ａ的元素间的一个等价关系。通过这些定理，很清楚地看到等价关系和划分是一一对　应的。这样，等价关系将这一章中的主要概念和定理贯穿在一起。　在代数结构一章中，讲述了两个代数系统的同态和同构关系，若厂是（Ａ，☆）到（Ｂ，睾）的一个同　态，且，既是满同态又是单一同态，则厂是从（Ａ，☆）到（Ｂ，睾）的一个同构，称（Ａ，☆）和（Ｂ，　）这两个　代数系统是同构关系。由书中Ｐ２ｌ５定理１知代数系统间的同构关系就是等价关系，由等价关系又引出　了代数系统中的同余关系，这些概念确定了不同代数系统结构之间的关系。例如，一个代数系统的同态　象可以看作是当抽去该系统中某些元素的次要特性的情况下，对该系统的一种粗糙描述。如果我们把　属于同一个同余类的元素看作是没有区别的，那么原系统的性态就可以用同余类间的相互关系来描述。　有了这些知识准备，就能更好地理解下一章格和布尔代数。计算机只能处理０、１字符串及一些联　结词运算，至于１所代表的“真”到底是“你是大学生”还是“５大于３”等，这些表面现象都被抽去，用符号　串表示其本质内容，因而自然世界中千奇百怪的现象，都被转化成命题公式，即０、１字符串。　从以上的分析我们可以看到，通过等价关系这个概念，将《离散数学》中的第一篇数理逻辑，第二篇　①·收稿日期－＇２００２—０４—１０　作者简介：吴健辉（１９６８一），女，湖南浏ＩｒｍＡ．，讲师，从事基础数学教学工作。　维普资讯 http://www.cqvip.com ２４·　景德镇高专学报　２ＯＯ２点　集合论，第三篇代数系统有机地联系起来了。对学生来说就能更好地体会书中内容和了解本学科的体　系结构，也有利于学生理解数学中的高级抽象概念。　２等价关系在其它方面的作用　２．１集合的划分　一　例如在整数集合上定义一个关于模２的同余关系：Ｒ＝｛（　，ｙ）Ｉ　∈　，Ｙ∈　，　；ｙ（ｍｏｄａ）｝。其　商集为Ｚ／Ｒ：｛［Ｏ］Ｒ，［１］Ｒ｝，［Ｏ］　就是偶数集，［１］　就是奇数集，通过等价关系Ｒ我们就将整数集划　分为二个集合：偶数集与奇数集。若我们再在商集中定义＋，×运算：　规定：　当口＋ｂ＜２时　当口＋ｂ≥２时　其加法表为：　其乘法表为：　＋　［０］　［１］　×　［０］　［１］　［０］　［０］　［１］　［１］　［１］　［０］　［０］　［０］　［０］　［１］　［０］　［１］　这两张表的内容就是：偶数加偶数得偶数，偶数加奇数得奇数，奇数加奇数得偶数。奇数乘奇数得　奇数，偶数和任何数相乘为偶数，这也是中学中所学的整数的加法与乘法的性质。　２．２定义其它集合　我们知道在中学数学中，首先引进自然数，自然数对加法、乘法封闭，但对减法不封闭。引入整数概　念后，对减法运算封闭，而整数对除法运算不封闭。引入有理数概念后，对除法运算封闭，而有些有理　数、实数通过开方运算后不是有理数、实数，因此引入实数及复数概念。对于这一思想，我们可以通过定　义等价关系，使得自然数集上的商集具备我们所需集合的性质。下面以整数集合为例。　ａ　ｆ　在Ｎ×Ｎ上定义关系Ｒ：＜口，ｂ＞Ｒ＜ｃ，ｄ＞　口＋ｄ＝ｂ＋ｃ，很明显，关系Ｒ具有自反，对　称与传递的性质，是一个Ｎ×Ｎ上的等价关系。由于在自然数集中对减法不封闭，因而定义中只能出　现加法。实质上从定义看，若我们有了减法定义，口＋ｄ＝ｂ＋ｃ就是口一ｂ＝ｃ—ｄ，也就是将两个自　然数相减得数相同的序偶认定为一个相同的数。这样，我们就有如：３：Ｒ＜４，１＞：Ｒ＜８，５＞：Ｒ　＜４，１＞…，０＝Ｒ＜１，１＞＝＜１０，１０＞＝…，一３＝Ｒ＜２，５＞＝Ｒ＜７，１０＞＝Ｒ＜１１，１４＞＝　这样，我们在自然数集基础上定义了整数集，其中：当口＞ｂ时，Ｒ＜口，ｂ＞表示正整数，当口＜ｂ　．　同样由于整数集对除法不封闭，我们可以在整数集基础上定义等价关系构造有理数集，具体方法如　０　时，Ｒ＜口，ｂ＞表示负整数，当．口＝ｂ时，Ｒ＜口，ｂ＞表示零。　下：＜口，ｂ＞Ｒ＜ｃ，ｄ＞　ａｄ：ｂｃ，实际上有了除法定义，上式ａｄ＝ｂｃ，就可以表示为旱＝号　也即将两数相除，得数相同的数作为同一类数来定义，从而将整数集扩充为有理数集。　综上所述，我们可以看到等价关系的重大作用。作为教师若把握这个知识重点，详细讲解，可以带　动学生理解一系列概念和定理，形成一条知识链，对提高学生自学能力起到一个有效的引导作用。同　样，在教学中，可经常找出书中某些与其它内容联系密切的东西加以详细讲解，从而让学生掌握一种学　习方法，能跳出书本来看书，使书越读越薄。　参考文献　【１］左孝凌，李为锡，刘永才．离散数学［Ｍ］．上海：上海科学技术文献出版社，１９８２，９．　【２】耿素云，屈婉玲．离散数学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９９８，６．　（下转第２７页）　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　冯绍勇：滑线变阻器结构的改进　·２７　·　就可转过一个较大的弧度，从而使我们可大幅转动手轮来得到一个细小的电阻变化，这样也就解决了电　阻的细调问题。　以上结构的提出，意在解决滑线变阻器的两个缺陷，就这种结构制造工艺的复杂程度而言是没有办　法与传统滑线变阻器相比的。笔者抛砖引玉，期待看到更佳结构的滑线变阻器的出现。　ｅｏｓｔａｔ’Ｓ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　Ｆｅｎｇ　ｓｈａｏｙｏｎｇ　（Ｐｈｙｓｉｃｓ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｉｎ　Ｊｉｎｇ　Ｄｅ　Ｚｈｅｎ＇Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉｎｇ　ｄｅ　Ｚｈｅｎ，Ｊｉａｎｇ　Ｘｉ，３３３０００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ｐｕｔ　ｆｏｒｗａｒｄ　ａ　ｓｌｉｄｅ—ｗｉｒｅ　ｒｈｅｏｓｔａｔ　ｏｆｎｅｗ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌｉｇｈｔ　ｏｆ　ｔｒａｄｉｉｏｎａｌ　ｓｌｉｄｅ—ｗｔｉｒｅ　ｒｈｅｏｓｔａｔ’ｓ　ｄｅ—　ｆｅｅｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ　ｆｉｎｅ　ｔｕｎｉｎｇ；ｅｌｅｃｔｒｏ——ｃｏｎｔａｃｔ　ｄｅｆｅｃｔ　业　（上接第ｌＯ页）　Ｋｎｏｗｉｎｇ　ａｎｄ　Ｔｒｅａｔｉｎｇ　Ｍａｒｘｉｓｍ　Ｒｉｇｈｔ　Ｘｕ　ｓｏｎｇｌｉｎ　（Ｊｉｎｇ　Ｄｅ　Ｚｈｅｎ　Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉｎｇ　Ｄｅ　Ｚｈｅｎ，Ｊｉａｎｇ　Ｘｉ　３３３０００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｋｎｏｗｉｎｇ　ａｎｄ　ｔｒｅａｄｎｇ　Ｍａｒｘｉｓｍ　ｒｉｈｔｇ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｐｒｅｍｉｓｅ　ａｎｄ　ｂａｓｉｃ　ｔｈｏｕｇｈｔ　ｔｏ　ｂｒｉｎｇ　ａｂｏｕｔ　Ｍａｒｘｉｓｍ　ｉｎ　Ｃｈｉｎａ，ａｎｄ　ｉｔ　ａｌｓｏ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｖｉｃｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ’Ｓ　ｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｈａｓ　ｅｘｐｏｕｎｄｅｄ　ｆｒｏｍ　ｆｏｕｒ　ａｓｐｅｃｔｓ　ｔｈａｔ　ｗｅ　ｍｕｓｔ　ｐｅｒｓｉｓｔ　ｉｎ　ｄｉｌｅｃｔｉｃａａｌ　ｐｏｉｎｔ　ｏｆ　ｖｉｅｗ　ａｎｄ　ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　ａｔｔｉｔｕｄｅ　ｗｈｉｌｅ　ｋｎｏｗｉｎｇ　ａｎｄ　ｔｒｅａｔｉｎｇ　Ｍａｒｘｉｓｍ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｋｎｏｗｉｎｇ　ａｎｄ　ｔｒｅａｔｉｎｇ；Ｍａｉｘｉｓｍ；ｄｉｌｅｃｔｉｃａａｌ　ｐｏｉｎｔ　ｏｆ　ｖｉｅｗ；ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　ａｔｄｔｕｄｅ　业　（上接第２４页）　Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ　Ａｂｏｕｔ　Ｔｈｅ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｏｆ　Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ　Ｒｅｌａｔｉｏｎ　Ｗｕ　Ｊｉａｎｈｕｉ　Ｈｕａｎｇ　Ｓｈｕｎｆａ　（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｉｎ　ＪｉＩ１ｇ　Ｄｅ　ＩｅｒＩ　Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　ｃ０ｌｌｅｇｅ，Ｊｍｓ　Ｄｅ　Ｚｈｅｎ，Ｊｉａｎｇ　Ｘｉ，３３３０００）　Ａｌ￣ｒａｅｔ：Ｔｈｅ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｍａｔｈｓ　ｔｅａｃｈｉｇ　ｎｗｏｒｄｓ：Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ；ｓｅｔ；ｍａｐｐｉｇ　ｎ