一、选择题
1.如图,在ABC中,D是AB上一点,ADAC,AECD于点E,点F是BC的
中点,若BD10,则EF的长为( )
A.8 解析:C 【分析】 首先根据【详解】 ∵
B.6 C.5 D.4C
ADAC可得△ACD为等腰三角形,再由AECD结合“三线合一”性质可得
E为CD的中点,从而得到EF为△CBD的中位线,最终根据中位线定理求解即可.
ADAC,
∴△ACD为等腰三角形, ∵AECD,
∴E为CD的中点,(三线合一) 又∵点F是BC的中点, ∴EF为△CBD的中位线,
1BD5, 2故选:C. 【点睛】
∴EF本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质,准确判断出中位线是解题关键. 2.如图,在ABC中,ACB90,点D在AC边上且ADBD,M是BD的中点.若AC16,BC8,则CM等于( )
A.5 解析:A 【分析】
B.6 C.8 D.10A
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,得出CM1BD,设CMx,则2BDAD2x,再根据勾股定理列方程求解即可得出答案. 【详解】
解:ACB90,M是BD的中点, CM1BD 2设CMx,则BDAD2x
AC16
CDACAD162x
在Rt△BCD中,根据勾股定理得
BC2CD2BD2
即82162x2x 解得:x5, 故选A. 【点睛】
本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理,熟练掌握性质定理是解题的关键. 3.如图,E是直线CD上的一点,且CE221CD.已知ABCD的面积为52cm2,则2△ACE的面积为( )
A.52 解析:C 【分析】
B.26 C.13 D.39C
设平行四边形AB边上的高为h,分别表示出△ACE的面积和平行四边形ABCD的面积,从而求出结果. 【详解】
解:∵四边形ABCD是平行四边形,CE设平行四边形AB边上的高为h, ∴△ACE的面积为:
1CD, 21CEh,平行四边形ABCD的面积为2CEh, 2∴△ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的
1, 4又∵□ABCD的面积为52cm2, ∴△ACE的面积为13cm2. 故选C. 【点睛】
本题考查平行四边形的性质,比较简单,解答本题的关键是根据图形的形状得出△ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的
1. 44.如图,将长方形纸片沿对角线折叠,重叠部分为BDE,则图中全等三角形共有( )
A.0对 解析:C 【分析】
B.1对 C.2对 D.3对C
因为图形对折,所以首先△CDB≌△ABD,由于四边形是长方形,进而可得△ABE≌△CDE,如此答案可得. 【详解】
解:∵△BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的, ∴CD=AB,AD=BC, ∵BD=BD,
∴△CDB≌△ABD(SSS), ∴∠CBD=∠ADB ∴EB=ED ∴CE=AE 又AB=CD ∴△ABE≌△CDE, ∴图中全等三角形共有2对 故选:C 【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.做题时要由易到难,循序渐进. 5.如图,在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BC12,F是DE的上任意一点,连接AF,CF,DE3DF,若AFC90,则AC的长度为( )
A.4 解析:C 【分析】
B.5 C.8 D.10C
根据三角形中位线定理求出DE,根据题意求出EF,根据直角三角形的性质计算即可. 【详解】
解:∵D、E分别是AB、AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴DE=
1 BC=6, 2∵DE=3DF, ∴EF=4,
∵∠AFC=90°,E是AC的中点, ∴AC=2EF=8, 故选:C. 【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键.
6.在ABCD中ABBC.F是BC上一点,AE平分FAD,且E是CD的中点,则下列结论:①ABBF;②AFCF+CD;③AFCF+AD;④AEEF,其中正确的是( )
D.①②④C
A.①② 解析:C 【分析】
B.②④ C.③④
首先延长AD,交FE的延长线于点M,易证得△DEM≌△CEF,即可得EM=EF,又由AE平分∠FAD,即可判定△AEM是等腰三角形,由三线合一的知识,可得AE⊥EF,进而可对各选项进行判断. 【详解】
解:延长AD,交FE的延长线于点M, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,
∴∠M=∠EFC, ∵E是CD的中点, ∴DE=CE,
在△DEM和△CEF中,
MEFCDEMCEF, DECE∴△DEM≌△CEF(AAS), ∴EM=EF, ∵AE平分∠FAD, ∴AM=AF,AE⊥EF.
即AF=AD+DM=CF+AD;故③,④正确,②错误. ∵AF不一定是∠BAD的角平分线, ∴AB不一定等于BF,故①错误. 故选:C.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用. 7.如图,在平行四边形ABCD中,B90,BCAB.作AEBC于点E,
AFCD于点F,记EAF的度数为,AEa,AFb.则以下选项错误的是( )
A.a:bCD:BC B.D的度数为
C.若60,则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半 D.若60,则平行四边形ABCD的周长为解析:C 【分析】
由平行四边形的性质得出AD//BC,ADBC,ABCD,BD,得出
43abC 3DC180,求出EAFC180,得出BDEAF;由平行四边形ABCD的面积得出a:bCD:BC;若60,则BD60,求出
BAEDAF30,由直角三角形的性质得出BEDF33AEa,33332323AFb,得出AB2BEa,AD2DFb,求出平行四边形3333ABCD的周长2(ABAD)ADF的面积41323(ab);求出ABE的面积BEAEa,326322323b,平行四边形ABCD的面积BCAEbaab,得出633四边形AECF的面积平行四边形ABCD的面积ABE的面积ADF的面积2332ab(ab2)平行四边形ABCD面积的一半;即可得出结论. 36【详解】 解:
四边形ABCD是平行四边形,
AD//BC,ADBC,ABCD,BD,
DC180,
AEBC于点E,AFCD于点F, EAFC360290180, BDEAF;
平行四边形ABCD的面积BCAECDAF,AEa,AFb, BCaCDb,
a:bCD:BC;若60, 则BD60, BAEDAF30,
BE3333AEa,DFAFb, 33332323a,AD2DFb, 33AB2BE平行四边形ABCD的周长2(ABAD)43(ab); 3ABE的面积BEAE1212332aaa,ADF的面积3611332DFAFbbb,平行四边形ABCD的面积22362323baab, 33BCAE四边形AECF的面积平行四边形ABCD的面积ABE的面积ADF的面积
2332ab(ab2)平行四边形ABCD面积的一半; 36综上所述,选项A、B、D不符合题意,选项C符合题意; 故选:C.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识;熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键.
8.如图,在ABC中,A90,D是AB的中点,过点D作BC的平行线,交AC于点E,作BC的垂线交BC于点F,若ABCE,且△DFE的面积为1,则BC的长为( )
A.25 解析:A 【分析】
B.5
C.45 D.10A
过A作AH⊥BC于H,根据已知条件得到AE=CE,求得DE=
11BC,求得DF=AH,根据三22角形的面积公式得到DE•DF=2,得到AB•AC=8,求得AB=2(负值舍去),根据勾股定理即可得到结论. 【详解】
解:过A作AH⊥BC于H,
∵D是AB的中点, ∴AD=BD, ∵DE∥BC, ∴AE=CE,
1BC, 2∵DF⊥BC,
∴DE=
∴DF∥AH,DF⊥DE, ∴BF=HF, ∴DF=
1AH, 2∵△DFE的面积为1,
1DE•DF=1, 2∴DE•DF=2,
∴
∴BC•AH=2DE•2DF=4×2=8, ∴AB•AC=8, ∵AB=CE,
1AC, 2∴AB•2AB=8,
∴AB=AE=CE=
∴AB=2(负值舍去), ∴AC=4, ∴BC=AB2AC2224225.
故选:A. 【点睛】
本题考查了三角形中位线定理,三角形的面积的计算,勾股定理,平行线的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.
9.如图,在△A1A2A3中,A160,A230,A1A31,An3是
AnAn1(n1,2,3)的中点,则△A2021A2022A2023中最短边的长为( )
A.
121009 B.
121010 C.
121011 D.
121021B
解析:B 【分析】
根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度,进而可得结论. 【详解】
解:在△A1A2A3中,∠A1A3A2=90°,∠A2=30°,A1A3=1,An+3是AnAn+1(n=1、2、3…)的中点,可知:
A4A5//A1A3,A3A4=A2A4,
∴∠A3A5A4=90°,∠A4A3A2=∠A2=30°, ∴△A1A2A3是含30°角的直角三角形, 同理可证△AnAn+1An+2是含30°角的直角三角形. △A1A2A3中最短边的长度为A1A3=1=△A3A4A5中最短边的长度为A4A5=
1, 2011=, 221△A5A6A7中最短边的长度为A5A7=…,
11, 4221所以△AnAn+1An+2中最短边的长度为
2n12,
1则△A2019A2020A2021中最短边的长度为故选:B. 【点睛】
2n12212021121. 21010本题考查了规律型:图形的变化类,解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律.也考查了直角三角形斜边的中线,三角形的中位线,平行线的性质,含30°角的直角三角形的性质,以及等腰三角形的性质等知识.
10.如图,长方形纸片ABCD,点E,M,N分别在边AB,BC,AD上,将纸片分别沿EN,EM对折,使点A落在点A'处,点B落在点B'处,若A'EB'30,则NEM的度数为( )
A.70 解析:B 【分析】
B.75 C.80 D.85B
先由翻折的性质得到AENA'EN,BEMB'EM,由图可得
A'ENB'EMNEMA'EB',然后根据
AENNEMMEB180,得到2NEMA'EB'180,进而可求出NEM的度数. 【详解】
由翻折的性质可知:AENA'EN,BEMB'EM, 由图知:A'ENB'EMNEMA'EB', 又∵AENNEMMEB180, ∴A'ENB'EMNEM180, ∴2NEMA'EB'180, 又∵A'EB'30, ∴NEM75. 故选:B. 【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质,掌握翻折的性质是解题的关键.
二、填空题
11.点O是平行四边形ABCD的对称中心,ADAB,E、F分别是AB边上的点,且
EF11AB;G、H分别是BC边上的点,且GHBC;若S1,S2分别表示EOF32和GOH的面积,则S1,S2之间的等量关系是S1__________S2.
【分析】如图连接OAOBOC设平行四边形的
面积为4S求出S1S2(用s表示)即可解决问题【详解】解:如图连接OAOBOC设平行四边形的面积为4S∵点O是平行四边形ABCD的对称中心∴S△AOB=S△
3解析:
2【分析】
如图,连接OA,OB,OC.设平行四边形的面积为4S.求出S1,S2(用s表示)即可解决问题. 【详解】
解:如图,连接OA,OB,OC.设平行四边形的面积为4S.
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心, ∴S△AOB=S△BOC=∵EF=∴S1=
1S平行四边形ABCD=S, 411AB,GH=BC, 2311S,S2=S, 231SS123, ∴
S21S23∴S13S2; 2故答案为:【点睛】
3. 2本题考查中心对称,平行四边形的性质,三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.
12.一个三角形的三边长分别为 6,8,10,则这个三角形最长边上的中线为_____.5
【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解:∵62+82=100=102∴该三角形是直角三角形∴×10=5故答案为:5【点睛】
解析:5 【分析】
根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可. 【详解】
解:∵62+82=100=102, ∴该三角形是直角三角形, ∴
1×10=5. 2故答案为:5 【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理的逆定理,判断出直角三角形是解题的关键.
13.如图,在菱形ABCD中,AC6,AB5,点E是直线AB,CD之间任意一点,连接AE,BE,DE,CE,则EAB和ECD的面积之和是______.
12【分析】连接BD根据菱形对角线的性质利用勾股定理计
算BD的长根据两平行线的距离相等所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如
图
解析:12 【分析】
连接BD,根据菱形对角线的性质,利用勾股定理计算BD的长,根据两平行线的距离相等,所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半,再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论. 【详解】
如图,连接BD交AC于O,
∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=
11AC=×6=3, 22∵AB=5,由勾股定理得:OB=∴BD=2OB=8, ∵AB∥CD,
AB2OA24,
∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离, ∴△EAB和△ECD的面积和=故答案为:12. 【点睛】
本题考查菱形的性质,三角形的面积,平行线的性质,熟知平行线的距离相等,得△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离是解题的关键.
14.在RtABC中,∠C=90°,点D是AB边的中点,若AB=8,则CD=______.4【分
1111×S菱形ABCD=××AC×BD=68=12. 2224析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得【详解】∵D是AB的中点∴∴故答案为:4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质熟记性质是解题的关键
解析:4. 【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得AB2CD.
【详解】
∵C90,D是AB的中点, ∴AB2CD,
11AB84. 22故答案为:4. 【点睛】
∴CD本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关键. 15.在四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD是平行四边形,还需添加一个条件,这个条件可以是__________.(只要填写一种情况)(答案不唯一)【分析】
根据平行四边形的判定定理有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可填写【详解】解:∵AD∥BCAD=BC∴四边形ABCD是平行四边形故答案为:AD=BC(答案不唯一)【点睛】
解析:ADBC(答案不唯一) 【分析】
根据平行四边形的判定定理“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可填写. 【详解】
解:∵AD∥BC,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 故答案为:AD=BC(答案不唯一) 【点睛】
本题考查了平行四边形的判定,熟知平行四边形的判定定理是解题的关键,本题有多种答案,如可以根据平行四边形的定义填写AB∥CD等.
16.如图,点D、E分别是边AB、AC上的点,已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点,连接FG、GH、FH,若BD=8,CE=6,∠FGH=90°,则FH长为____.
5【分析】根据三角形中位线定理分别求出的长度
根据勾股定理计算即可得到答案【详解】FG分别是的中点∴∵分别是BEBC的中点∴∵∠FGH=90°∴由勾股定理得故答案为:5【点睛】本题考查的是勾股定理三角
解析:5 【分析】
根据三角形中位线定理分别求出GF、GH的长度,根据勾股定理计算,即可得到答案. 【详解】
F,G分别是DE,BE的中点, ∴GF1BD4, 2∵G,H分别是BE,BC的中点,
1CE3, 2∵∠FGH=90°, ∴由勾股定理得,
∴GHFHGF2GH242325,
故答案为:5. 【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键.
17.如图,平面直角坐标系中,已知点A9,9,点B、C分别在y轴、x轴上,
ABAC且ABAC,若B点坐标为0,a,则OC______(用含a的代数式表
示).
18-【分析】过A作AE⊥y轴于EAD⊥x轴于D构
造正方形AEOD再证△AEB≌△ADC(SAS)得BE=CD由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】
解析:18-a. 【分析】
过A作AE⊥y轴于E,AD⊥x轴于D,构造正方形AEOD,再证△AEB≌△ADC(SAS),得BE=CD,由EB=EO-BO=9-a,可求CD=9-a,求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可. 【详解】
过A作AE⊥y轴于E,AD⊥x轴于D, ∵点A9,9,
AE=AD=OE=OD=9,∠ADO=90º, 四边形AEOD为正方形, ∵ABAC,∠EAD=90°,
∴∠EAB+∠BAD=90°,∠BAD+∠DAC=90°, ∴∠BAE=∠CAD,
∵ABAC,AE=AD, ∴△AEB≌△ADC(SAS), ∴BE=CD, ∵EB=EO-BO=9-a, ∴CD=9-a,
OC=OD+CD=9+9-a=18-a, 故答案为:18-a.
【点睛】
本题考查正方形的判定与性质,三角形全等判定与性质,掌握正方形的判定方法与性质,三角形全等判定的方法与性质是解题关键.
18.如图,MON90,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上,当点B在边ON上移动时,点A随之在边OM上移动,AB2,BC1,运动过程中,点D到点
O的最大距离为______.
【分析】取AB的中点E则OE=1DE=利用三角形原
理可确定最大值【详解】如图取AB的中点E连接OEDE∵OE是直角三角形ABO斜边上的中线AB=2∴OE=1在直角三角形DAE中根据勾股定理得DE== 解析:21
【分析】
取AB的中点E,则OE=1,DE=2,利用三角形原理可确定最大值. 【详解】
如图,取AB的中点E, 连接OE,DE,
∵OE是直角三角形ABO斜边上的中线,AB=2,
∴OE=1,
在直角三角形DAE中,
根据勾股定理,得DE=DA2AE2=2, ∴当O,D,E三点共线时,DO最大, 且最大值为2+1, 故应该填21.
【点睛】
本题考查了线段的最值,构造斜边上的中线,灵活运用三角形原理是解题的关键. 19.如图,在矩形ABCD中,AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A,折痕为DE.若将∠B沿EA向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B,则AB=_______.
【分析】利用矩形和折叠的性质证明
∠ADE=∠ADE=∠ADC=30°∠C=∠ABD=90°推出△DBA≌△DCA那么DC=DB设AB=DC=x在Rt△ADE中通过勾股定理可求出AB的长度【详解】解: 解析:3
【分析】
利用矩形和折叠的性质,证明∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°,∠C=∠A'B'D=90°,推出△DB'A'≌△DCA',那么DC=DB',设AB=DC=x,在Rt△ADE中,通过勾股定理可求出AB的长度. 【详解】
解:∵四边形ABCD为矩形, ∴∠ADC=∠C=∠B=90°,AB=DC,
由翻折知,△AED≌△A'ED,△A'BE≌△A'B'E,∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°, ∴∠AED=∠A'ED,∠A'EB=∠A'EB',BE=B'E, ∴∠AED=∠A'ED=∠A'EB=
1×180°=60°, 3∴∠ADE=90°-∠AED=30°,∠A'DE=90°-∠A'EB'=30°, ∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°, 又∵∠C=∠A'B'D=90°,DA'=DA', ∴△DB'A'≌△DCA'(AAS), ∴DC=DB', 在Rt△AED中, ∠ADE=30°,AD=2,
223∴AE= =,
33设AB=DC=x,则BE=B'E=x-∵AE2+AD2=DE2, ∴(23 3232232)22(xx) 333 (负值舍去),x2=3 , 3解得,x1=−故答案为:3. 【点睛】
本题考查了矩形的性质,轴对称的性质等,解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°.
20.如图,矩形ABCD全等于矩形BEFG,点C在BG上,连接DF,点H为DF的中点,若AB20,BC12,则CH的长为__________.
【分析】连接并延长交于Q由矩形的性质得出由
平行线的性质得出由证得得出则是等腰直角三角形得出由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果【详解】如图所示:连接并延长交于Q∵矩形全等于矩形∴∴∵点H为的中点 解析:42
【分析】
连接GH并延长GH交CD于Q,由矩形的性质得出ABCDBG20,
BCFG12,FG//AE//CD,GCQ90,由平行线的性质得出
HFGHDQ,由ASA证得HFG≌HDQ,得出DQFG12,HGHQ,
CGBGBC8,CQCDDQ8,则GCQ是等腰直角三角形,得出
GQ2CQ82,由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果.
【详解】
如图所示:连接GH并延长GH交CD于Q,
∵矩形ABCD全等于矩形BEFG,
∴ABCDBG20,BCFG12,FG//AE//CD,GCQ90, ∴HFGHDQ, ∵点H为DF的中点, ∴
HFHD,
HFGHDQ在HFG和HDQ中,HFHD,
GHFQHD∴
HFG≌HDQ(ASA),
∴DQFG12,HGHQ,
CGBGBC20128,CQCDDQ20128,
∴
GCQ是等腰直角三角形,
2CQ82,
∴GQ在RtGCQ中,HGHQ, ∴CH11GQ8242, 22故答案为:42. 【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识;熟练掌握矩形的性质,通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键.
三、解答题
21.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AD=12cm,AB=18cm,CD=23cm,动点P从点A出发,以1cm/s的速度向点B运动,同时动点Q从点C出发,以2cm/s的速度向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动时间为t秒.
(1)当t=3时,PB= cm.
(2)当t为何值时,直线PQ把四边形ABCD分成两个部分,且其中的一部分是平行四边形?
(3)四边形PBQD能否成为菱形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
解析:(1)15;(2)t=6或【分析】
(1)先求出AP,即可求解;
23;(3)能,t=5. 3(2)分两种情况讨论,由平行四边形的性质可求解; (3)由菱形的性质可求DP=BP,由勾股定理可求解. 【详解】
解:(1)当t=3时,则AP=3×1=3cm, ∴PB=AB﹣AP=18﹣3=15cm, 故答案为:15.
(2)若四边形PBCQ是平行四边形, ∴PB=CQ, ∴18﹣t=2t, ∴t=6,
若四边形PQDA是平行四边形, ∴AP=DQ, ∴t=23﹣2t, ∴t=
23, 323; 3综上所述:t=6或(3)如图,
若四边形PBQD是菱形, ∴BP=DP,
∵AP2AD2DP2, ∴AP2144(18AP)2,
∴AP=5, ∴t=
5=5, 1∴当t=5时,四边形PBQD为菱形. 【点睛】
本题考查了平行四边形,菱形的判定,勾股定理,分类思想,熟练掌握菱形的判定定理,灵活运用分类思想是解题的关键.
22.如图,在ABC中,D是AB的中点,AC=2,BC=22,AB=23,延长AC到E,使得CE=CD,连接BE. (1)求证:∠ACB=90°; (2)求线段BE的长度.
解析:(1)见解析;(2)11 【分析】
(1)利用勾股定理的逆定理判定AC⊥BC;
(2)在直角△BCE中,利用勾股定理来求BE的长度. 【详解】
证明:(1)∵在△ABC中,AC=2,BC=22,AB=23, ∴AC2=4,BC2=8,AB2=12, ∴AC2+BC2=AB2. ∴∠ACB=90°;
(2)由(1)知,∠ACB=90°,则∠BCE=90°. ∵D是AB的中点,AB=23,CE=CD, ∴CE=CD=
1AB=3. 2∴在直角△BCE中,由勾股定理得:BE=BC2EC2=(22)2(3)2=11.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理,勾股定理的逆定理,直角三角形斜边上的中线.注意:勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.
23.如图,将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠,使点D落在BC上的点F处,已知AB=6,△ABF的面积是24,求DE的长.
10解析:
3【分析】
先根据三角形的面积公式求得BF的长,然后根据勾股定理可求得AF=10,由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10,故此FC=2,最后在△EFC中,由勾股定理列方程求解即可. 【详解】 解:∵S△ABF=24, ∴
11AB•BF=24,即×6×BF=24. 22解得:BF=8.
在Rt△ABF中由勾股定理得:AF=∴FC=10-8=2. 设DE=x,则EC=6-x.
在Rt△EFC中,由勾股定理得:EF2=FC2+EC2,x2=4+(6-x)2. 解得:x=∴DE=
AB2BF2=10.
由翻折的性质可知:BC=AD=AF=10,ED=FE.
10, 310. 3【点睛】
本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用,根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键.
24.如图,菱形ABCD中,B60,点E,F分别在BC和CD上,BECF,求
证:AEAF.
解析:证明见解析. 【分析】
连接AC,证ABE≌ACF即可 【详解】 证明:连接AC, ∵四边形ABCD是菱形,
∴ABBCCDAD,AC平分BCD. ∵B60,
ABC是等边三角形,
∴ABAC,BBCAACF60.
∴
ABAC∴在△ABE与ACF中,BACF.
BECFABE≌ACF. ∴AEAF.
∴
【点睛】
本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,证明三角形全等是解此题的关键. 25.如图,在ABC中,CD是AB边的中线,E是CD的中点,连接AE并延长交
BC于点F.求证:BF2CF.
解析:见解析
【分析】
取AF的中点M,连接DM,则DM是△ABF的中位线,利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得. 【详解】
证明:取AF的中点M,连接DM, ∵CD是AB边的中线, ∴D是AB边的中点, ∴BF2DM,
DM//BC.
∴MDEFCE,DMECFE. ∵E是CD的中点, ∴DECE,
MDEFCE在△MDE和△FCE中,DMECFE
DECE∴△MDE≌△FCE. ∴DMCF, ∴BF2CF.
【点睛】
此题考查的是三角形中位线的性质,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
26.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,点F在边BC的延长线上,且
EDF90.求证:DEDF.
解析:见解析 【分析】
利用ASA证明△ADE≌△CDF即可得到结论.
【详解】 证明:
四边形ABCD是正方形,
ADCD,ADCFADC90, 又EDF90,
ADCEDCEDFEDC. ADECDF. 在ADE与CDF中, ADECDF, ADCDADCF△ADE≌△CDF(ASA).
DEDF.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质,正方形的性质,熟记正方形的性质是解题的关键. 27.已知:如图,在ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得到GFC.
(1)求证:BEDG
(2)若四边形ABFG是菱形,且B60,求AB:BC的值. 解析:(1)见详解;(2)AB:BC=2:3. 【分析】
(1)根据平移的性质,可得:AE=CG,再证明Rt△ABE≌Rt△CDG即可得到BE=DG; (2)根据四边形ABFG是菱形,得出AB=BF;根据条件找到满足AB=BF的AB与BC满足的数量关系即可. 【详解】
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD.
∵AE是BC边上的高,且CG是由AE沿BC方向平移而成. ∴CG⊥AD. ∴∠AEB=∠CGD=90°.
∵AE=CG,AB=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△CDG(HL). ∴BE=DG;
(2)∵四边形ABFG是菱形 ∴AB∥GF,AG∥BF, ∵Rt△ABE中,∠B=60°, ∴∠BAE=30°, ∴BE=
1AB.(直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半) 2∵四边形ABFG是菱形, ∴AB=BF. ∴BE=CF, ∴EF=∴BC=
1AB, 23AB, 2∴AB:BC=2:3. 【点睛】
本题考查平移的基本性质是:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等和平行四边形的性质以及菱形的性质.
28.如图,在方格纸中,点A,B,P都在格点上.请按要求画出以AB为边的格点图形.
(1)在图甲中画出一个三角形,使BP平分该三角形的面积.
(2)在图乙中画出一个至少有一组对边平行的四边形,使AP平分该四边形的面积. 解析:(1)画图见解析;(2)画图见解析. 【分析】
(1)连接AP延长至D点,使AP=DP,再连接BD,△ABD即为所求; (2)作EP平行且相等于AB,连接AE,四边形ABPE即为所求. 【详解】
(1)作图如下,连接AP延长至D点,使AP=DP,再连接BD,
△ABD即为所求, APDP,
ABP和△BDP是等底同高的两个三角形, BP平分△ABD三角形的面积;
(2)作图如下,作EP平行且相等于AB,连接AE, 四边形ABPE即为所求, AB平行且相等于EP,
四边形ABPE为平行四边形,
AP为ABCD的对角线, AP平分ABCD的面积.
【点睛】
本题考查学生的作图能力,涉及三角形面积以及平行四边形面积相关的知识,根据题意作出图像是解题的关键.
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