第七讲 二次函数及不等式

教学目标：

掌握二次函数、二次方程的基本性质，学会解二次不等式的方法。 教学重点：

二次函数的图像及不等式的解集 课时安排：2学时 教学过程：

第一部分：函数、方程与不等式 一 、问题情景

1．初中代数问题：二次函数图象与x轴的位置关系。

画出下列函数的图象，并观察所画的图象与x轴有几个公共点？

(1)y=x-2x-3 (2) y=x-2x+1 (3) y=x2-2x+3

2．问题1：在函数y=x2-2x-3的图象上任取一点P(x,y),观察当点P在抛物线上移动时,随着点P的横坐标的变化,P的纵坐标有什么变化?

问题2：(1)y=0时, x的取值集合是

(2)y>0时, x的取值集合是 (3)y<0时, x的取值集合是 二、学生活动

(1) 要求学生画出函数的图象，

(2) 引导学生根据图象回答问题.

三、数学理论 1.问题3：一般地, 二次函数y=ax2+bx+C(a0)与相应的二次方程与二次不等式有下列关系:

=b2-4ac 0 =0 0 22

y=ax2+bx+C (a0)的图象 ax2+bx+C=0 (a0)的根 ax2+bx+C>0 (a0)的解集 ax+bx+C<0 (a0)的解集 2 2. 二次函数y =ax2+bx+C(a≠0)的零点.

四、数学应用

1. 例题

例题1.求下列不等式的解集

2

(1) 3x+5x<0 (2) 4x2-4x+1>0 (3) –x+2x-3>0

2. 练习：求下列不等式的解集

(1) x-3x-10>0

2

(2) –3x+5x-4>0 (3) x (1-x)>x (2x-3)+1

3. 例题2 如图 是一个二次函数y=f(x)的图象.

(1) 写出这个二次函数的零点.

(2) 写出这个二次函数的解析式.

(3) 确定f(-4)f(-1)、f(0)f(2)的符号. 第二部分：二次函数、二次方程 一、问题情景

1．求下列函数的定义域 （1）yx4x9 （2）y2

2

2

22x12x18

22．若关于的一元二次方程x-（m+1）x - m=0有两个不相等的实数根，求实数m的范围。 3．m是什么实数时，关于x的一元二次方程mx2-（1-m）x+m=0没有实数根？

4．已知二次函数y=f（x）的对称轴为直线x= -1，与y轴的交点纵坐标是-8，函数的最小值为-9。（1）求函数的解析式；（2）求f（x）的零点；

（3）比较f（-1）f（3）、f（-5）f（1）与零的大小。 二、学生活动

（1） 引导学生自己提出解题思路

（2） 学生解答，教师点评 三、数学理论

一般地,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点(zero point). (1)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.

(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(c)=0的根.

四、数学应用 1．例题

（1） 若方程x+2mx+3=0的两根都小于1，试求m的取值范围。

（2） 程x2-mx+m2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2，试求m的取值范围。 （3） 方程x-（m+4）x-2m+5m+3=0的两个都在[-1，3]上，试求m的取值范围。 （4） 方程7x2-（m+13）x+m2-m-2=0的一个根在区间（0，1）上， 另一个根在区间（1，2）上，试求m的取值范围。

以上例题师生共同完成。

2．练习：方程mx2+3x+4m=0的根都小于1，试求m的取值范围。

2

2

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五、建构数学

问题5

由例题2的图象可以发现零点附近的函数值有什么特点?

(1) (非二重根) (2)

问题6

若x0是二次函数y= ax2+bx+C的零点,且m回顾小结：

(1) 三个二次的关系; (2) 一元二次不等式的解法;

(3) 函数f(x)=0的零点概念及其特点.

(4) 思考题：若方程x+2mx+3=0的两根都小于1，试求m的取值范围。

课后作业：

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