2021-2022学年湖北省鄂州市鄂城区、梁子湖区八年级（上）期
末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 从五边形的其中一个顶点出发，一共可以引出的对角线条数有( )
A. 2条 B. 3条 C. 5条 D. 6条
3. 下列计算正确的是( )
A. (𝑎3)2=𝑎5 B. 𝑎6÷𝑎3=𝑎3 C. (−2𝑎)3=−2𝑎3 D. 2𝑎2⋅𝑎3=2𝑎6
4. 在显微镜下测得一个病毒的直径为0.00000000205米，该数据用科学记数法表示为( )
A. 0.205×10−8米 B. 2.05×109米 C. 20.5×10−10米 D. 2.05×10−9米
5. 等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，若∠𝐴=70°，则∠𝐵的度数是( )
A. 40° B. 55° C. 65° D. 60°
6. 下列多项式不能用公式法分解因式的是( )
A. −𝑥2+𝑦2 B. −𝑦2−2𝑥𝑦−𝑥2 C. 𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2 D. 𝑥2+𝑦2
2
7. 若分式𝑥□𝑥的运算结果为𝑥(𝑥≠0)，则在“□”中添加的运算符号为( )
𝑥+1𝑥+1
A. + B. − C. +或÷ D. −或×
8. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为𝑎 𝑚(𝑎>1)的正方形去掉一个边长为1𝑚的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(𝑎−1)𝑚的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 𝑘𝑔.则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是( )
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A. “丰收1号”水稻单位面积产量高 C. 两种水稻单位面积产量一样多
B. “丰收2号”水稻单位面积产量高 D. 无法判断
9. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷、𝐸是△𝐴𝐵𝐶内的两点，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸=60°，若𝐵𝐸=10𝑐𝑚，𝐷𝐸=4𝑐𝑚，则𝐵𝐶的长为( )
A. 7𝑐𝑚 B. 12𝑐𝑚 C. 14𝑐𝑚 D. 16𝑐𝑚
10. 如图，将等边△𝐴𝐵𝐶折叠，使得点𝐶恰好落在边𝐴𝐵上的点𝐷处，折痕为𝐸𝐹，𝑂为折痕𝐸𝐹上一动点，若𝐴𝐷=2，𝐴𝐵=6，则△𝑂𝐵𝐷周长的最小值是( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如果分式
2𝑥
有意义，那么𝑥的取值范围是______． 𝑥−3
12. 若点𝐴(𝑚,3)与点𝐵(4,𝑛)关于𝑦轴对称， 则(𝑚+𝑛)2021=______．
13. 如图是由边长相等的小正方形组成的网格，则∠1+∠2+∠3的大小为______(度)．
14. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=70°，𝑂是三条高𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹的交点，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为______．
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15. 已知关于𝑥的分式方程
𝑚3
+𝑥−11−𝑥
=1的解是非负数，则𝑚的取值范围是______．
16. 如图，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐴𝐷⊥𝐵𝐷于点𝐷，若△𝐴𝐵𝐶的面积为8，则△𝐴𝐷𝐶的面积为 ______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. (1)因式分解：2𝑥2𝑦+4𝑥𝑦2+2𝑦3； (2)解方程：𝑥−1=2(𝑥−1)−2．
四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分) 先化简，再求值：19. (本小题6.0分)
如图，已知点𝐵，𝐸，𝐶，𝐹在同一条直线上，𝐴𝐵=𝐷𝐸，∠𝐴=∠𝐷，𝐴𝐶//𝐷𝐹.求证：𝐵𝐸=𝐶𝐹．
𝑥−47
÷(𝑥−3−)，其中𝑥𝑥+3𝑥+3𝑥
3
=−1．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，𝐴(1,4)，𝐵(3,1)，𝐶(3,5)．
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(1)请画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1； (2)直接写出△𝐴𝐵𝐶的面积为______；
(3)已知点𝐷的横纵坐标都是整数，且△𝐵𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐴全等，请直接写出所有满足条件的点𝐷的坐标．(点𝐷与点𝐴不重合) 21. (本小题8.0分)
疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包医用口罩，很快售完，该店又用7500元购进第二批这种口罩，所购进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： (1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？ 22. (本小题10.0分)
∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷是𝐴𝐶边上一点，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，如图，在△𝐴𝐵𝐶中，连接𝐵𝐷，且𝐴𝐸=𝐵𝐷，𝐴𝐸与𝐵𝐶交于点𝐹． (1)求证：𝐶𝐸=𝐴𝐷；
(2)当𝐴𝐷=𝐶𝐹时，求证：𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶．
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23. (本小题12.0分)
在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若
𝑥𝑥𝑥2+1=，求代数式𝑥2+
1
141
的值． 𝑥2解：∵2=，
𝑥+14∴
𝑥2+1𝑥2
=4，
𝑥即𝑥+1=4，
𝑥∴𝑥+=4，
∴𝑥2+𝑥2=(𝑥+𝑥)2−2=16−2=14．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“𝑘”，将连等式变成几个值为𝑘的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2𝑥=3𝑦=4𝑧，且𝑥𝑦𝑧≠0，求𝑦+𝑧的值． 解：令2𝑥=3𝑦=4𝑧=𝑘(𝑘≠0) 则𝑥=，𝑦=，𝑧=，
234∴
𝑥𝑦+𝑧𝑘
𝑘
𝑘
𝑥
1
1
1𝑥=
1𝑘211𝑘+4𝑘3=
1
2712=7．
6
根据材料回答问题： (1)已知
𝑥𝑥2−𝑥+1𝑎
𝑏
=4，求𝑥+𝑥的值；
𝑐
3𝑏+4𝑐
11
(2)已知==，(𝑎𝑏𝑐≠0)，求的值；
5432𝑎(3)已知𝑥、𝑦、𝑧为实数，𝑥+𝑦=−2，𝑦+𝑧=3，24. (本小题12.0分)
𝐵(𝑎,0)，如图，在平面直角坐标系中，已知点𝐴(𝑎−1,𝑎+𝑏)，且|𝑎+𝑏−3|+(𝑎−2𝑏)2=0，𝐶为𝑥轴上点𝐵右侧的动点，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝑂𝐴𝐵=𝑛°，以𝐴𝐶为腰作等腰三角形𝐴𝐶𝐷，使𝐴𝐷=𝐴𝐶，直线𝐷𝐵交𝑦轴于点𝑃． (1)求出𝐴、𝐵两点坐标； (2)求证：△𝐴𝑂𝐶≌△𝐴𝐵𝐷；
𝑥𝑦
𝑦𝑧
4
𝑧𝑥
𝑧+𝑥=−.求分式𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥的值．
43𝑥𝑦𝑧
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(3)当点𝐶运动时，∠𝑂𝑃𝐵的度数会改变吗？如果不变，求出∠𝑂𝑃𝐵的度数，如果变，请说明理
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由．
答案和解析
1.【答案】𝐴
【解析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 解：𝐴、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：𝐴．
2.【答案】𝐴
【解析】本题考查多边形的性质，从𝑛边形的一个顶点出发，能引出(𝑛−3)条对角线，这(𝑛−3)条对角线把多边形分成(𝑛−2)个三角形．
根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出𝑛边形从一个顶点出发可引出(𝑛−3)条对角线．
解：从五边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的2个顶点引对角线，即能引出2条对角线． 故选：𝐴．
3.【答案】𝐵
【解析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，掌握𝑎𝑚÷𝑎𝑛=𝑎𝑚−𝑛(𝑎≠0)是解题的关键．
根据幂的乘方判断𝐴选项；根据同底数幂的除法判断𝐵选项；根据积的乘方判断𝐶选项；根据单项式乘单项式判断𝐷选项．
解：𝐴选项，原式=𝑎6，故该选项错误； 𝐵选项，原式=𝑎3，故该选项正确； 𝐶选项，原式=−8𝑎3，故该选项错误；
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𝐷选项，原式=2𝑎5，故该选项错误； 故选：𝐵．
4.【答案】𝐷
【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解：0.00000000205米，该数据用科学记数法表示为2.05×10−9米． 故选：𝐷．
5.【答案】𝐵
【解析】本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可直接得出答案． 解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐵=∠𝐶． ∵∠𝐴=70°，
∴∠𝐵=(180°−70°)÷2=55°． 故选：𝐵．
6.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴.−𝑥2+𝑦2=(𝑦+𝑥)(𝑦−𝑥)，故A不符合题意； B.−𝑦2−2𝑥𝑦−𝑥2=−(𝑦+𝑥)2，故B不符合题意； C.𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2=(𝑥−𝑦)2，故C不符合题意； D.𝑥2+𝑦2，不能用公式法分解，故D符合题意． 故选：𝐷．
根据平方差公式和完全平方公式的特征判断即可．
本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特征是解题的关键．
7.【答案】𝐶
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【解析】本题考查了分式的加、减、乘、除．掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 可对两个分式分别进行加、减、乘、除运算，根据结果是否是𝑥对选项作出判断．
22
解：𝑥+𝑥=𝑥+𝑥=𝑥(𝑥+1)=𝑥，故+号符合题意；
𝑥+1𝑥+1𝑥+1𝑥+1
𝑥2𝑥
−𝑥+1𝑥+1𝑥2𝑥×𝑥+1𝑥+1𝑥2𝑥
÷𝑥+1𝑥+1
=𝑥+1≠𝑥，故−号不符合题意； ==
𝑥3(𝑥+1)
2
𝑥2−𝑥
≠𝑥，故×号不符合题意；
=𝑥，故÷号符合题意．
𝑥2𝑥+1
×𝑥+1𝑥
故选：𝐶．
8.【答案】𝐵
【解析】 【分析】
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出两块试验田的单位面积． 根据题意，可以分别求出两种水稻的单位面积产量，然后比较大小即可． 【解答】 解：由图可得，
“丰收1号”单位面积的产量为：“丰收2号”单位面积的产量为：∵𝑎>1，𝑎+1>𝑎−1，
∴(𝑎+1)(𝑎−1)>(𝑎−1)(𝑎−1)， ∴(𝑎+1)(𝑎−1)<(𝑎−1)(𝑎−1)，
即“丰收2号”水稻单位面积产量高． 故选：𝐵．
500
500
500
2
𝑎2−1
==
500
， (𝑎+1)(𝑎−1)500
(𝑎−1)(𝑎−1)，
500
2
(𝑎−1)
9.【答案】𝐶
【解析】解：延长𝐸𝐷交𝐵𝐶于𝐹，延长𝐴𝐷交𝐵𝐶于𝐻，如图， ∵∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸=60°，
∴∠𝐸𝐹𝐵=60° ∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸=∠𝐸𝐹𝐵
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∴△𝐵𝐸𝐹为等边三角形，
∴𝐵𝐹=𝐵𝐸=𝐸𝐹=10𝑐𝑚，∠𝐵𝐹𝐸=60°， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴𝐴𝐻⊥𝐵𝐶，𝐵𝐻=𝐶𝐻， ∵𝐷𝐸=4𝑐𝑚，
∴𝐷𝐹=𝐸𝐹−𝐷𝐸=6𝑐𝑚，
在𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐻中，∠𝐻𝐷𝐹=90°−60°=30°， ∴𝐻𝐹=2𝐷𝐹=3，
∴𝐵𝐻=𝐵𝐹−𝐻𝐹=10−3=7(𝑐𝑚)， ∴𝐵𝐶=2𝐵𝐻=14𝑐𝑚． 故选：𝐶．
延长𝐸𝐷交𝐵𝐶于𝐹，延长𝐴𝐷交𝐵𝐶于𝐻，如图，先证明△𝐵𝐸𝐹为等边三角形得到𝐵𝐹=𝐵𝐸=𝐸𝐹=10𝑐𝑚，∠𝐵𝐹𝐸=60°，𝐵𝐻=𝐶𝐻，再根据等腰三角形的性质得到𝐴𝐻⊥𝐵𝐶，接着计算出𝐷𝐹=6𝑐𝑚，则𝐻𝐹=𝐷𝐹=3，然后计算出𝐵𝐻，从而得到𝐵𝐶的长． 本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质．
1
21
10.【答案】𝐵
【解析】本题考查了等边三角形中的翻折变换，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
利用轴对称的性质：△𝑂𝐵𝐷的周长为𝑂𝐷+𝑂𝐵+𝐵𝐷=𝑂𝐶+𝑂𝐵+𝐵𝐷，而𝐵𝐷=4，若周长最小，只要𝑂𝐵+𝑂𝐶最小，即𝐵，𝑂，𝐶三点共线即可． 解：如图，连接𝑂𝐶，𝑂𝐷，𝑂𝐵，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=6．
∵将等边△𝐴𝐵𝐶折叠，使得点𝐶恰好落在边𝐴𝐵上的点𝐷处，折痕为𝐸𝐹，
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∴𝐶、𝐷关于𝐸𝐹对称， ∴𝑂𝐶=𝑂𝐷． ∵𝐴𝐷=2，𝐴𝐵=6， ∴𝐵𝐷=4，
∴△𝑂𝐵𝐷的周长=𝑂𝐷+𝑂𝐵+𝐵𝐷=𝑂𝐶+𝑂𝐵+𝐵𝐷=𝑂𝐶+𝑂𝐵+4， ∴当𝐵、𝑂、𝐶三点共线，即𝑂与𝐹重合时，△𝑂𝐵𝐷周长最小值为𝐵𝐶+4=10． 故选：𝐵．
11.【答案】𝑥≠3
【解析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： (1)分式无意义得到分母为零； (2)分式有意义得到分母不为零；
(3)分式值为零得到分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可． 解：由题意得，𝑥−3≠0， 解得𝑥≠3． 故答案为：𝑥≠3．
12.【答案】−1
【解析】解：∵点𝐴(𝑚,3)与点𝐵(4,𝑛)关于𝑦轴对称， ∴𝑚=−4，𝑛=3，
∴(𝑚+𝑛)2021=(−4+3)2021=−1， 故答案为：−1．
根据关于𝑦轴对称点的坐标特征求出𝑚、𝑛的值，再代入计算即可．
本题考查关于𝑦轴对称的点的坐标，掌握关于𝑦轴对称的点的坐标的特征是解决问题的前提，求出𝑚、𝑛的值是得出正确答案的关键．
13.【答案】135
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【解析】解：∵在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐸中，
𝐴𝐵=𝐵𝐷{∠𝐴=∠𝐷, 𝐴𝐶=𝐷𝐸
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠3=∠𝐴𝐶𝐵， ∵∠𝐴𝐶𝐵+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， 由图可知∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°， 故答案为：135．
首先利用𝑆𝐴𝑆定理判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，根据全等三角形的性质可得∠3=∠𝐴𝐶𝐵，再由∠𝐴𝐶𝐵+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠2+∠3=90°．
此题主要考查了全等图形和角的计算，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
14.【答案】110°
【解析】本题主要考查了四边形的内角和，掌握四边形的内角和是360°是解决本题的关键． 在四边形𝐴𝐹𝑂𝐸中，利用四边形的内角和与直角先求出∠𝐸𝑂𝐹，再求出∠𝐵𝑂𝐶． 解：∵𝐵𝐸、𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的高， ∴∠𝐴𝐹𝑂=∠𝐴𝐸𝑂=90°．
∵∠𝐴𝐹𝑂+∠𝐴𝐸𝑂+∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐹𝑂𝐸=360°，
∴∠𝐹𝑂𝐸=360°−(∠𝐴𝐹𝑂+∠𝐴𝐸𝑂+∠𝐵𝐴𝐶)=360°−(90°+90°+70°)=110°． ∵∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐹𝑂𝐸， ∴∠𝐵𝑂𝐶=110°． 故答案为：110°．
15.【答案】𝑚≥2且𝑚≠3
【解析】 【分析】
本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题
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的关键．解出分式方程，根据解是非负数求出𝑚的取值范围，再根据𝑥=1是分式方程的增根，求出此时𝑚的值，得到答案． 【解答】 解：
𝑚3
+𝑥−11−𝑥
=1
去分母得，𝑚−3=𝑥−1， 解得𝑥=𝑚−2， 由题意得，𝑚−2≥0， 解得，𝑚≥2，
因为𝑥=1是分式方程的增根， 所以当𝑥=1时，方程无解，即𝑚≠3， 所以𝑚的取值范围是𝑚≥2且𝑚≠3． 故答案为𝑚≥2且𝑚≠3．
16.【答案】4
【解析】本题考查了三角形面积公式和等腰三角形的性质．构建等腰三角形𝐴𝐵𝐸是解决问题的关键．
延长𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸，证明∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐷得到𝐴𝐵=𝐴𝐸，再根据等腰三角形的性质得到𝐵𝐷=𝐸𝐷，然后根据三角形面积公式得到𝑆△𝐴𝐷𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐶．
2解：如图，延长𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸， ∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐸=90°， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐷， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸为等腰三角形． ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐸， ∴𝐵𝐷=𝐸𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐸𝐷，𝑆△𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐸𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=𝑆△𝐴𝐸𝐷+𝑆△𝐸𝐶𝐷=2𝑆△𝐴𝐵𝐸+2𝑆△𝐸𝐵𝐶=2(𝑆△𝐴𝐵𝐸+𝑆△𝐸𝐵𝐶)=2𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×8=4．
1
1
1
1
1
1
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故答案为：4．
17.【答案】解：(1)2𝑥2𝑦+4𝑥𝑦2+2𝑦3
=2𝑦(𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2)
=2𝑦(𝑥+𝑦)2； (2)
𝑥𝑥−1=
3
−2， 2(𝑥−1)方程两边都乘2(𝑥−1)得：2𝑥=3−4(𝑥−1) 解得：𝑥=，
检验：把𝑥=代入2(𝑥−1)≠0，
6所以𝑥=是原方程的解，
6所以原方程的解为𝑥=． 6【解析】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
(1)原式提取公因式2𝑦，再利用完全平方公式分解即可；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到𝑥的值，经检验即可得到分式方程的解．
7
7
77
6
18.【答案】解：原式=𝑥−4÷𝑥
𝑥+32−9−7
𝑥+3 𝑥−4𝑥+3
· 𝑥+3(𝑥−4)(𝑥+4)=
=𝑥+4，
当𝑥=−1时，原式=
1−1+41
=．
13【解析】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握运算法则是解题关键． 直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
19.【答案】证明：∵𝐴𝐶//𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐹． 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
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∠𝐴=∠𝐷,{∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐹, 𝐴𝐵=𝐷𝐸,
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐶=𝐸𝐹，
∴𝐵𝐸+𝐶𝐸=𝐶𝐹+𝐶𝐸， ∴𝐵𝐸=𝐶𝐹．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 由“𝐴𝐴𝑆“可证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，可得𝐵𝐶=𝐸𝐹，可得结论．
20.【答案】解：(1)如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
(2)4；
(3)点𝐷的坐标为(1,2)或(5,2)或(5,4)． 【解析】 【分析】
本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． (1)根据轴对称的性质即可画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1； (2)根据坐标求出△𝐴𝐵𝐶的面积；
(3)根据网格和△𝐵𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐴全等，即可写出所有满足条件的点𝐷的坐标． 【解答】 解：(1)见答案；
(2)△𝐴𝐵𝐶的面积为×4×2=4，
21
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故答案为：4； (3)见答案．
21.【答案】解：(1)设购进的第一批医用口罩有𝑥包，则
4000𝑥=(1+50%)𝑥−0.5．
7500
解得：𝑥=2000．
经检验𝑥=2000是原方程的解． 答：购进的第一批医用口罩有2000包；
(2)设药店销售该口罩每包的售价是𝑦元，则由题意得： [2000+2000(1+50%)]𝑦−4000−7500≤3500． 解得：𝑦≤3．
答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设购进的第一批医用口罩有𝑥包，根据“每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元”列出方程并解答；
(2)设药店销售该口罩每包的售价是𝑦元，根据“售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱”列出不等式．
22.【答案】证明：(1)∵𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，
∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐴𝐶=90°， 在𝑅𝑡△𝐶𝐴𝐸与𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中， 𝐴𝐸=𝐵𝐷{， 𝐶𝐴=𝐴𝐵
∴𝑅𝑡△𝐶𝐴𝐸≌𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷(𝐻𝐿)， ∴𝐶𝐸=𝐴𝐷．
(2)设𝐵𝐷与𝐴𝐸交于𝐺点，
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由(1)得𝑅𝑡△𝐶𝐴𝐸≌𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷， ∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐷𝐵𝐴，∠𝐸=∠𝐴𝐷𝐵， 由(1)得𝐶𝐸=𝐴𝐷， ∵𝐴𝐷=𝐶𝐹， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐹， ∴∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐸， ∵∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐴𝐹𝐵， ∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐸， ∵∠𝐸=∠𝐴𝐷𝐵， ∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐷𝐵，
∵∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐴𝐹𝐵， ∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐷𝐵𝐶， ∵∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐷𝐵𝐴， ∴∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐷𝐵𝐶， ∴𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶．
【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是根据𝐻𝐿证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
(1)根据𝐻𝐿证明𝑅𝑡△𝐶𝐴𝐸与𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷全等，进而解答即可； (2)根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．
23.【答案】解：(1)∵𝑥2−𝑥+1=4，
∴
𝑥2−𝑥+1
𝑥𝑥
1
=4，
1
∴𝑥−1+𝑥=4，
第17页，共20页
∴𝑥+𝑥=5； (2)设===𝑘，
543
则𝑎=5𝑘，𝑏=4𝑘，𝑐=3𝑘， ∴2𝑎=
𝑥𝑦3𝑏+4𝑐
12𝑘+12𝑘
10𝑘𝑎
𝑏
𝑐
1
=5；
12
(3)∵𝑥+𝑦=−2， ∴𝑥𝑦=−2， ∴𝑥+𝑦=−2．
同理可得：𝑦+𝑧=4，+=−，
𝑥𝑧4∴+++++=−，
𝑥𝑦𝑦𝑧𝑥𝑧2∴𝑥+𝑦+𝑧=−4， ∴
𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑥𝑧
𝑥𝑦𝑧
𝑥𝑦𝑧1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
3
1
1
1
𝑥+𝑦
1
=−4，
1
∴𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑥𝑧=−4．
【解析】本题考查的是分式的通分和约分、实数的性质，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键．
(1)利用倒数法把原式变形，计算即可； (2)设=
𝑎5𝑏4==𝑘，用𝑘表示出𝑎、𝑏、𝑐，代入计算即可；
1
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𝑐3(3)利用倒数法、分式的约分法则计算求出𝑥+𝑦+𝑧，把原式变形，代入计算得到答案．
24.【答案】解：(1)∵|𝑎+𝑏−3|+(𝑎−2𝑏)2=0，
𝑎+𝑏−3=0,∴{ 𝑎−2𝑏=0,
𝑎=2,
解得{
𝑏=1.
∴𝑎−1=1，𝑎+𝑏=3， ∴𝐴(1,3)，𝐵(2,0)；
(2)证明：作𝐴𝐸⊥𝑂𝐵于点𝐸，
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∵𝐴𝐸⊥𝑂𝐵，𝐴(1,3)，𝐵(2,0)， ∴𝑂𝐵=2，𝑂𝐸=1，𝐴𝐸=3， ∴𝐵𝐸=1．
在△𝐴𝐸𝑂与△𝐴𝐸𝐵中，
𝐴𝐸=𝐴𝐸,
{∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐴𝐸𝐵=90°, 𝑂𝐸=𝐵𝐸,
∴△𝐴𝐸𝑂≌△𝐴𝐸𝐵(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝑂𝐴=𝐴𝐵． ∵∠𝐶𝐴𝐷=∠𝑂𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝑂𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐶， 即∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷． 在△𝐴𝑂𝐶与△𝐴𝐵𝐷中，
𝑂𝐴=𝐴𝐵,
{∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷, 𝐴𝐶=𝐴𝐷,
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐴𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)； (3)∠𝑂𝑃𝐵的度数不发生改变． ∵△𝐴𝑂𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐵𝐷，𝐴𝑂=𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐴𝐵𝐷，
∵∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐴𝐵𝑂+∠𝑂𝐴𝐵=180°=∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝐶， ∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐶=𝑛°， ∴∠𝑂𝐵𝑃=∠𝐷𝐵𝐶=𝑛°， ∴∠𝑂𝑃𝐵=(90−𝑛)°．
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【解析】本题是几何变换综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． (1)由非负性可求解；
(2)由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐴𝐸𝑂≌△𝐴𝐸𝐵，可得𝑂𝐴=𝐴𝐵，由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐴𝑂𝐶≌△𝐴𝐵𝐷； (3)由全等三角形的性质可得∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐵𝐷，𝐴𝑂=𝐴𝐵，由三角形内角和定理可得∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐶=𝑛°，即可求解．
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