分式

　　3.5三角形全等的判定(一)(1)

　　教学目标 

　　1.    通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性.

　　2.    比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法,初步培养学生的逻辑推理能力.

　　3.    初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法.

　　4.    掌握证明三角形全等问题的规范书写格式.

　　教学重点和难点

　　应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式.

　　教学过程 设计

　　一、          实例演示，发现公理

　　1.        教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式.

　　2.        在此过程中应启发学生注意以下几点：

　　（1）             可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立.如图3-49(c)中，由ab=ac=3cm,可将△abc绕a点转到b与c重合；由于∠bad=∠cae=120°，保证ad能与ae重合；由ad=ae=5cm,可得到d与e重合.因此△bad可与△cae重合,说明△bad≌△cae.

　　（2）             每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定.

　　（3）             由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

　　3.画图加以巩固.

　　教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形,理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象.

　　二、          提出公理

　　1.板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“sas”，说明记号“sas’的含义.

　　2.强调以下两点：

　　（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等.

　　（2）使用时记号“sas”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上.

　　3.板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程.

　　如图3-50，在△abc与△a’b’c’中,（指明范围）

　　三、应用举例、变式练习

　　1.充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，

　　例1已知：如图 3-51， ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：△abd≌△cbd.

　　分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 bd＝bd得到.

　　说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等.

　　（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）.

　　分析：△abd≌△cbd

　　因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与ab，cb夹两已知角的公共边bd.

　　（3）可将此题做条种变式练习：

　　练习1（改变结论）如图 3-51，已知 ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：ad=cd，bd平分∠adc.

　　分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即ad=cd；对应角相等∠adb=∠cdb，即bd平分∠adc.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等.

　　练习2(改变条件）如图 3－51，已知 bd平分∠abc， ab＝ cb.求证: ∠a＝∠c.

　　分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有ab＝cb，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出.这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作.教师板书完整证明过程如下：

　　以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式.

　　（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法.

　　练习 3如图 3-52（c），已知 ab＝ae， ad＝af，∠ 1=∠2.求证： db=fe.

　　分析：关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠bad＝∠eaf.

　　练习  4如图  3-52(d)，已知  a为 bc中点，  ae//bd，  ae＝bd.求证： ad//ce.

　　分析：由中点定义得出 ab＝ac；由  ae//bd及平行线性质得出∠abd=∠cae.

　　练习  5已知：如图  3-52(e）， ae//bd， ae＝db.求证： ab//de.

　　分析：由 ae//bd及平行线性质得出∠adb=∠dae；由公共边 ad＝da及已知证明全等.

　　练习6已知：如图3－52（f），ae//bd，ae＝db.求证：ab//de，ab＝de.

　　分析：通过添加辅助线——连结ad，构造两个三角形去证明全等.

　　练习 7已知：如图 3-52（g）， ba＝ef， df=ca，∠efd=∠cab.求证：∠b=∠e.

　　分析：由df＝ca及等量公理得出da＝cf；由∠efd＝∠cab及“等角的补角相等”得出∠bad＝∠efc.

　　练习8已知：如图3－52（h），be和cd交于a，且a为be中点，ec⊥cd于c,bd⊥cd于 d，  ce＝⊥bd.求证： ac＝ad.

　　分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件——对顶角相等转化为已知两边的夹角∠b=∠e，这点利用“等角的余角相等”可以实现.

　　练习 9已知如图 3－52（i），点 c， f， a， d在同一直线上， ac＝fd， ce=db， ec⊥cd，bd⊥cd，垂足分别为 c和d.求证：ef//ab.

　　在下一课时中，可在图中连结ea及bf，进一步统习证明两次全等.

　　小结：在以上例1及它的九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径.

　　缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它.

　　缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定义；

　　⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它.

　　例2已知：如图3－53，△abe和△acd均为等边三角形.求证：bd=ec.

　　分析：先选择bd和ec所在的两个三角形△abd与△aec，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供.

　　四、师生共同归纳小结

　　1.证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个

　　条件？

　　2.在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？

　　3.遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？

　　五、练习与作业 

　　练习：课本第28页中第1题，第30页中1，3题.

　　作业 ：课本第32页中第6，7，8，9，10题.

　　课堂教学设计说明

　　本教学设计需2课时完成.

　　1.课本第3.5节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题.

　　2.本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标 之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性.

　　3.本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标 之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化.

　　4.教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练.

　　5.教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率.教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系.

　　6.本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达.学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学

　　3.5三角形全等的判定(一)(1)

　　教学目标 

　　1.    通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性.

　　2.    比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法,初步培养学生的逻辑推理能力.

　　3.    初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法.

　　4.    掌握证明三角形全等问题的规范书写格式.

　　教学重点和难点

　　应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式.

　　教学过程 设计

　　一、          实例演示，发现公理

　　1.        教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式.

　　2.        在此过程中应启发学生注意以下几点：

　　（1）             可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立.如图3-49(c)中，由ab=ac=3cm,可将△abc绕a点转到b与c重合；由于∠bad=∠cae=120°，保证ad能与ae重合；由ad=ae=5cm,可得到d与e重合.因此△bad可与△cae重合,说明△bad≌△cae.

　　（2）             每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定.

　　（3）             由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

　　3.画图加以巩固.

　　教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形,理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象.

　　二、          提出公理

　　1.板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“sas”，说明记号“sas’的含义.

　　2.强调以下两点：

　　（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等.

　　（2）使用时记号“sas”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上.

　　3.板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程.

　　如图3-50，在△abc与△a’b’c’中,（指明范围）

　　三、应用举例、变式练习

　　1.充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，

　　例1已知：如图 3-51， ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：△abd≌△cbd.

　　分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 bd＝bd得到.

　　说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等.

　　（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）.

　　分析：△abd≌△cbd

　　因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与ab，cb夹两已知角的公共边bd.

　　（3）可将此题做条种变式练习：

　　练习1（改变结论）如图 3-51，已知 ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：ad=cd，bd平分∠adc.

　　分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即ad=cd；对应角相等∠adb=∠cdb，即bd平分∠adc.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等.

　　练习2(改变条件）如图 3－51，已知 bd平分∠abc， ab＝ cb.求证: ∠a＝∠c.

　　分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有ab＝cb，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出.这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作.教师板书完整证明过程如下：

　　以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式.

　　（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法.

　　练习 3如图 3-52（c），已知 ab＝ae， ad＝af，∠ 1=∠2.求证： db=fe.

　　分析：关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠bad＝∠eaf.

　　练习  4如图  3-52(d)，已知  a为 bc中点，  ae//bd，  ae＝bd.求证： ad//ce.

　　分析：由中点定义得出 ab＝ac；由  ae//bd及平行线性质得出∠abd=∠cae.

　　练习  5已知：如图  3-52(e）， ae//bd， ae＝db.求证： ab//de.

　　分析：由 ae//bd及平行线性质得出∠adb=∠dae；由公共边 ad＝da及已知证明全等.

　　练习6已知：如图3－52（f），ae//bd，ae＝db.求证：ab//de，ab＝de.

　　分析：通过添加辅助线——连结ad，构造两个三角形去证明全等.

　　练习 7已知：如图 3-52（g）， ba＝ef， df=ca，∠efd=∠cab.求证：∠b=∠e.

　　分析：由df＝ca及等量公理得出da＝cf；由∠efd＝∠cab及“等角的补角相等”得出∠bad＝∠efc.

　　练习8已知：如图3－52（h），be和cd交于a，且a为be中点，ec⊥cd于c,bd⊥cd于 d，  ce＝⊥bd.求证： ac＝ad.

　　分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件——对顶角相等转化为已知两边的夹角∠b=∠e，这点利用“等角的余角相等”可以实现.

　　练习 9已知如图 3－52（i），点 c， f， a， d在同一直线上， ac＝fd， ce=db， ec⊥cd，bd⊥cd，垂足分别为 c和d.求证：ef//ab.

　　在下一课时中，可在图中连结ea及bf，进一步统习证明两次全等.

　　小结：在以上例1及它的九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径.

　　缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它.

　　缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定义；

　　⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它.

　　例2已知：如图3－53，△abe和△acd均为等边三角形.求证：bd=ec.

　　分析：先选择bd和ec所在的两个三角形△abd与△aec，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供.

　　四、师生共同归纳小结

　　1.证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个

　　条件？

　　2.在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？

　　3.遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？

　　五、练习与作业 

　　练习：课本第28页中第1题，第30页中1，3题.

　　作业 ：课本第32页中第6，7，8，9，10题.

　　课堂教学设计说明

　　本教学设计需2课时完成.

　　1.课本第3.5节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题.

　　2.本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标 之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性.

　　3.本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标 之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化.

　　4.教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练.

　　5.教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率.教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系.

　　6.本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达.学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学