异方差练习题参考解答

练习题

1.设消费函数为

Yi12X2i3X3iui

式中，Yi为消费支出；X2i为个人可支配收入；X3i为个人的流动资产；ui为随机误差

项，并且E(u222i)0,Var(ui)X2i（其中为常数）。试回答以下问题：

(1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；

(2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。

2.由表中给出消费Y与收入X的数据，试根据所给数据资料完成以下问题： （1）估计回归模型Y12Xu中的未知参数1和2，并写出样本回归模型的书写格式；

（2）试用Goldfeld-Quandt法和White法检验模型的异方差性； （3）选用合适的方法修正异方差。

Y X Y X Y X 55 80 152 220 95 140 65 100 144 210 108 145 70 85 175 245 113 150 80 110 180 260 110 160 79 120 135 190 125 165 84 115 140 205 115 180 98 130 178 265 130 185 95 140 191 270 135 190 90 125 137 230 120 200 75 90 189 250 140 205 74 105 55 80 140 210 110 160 70 85 152 220 113 150 75 90 140 225 125 165 65 100 137 230 108 145 74 105 145 240 115 180 80 110 175 245 140 225 84 115 189 250 120 200 79 120 180 260 145

240

90

125

178

265

1

130 185 98 130 191 270

3.表中的数据是美国1988研究与开发（R&D）支出费用（Y）与不同部门产品销售量（X）。试根据资料建立一个回归模型，运用Glejser方法和White方法检验异方差，由此决定异方差的表现形式并选用适当方法加以修正。

单位：百万美元 工业群体

1.容器与包装 2.非银行业金融 3.服务行业 4.金属与采矿 5.住房与建筑 6.一般制造业 7.休闲娱乐 8.纸张与林木产品 9.食品 10.卫生保健 11.宇航 12.消费者用品 13.电器与电子产品 14.化工产品 15.五金

16.办公设备与电算机 17.燃料 18.汽车

销售量X R&D费用Y

6375.3 11626.4 14655.1 21869.2 26408.3 32405.6 35107.7 40295.4 70761.6 80552.8 95294 101314.3 116141.3 122315.7 141649.9 175025.8 230614.5 293543

62.5 92.9 178.3 258.4 494.7 1083 1620.6 421.7 509.2 6620.1 3918.6 1595.3 6107.5 4454.1 3163.9 13210.7 1703.8 9528.2

利润Z 185.1 1569.5 276.8 2828.1 225.9 3751.9 2884.1 4645.7 5036.4 13869.9 4487.8 10278.9 8787.3 16438.8 9761.4 19774.5 22626.6 18415.4

4.表中给出1969年20个国家的股票价格（Y）和消费者价格年百分率变化（X）的一个横截面数据。

国家 1.澳大利亚 2.奥地利 3.比利时 4.加拿大 5.智利 6.丹麦 7.芬兰 8.法国 9.德国 10.印度 11.爱尔兰

股票价格变化率%Y

5 11.1 3.2 7.9 25.5 3.8 11.1 9.9 13.3 1.5 6.4

消费者价格变化率%X

4.3 4.6 2.4 2.4 26.4 4.2 5.5 4.7 2.2 4 4

2

12.以色列 13.意大利 14.日本 15.墨西哥 16.荷兰 17.新西兰 18.瑞典 19.英国 20.美国

试根据资料完成以下问题:

8.9 8.1 13.5 4.7 7.5 4.7 8 7.5 9

8.4 3.3 4.7 5.2 3.6 3.6 4 3.9 2.1

(1)将Y对X回归并分析回归中的残差；

(2)因智利的数据出现了异常，去掉智利数据后，重新作回归并再次分析回归中的残差； (3)如果根据第1条的结果你将得到有异方差性的结论，而根据第2条的结论你又得到相反的结论，对此你能得出什么样的结论？

5.下表所给资料为1978年至2000年四川省农村人均纯收入Xt和人均生活费支出Yt的数据。

四川省农村人均纯收入和人均生活费支出 单位：元/人

时间

农村人均纯收入农村人均生活费

X

支出Y

时间

农村人均纯收入农村人均生活费

X

支出Y

1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

127.1 155.9 187.9 220.98 255.96 258.39 286.76 315.07 337.94 369.46 448.85 494.07

120.3 142.1 159.5 184.0 208.23 231.12 251.83 276.25 310.92 348.32 426.47 473.59

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

557.76 590.21 634.31 698.27 946.33 1158.29 1459.09 1680.69 1789.17 1843.47 1903.60

509.16 552.39 569.46 647.43 904.28 1092.91 1358.03 1440.48 1440.77 1426.06 1485.34

数据来源：《四川统计年鉴》2001年。

(1)求农村人均生活费支出对人均纯收入的样本回归函数，并对模型进行经济意义检验和统计检验；

(2)选用适当的方法检验模型中是否存在异方差；

(3)如果模型存在异方差，选用适当的方法对异方差性进行修正。

3

练习题参考解答

练习题1 参考解答

2（1）因为f(Xi)X2i，所以取W2i1，用Wi乘给定模型两端，得 X2i

YiXu11233ii X2iX2iX2iX2i上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即 Var(ui1)2Var(ui)2 X2iX2i（2）根据加权最小二乘法及第四章里（4.5）和（4.6）式，可得修正异方差后的参数估计

式为

ˆY*ˆX*ˆX* 12233ˆ 2W***2****yxWxWyxWx2ii2i2i3i2ii3i2i2ix3iWW2i*22i2ixWW*3*22i3ixWW3i**22i2i3ixx

ˆ其中

X3W2i**2****yi*x3iW2ix2iW2iyix2iW2ix2ix3i*22i2i

x*22i3ix**2i2i3ixx2*2WXW2i2i,XWXW2i2i,Y*WYW2i2ii

** x2iX2iX2**x3iX3iX3y*YiY*

练习题2参考解答

（1）该模型样本回归估计式的书写形式为

ˆ9.34750.6371XYii

(2.5691)(32.0088)R20.9464,s.e.9.0323,F1023.56

（2）首先，用Goldfeld-Quandt法进行检验。

a.将样本按递增顺序排序，去掉1/4，再分为两个部分的样本，即n1n222。 b.分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即

4

ee求F统计量为

2122603.01482495.8402221

eFe2495.844.1390

603.0148给定0.05，查F分布表，得临界值为F0.05(20,20)2.12。

c.比较临界值与F统计量值，有F=4.1390>F0.05(20,20)2.12，说明该模型的随机误差项存在异方差。

其次，用White法进行检验。具体结果见下表

White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 08/05/05 Time: 12:37 Sample: 1 60

Included observations: 60

Variable C X X^2 R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient -10.03614 0.165977 0.001800 Std. Error 131.1424 1.619856 0.004587 t-Statistic -0.076529 0.102464 0.392469 Prob. 0.9393 0.9187 0.6962 111.1375 12.14285 12.24757 6.301373 0.003370

6.301373 Probability 10.86401 Probability

0.003370 0.004374

0.181067 Mean dependent var 78.86225 0.152332 S.D. dependent var 102.3231 Akaike info criterion 596790.5 Schwarz criterion -361.2856 F-statistic 0.937366 Prob(F-statistic)

给定0.05，在自由度为2下查卡方分布表，得5.9915。

比较临界值与卡方统计量值，即nR10.86405.9915，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。 （2）用权数W1

Dependent Variable: Y

5

2221，作加权最小二乘估计，得如下结果 XMethod: Least Squares Date: 08/05/05 Time: 13:17 Sample: 1 60

Included observations: 60 Weighting series: W1

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 10.37051 2.629716 3.943587 0.0002 X

0.630950

0.018532 34.04667 0.0000 Weighted Statistics R-squared

0.211441 Mean dependent var 106.2101 Adjusted R-squared 0.197845 S.D. dependent var 8.685376 S.E. of regression 7.778892 Akaike info criterion 6.973470 Sum squared resid 3509.647 Schwarz criterion 7.043282 Log likelihood -207.2041 F-statistic 1159.176 Durbin-Watson stat 0.958467 Prob(F-statistic) 0.000000 Unweighted Statistics R-squared

0.946335 Mean dependent var 119.6667 Adjusted R-squared 0.945410 S.D. dependent var 38.68984 S.E. of regression 9.039689 Sum squared resid 4739.526

Durbin-Watson stat 0.800564

其估计的书写形式为

Yˆ10.37050.6310X(3.9436)(34.0467)

R20.2114,s.e.7.7789,F1159.18

练习题3参考解答

（1）建立样本回归模型。

Yˆ192.99440.0319X

(0.1948)(3.83)

R20.4783,s.e.2759.15,F14.6692（2）利用White检验判断模型是否存在异方差。

White Heteroskedasticity Test: F-statistic 3.057161 Probability 0.076976 Obs*R-squared 5.212471 Probability 0.073812

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 08/08/05 Time: 15:38

6

Sample: 1 18

Included observations: 18 Variable C X X^2 R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient -6219633. 229.3496 -0.000537 Std. Error 6459811. 126.2197 0.000449 t-Statistic -0.962820 1.817066 -1.194942 Prob. 0.3509 0.0892 0.2507 14706003 35.77968 35.92808 3.057161 0.076976

0.289582 Mean dependent var 6767029. 0.194859 S.D. dependent var 13195642 Akaike info criterion 2.61E+15 Schwarz criterion -319.0171 F-statistic 1.694572 Prob(F-statistic)

给定0.05和自由度为2下，查卡方分布表，得临界值5.9915，而White统计量

2(2)，则不拒绝原假设，说明模型中不存在异方差。 nR25.2125，有nR20.052（3）有Glejser检验判断模型是否存在异方差。经过试算，取如下函数形式 e2X 得样本估计式

ˆ6.4435Xe

(4.5658) R20.2482由此，可以看出模型中随机误差项有可能存在异方差。

（4）对异方差的修正。取权数为w1/X，得如下估计结果

ˆ243.49100.0367XY

(1.7997)(5.5255)

R20.1684,s.e.694.2181,F30.5309

练习题4参考解答 （1）求回归估计式。

ˆ4.61030.7574XY

(4.2495)(5.0516)R20.5864,s.e.3.3910,F25.5183

作残差的平方对解释变量的散点图

7

504030E220100051015X202530

由图形可以看出，模型有可能存在异方差。

（2）去掉智利的数据后，回归得到如下模型

ˆ6.73810.2215XY

(2.8254)(0.3987)R20.0093,s.e.3.3906,F0.1589

作残差平方对解释变量的散点图

4030E220100051015X202530

从图形看出，异方差的程度降低了。

（3）比较情况（1）和情况（2），实际上根据所给的数据，我们发现情况（1）的异方差性比情况（2）的异方差性要低。

练习题5参考解答

（1）建立样本回归函数。

ˆ43.89670.8104XY

(2.1891)(37.7771)R20.9854,s.e.60.4920,F1427.112

从估计的结果看，各项检验指标均显著，但从残差平方对解释变量散点图可以看出，模型很

可能存在异方差。

8

2000015000E2100005000005001000X15002000

（2）用White检验判断是否存在异方差。

White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 08/08/05 Time: 17:04 Sample: 1978 2000 Included observations: 23

Variable C X X^2 R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient -2319.690 10.85979 -0.002560 Std. Error 2268.373 6.644388 0.003247 t-Statistic -1.022623 1.634430 -0.788315 Prob. 0.3187 0.1178 0.4398 5013.402 19.42572 19.57383 9.509463 0.001252

9.509463 Probability 11.21085 Probability

0.001252 0.003678

0.487428 Mean dependent var 3337.769 0.436171 S.D. dependent var 3764.490 Akaike info criterion 2.83E+08 Schwarz criterion -220.3958 F-statistic 1.552514 Prob(F-statistic)

由上表可知，nR11.2109，给定0.05，在自由度为2下，查卡方分布表，得临界值

2为5.9915，显然，nR11.2109>5.9915，则拒绝原假设，说明模型存在异

222方差。

进一步，用ARCH检验判断模型是否存在异方差。经试算选滞后阶数为1，则ARCH检验结果见下表

ARCH Test:

9

F-statistic Obs*R-squared

Test Equation:

9.394796 Probability 7.031364 Probability

0.006109 0.008009

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 08/08/05 Time: 17:11 Sample(adjusted): 1979 2000

Included observations: 22 after adjusting endpoints Variable C RESID^2(-1) R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient 1676.876 0.588797 Std. Error 1086.874 0.192098 t-Statistic 1.542843 3.065093 Prob. 0.1385 0.0061 0.319607 Mean dependent var 3457.332 0.285588 S.D. dependent var 4308.730 Akaike info criterion 3.71E+08 Schwarz criterion -214.2730 F-statistic 1.874793 Prob(F-statistic)

5097.707 19.66118 19.76037 9.394796 0.006109

由上表可知，(np)R7.0314，在0.05和自由度为1下，查卡方分布表，得临界值为0.05(1)3.8415，显然，(np)R7.0314>0.05(1)3.8415，则说明模型中随机误差项存在异方差。

（3）修正异方差。取权数为W1/X，得如下估计结果

22222ˆ8.30650.8558XY

(1.8563)(34.1172)R20.9941,s.e.13.4795,F1163.99

经检验异方差的表现有明显的降低。

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