学年第一学期上海市高二下册12.3椭圆方程 (1)

【学习要点】

1.定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距 离）的点的轨迹为椭圆，其中两定点F1、F2叫做焦点，定点间的距离叫做焦距. 2.椭圆标准方程：

x2y2 焦点在x轴上，中心在原点，方程为：221(ab0)；

ab F1(c,0),F2(c,0), 焦距F1F22c, a2b2c2.

y2x2 焦点在y轴上，中心在原点，方程为：221(ab0).

ab F1(0,c),F2(0,c), 焦距F1F22c, a2b2c2.

x2y23.椭圆221(ab0)的性质：

ab（1）范围：axa，byb；

（2）对称性：坐标轴是对称轴，原点是对称中心；

（3）顶点：A1(a,0)、A2(a,0)、B1(0,b)、B2(0,b)，A1A2为长轴，B1B2为短轴. 4.椭圆的几个结论：

（1）椭圆上的点到其焦点的最大值为ac，最小值为ac； （2）椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1、F2构成的三角形面积Sb2tan2，其中

x2y25.若直线ykxb与椭圆221相交于A(x1,y2)、B(x2,y2)两点，则椭圆弦

ab 长AB1k2(x1x2)24x1x2.

6.椭圆一般式：mx2ny21(mn,m0,n0) 【例题讲解与训练】

例1.动圆过定点F(0,4)，并和定圆x2(y4)2100相内切，求动圆圆心P的轨 迹方程.

〖变式训练1〗

1.已知三角形的两个顶点是B(6,0)和C(6,0)，周长是32，则第三个顶点A的轨

迹方程是.

2.△的三边a>b>c，且a,b,c成等差数列，A、C两点的坐标分别是

(-1,0),(1,0)，则点B的轨迹方程是.

3.已知动圆M和圆C1:(x1)2y236内切，并和圆C2:(x1)2y24外切，求 动圆圆心M的轨迹方程.

x22例2.已知ABC的顶点B、C在椭圆y1上，顶点A是椭圆的一个焦点，

3 且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是. 〖变式训练2〗

1.已知椭圆的焦点为F1(1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上一点，且F1F2是PF1与PF2 的等差中项，则此椭圆方程是. 2.焦点在y轴上，满足a:b2:1，c6的椭圆的标准方程是.

x2y21的长轴AB分成8等份，3.把椭圆过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上

2516半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

PFP12FP3FP4FP5FP6FP7F.

x2y2例3.若椭圆21的焦点在y轴上，则m的取值范围是. 2m(m1)〖变式训练3〗

1.若方程x2cosy2sin1,(0,2)表示椭圆，则的取值范围是. 2.已知椭圆mx2y28与9x225y2100的焦距相等，则实数m.

223.若椭圆5xky5的一个焦点是(0,2)，则k.

例4.若椭圆的中心在原点，一个顶点和一个焦点分别是直线x3y60与两坐 标轴的交点，求椭圆的标准方程. 〖变式训练4〗

1.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆 的方程是.

452.已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别是和

325，过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程是. 33.设椭圆的中心为原点，在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和长轴较近的端点的距离为105，求椭圆的方程.

x2y2例5.已知P(x0,y0)为椭圆221(ab0)内且不在x轴上的一点，直线l过

ab点P，且直线l与这个椭圆交于A、B两点，A、B两点的中点恰好为点P.

b2x0求证：直线l的斜率k2.

ay0〖变式训练5〗

1.已知椭圆ax2by21的一条弦AB的斜率为k，弦AB的中点为M，O为坐标 原点，若OM的斜率为k0，则kk0.

2.已知直线l交椭圆4x25y280于M、N两点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，若BMN的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l的方程是.

x23.已知椭圆y21.

2（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；

（2）过A(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点轨迹方程；

11（3）求过点P(,)且被P平分的弦所在的直线方程.

22x2例6.已知一动直线yxt与椭圆y21交于A、B两点，求AB的最大值.

4〖变式训练6〗

1.设直线l过点P(1,0)，倾角为，求l被椭圆x22y24所截得的弦长.

3x22.已知点P在圆x(y4)1上移动，点Q在椭圆y21上移动，求PQ的

422 最大值.

x2y21(m1)交于点A、B，3.已知直线yx1和椭圆若以AB为直径的圆

mm1过椭圆的左焦点F，求实数m的值.

x2y21上的点到直线xy100的距离的最小值是. 例7.椭圆169〖变式训练7〗

x2y2=1上的点到直线x+2y+18=0的距离的最大值是 . 1.椭圆+94x22.点P(0,1)到椭圆y21上点的最大距离是 . 2x23.点P(1,0)到椭圆y21上点的最大距离是 ，最小距离是 .

2y2x2=1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF230,则例8.已知点P是椭圆+54F1PF2的面积为 . 〖变式训练8〗

1.已知点P是椭圆4x29y236上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF260,则 F1PF2的面积为 .

2.椭圆4x29y236的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时， 点P横坐标的取值范围是 .

3.以椭圆上的一点与椭圆的两焦点为顶点的三角形的面积的最大值是1，则此椭 圆的长轴的最小值是（ ） A.2 2 B.2 C.2 D.22

x2y21上的任意一点，求PMPN的 例9.已知M(2,2)，N(3,0),P是椭圆2516 最小值.

〖变式训练9〗

x2y2=1的左焦点，1.F1是+P是椭圆上的动点，A(1,1)为定点，则|PA|+|PF1|的 95 最大值是 .

x2y21的焦点为焦点作 2.在直线xy40上任取一点M，过M且以椭圆1612 椭圆，问：M在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆.

x2y2例10.设A、B为椭圆221(ab0)上的点，且AB过原点O，F1为椭圆的

ab一个焦点，求F1AB的面积的最大值. 〖变式训练10〗

x21.已知倾斜角为的直线l过点(0,m)，且与椭圆y1相交于A、B两点，O44为坐标原点.求：当AOB面积最大时m的值. 2.过原点O且倾斜角为,(022)的两条直线分别交椭圆

x2y21(a0，b0)于A、C和B、D四点. a2b2（1）求四边形ABCD的面积S； （2）当变化时，求S的最大值.

答案

y2x21 例1.

259x2y2x2y21(y0)； 2.1(2x0)； 〖变式训练1〗 1.

1006443x2y21 3.1615例2. 43

x2y2y2x21； 2.1； 3.35 〖变式训练2〗 1.4382例3. m1 2310〖变式训练3〗 1.(0,)(,)； 2.； 3.1

10442x2y2y2x21或1 例4. 4044036y2x2x23y2x2y2x221； 2.1； 3.1 〖变式训练4〗 1.y1或

8195101059例5. 略

6〖变式训练5〗 1.1； 2.y2(x3)； 3.略

例6.

4105 〖变式训练6〗例7.

522 〖变式训练7〗例8. 843 〖变式训练8〗例9. 1029〖变式训练9〗例10. bc

54227； 2.略； 3.m23 略； 2.略； 3.略 433； 2.略； 3.略 62； 2.x210y261 1.

1. 1.

1.